王曉磊 金振林 李曉丹

(1.燕山大學機械工程學院， 秦皇島 066004； 2.遼寧工業(yè)大學機械工程與自動化學院， 錦州 121001)

0 引言

近年來，仿生機械腿一直是機器人研究領域的熱點。文獻[1]采用3-RPS為機構原型設計了并聯(lián)仿生機械腿，并對其進行結構優(yōu)化及分析；文獻[2]以3-RRR并聯(lián)機構與擺動關節(jié)作為腿部機構研究了一種串并混聯(lián)四足機器人；文獻[3]采用(U+UPR)P+UPS并聯(lián)機構為機構原型設計了3自由度(DOF)的仿生機械腿；文獻[4-5]采用2RUS+RU機構與FD機構的組合設計了一種新型仿生機械腿；文獻[6-7]研究了一種6自由度農業(yè)機器人的機械仿生腿；文獻[8]以3-RPC并聯(lián)機構作為步行器的機械腿進行了動力學研究；文獻[9]采用偏置輸出的3-RRR+(S-P)并聯(lián)機構設計了仿生機器人的踝關節(jié)。上述并聯(lián)仿生機械腿都是由純并聯(lián)機構組成，具有承載能力大、移動速度慢的特點，為實現(xiàn)快速行走，需要移動副快速移動很長的距離，這就要求伺服系統(tǒng)具有很高的動態(tài)響應特性，一般這種機器人不適合于快速行走。

對于仿生機器人來說，其腿部性能對腿式機器人的整體性能起著決定性的作用[10-11]。大多數(shù)并聯(lián)機構所受的靜力是耦合、非線性的，在不同的位置受力不同，靜力學性能指標是評估機器人承載能力的一項重要指標[12]。因此，許多學者對并聯(lián)機構的靜力學性能進行了較為深入的研究[13-21]。

本文首先闡述串并混聯(lián)仿生機械腿的結構形式，對機械腿的并聯(lián)機構進行運動學分析，推導并聯(lián)機構的靜力學傳遞平衡方程，建立靜力學性能評價指標，分析各評價指標在工作空間的分布，為機器人承載時軌跡規(guī)劃奠定基礎。

1 串并聯(lián)仿生機械腿部機構模型

串并混聯(lián)四足機器人腿部機構模型如圖1所示，由RPR機構和兩自由度并聯(lián)機構組成。兩自由度并聯(lián)機構由伺服液壓缸驅動帶動五桿機構驅動下方的雙菱形機構實現(xiàn)足端的抬起和前后擺動。RPR機構也由伺服液壓缸驅動，帶動兩自由度并聯(lián)機構足端實現(xiàn)側擺運動。

圖1 腿部機構模型Fig.1 Leg mechanism model1.RPR機構 2.兩自由度并聯(lián)機構 3.緩沖彈簧 4.足端

圖2 平面并聯(lián)機構的結構簡圖Fig.2 Structural diagram of planar parallel mechanism

2 兩自由度并聯(lián)機構運動學

2.1 位置模型

為了便于分析，建立圖2所示的固定坐標系XOZ和動坐標系UIW。O為固定坐標系原點，X軸沿OC方向，Z軸垂直X軸向上。I為動坐標系原點，W軸沿IO方向，U軸垂直W軸。設結構參數(shù)‖OA‖=l1，‖AB‖=l2，‖BC‖=l3，‖CD‖=l4，‖OD‖=l5，‖OC‖=l6，各方向單位矢量分別為wi(i=1,2,3,4,5,6)，雙菱形OFGE和GHIJ邊長均為l。AOF為一桿件，其中OF桿與X軸的夾角為β，OA與OF夾角為φ。OE與X軸夾角為α，為了盡量避免結構干涉，OE桿件不是直線，而是使OD與OE線有一夾角為γ，OF與OG夾角為θ。兩自由度并聯(lián)機構的2個液壓缸伸縮協(xié)調運動，使該機構的末端可以實現(xiàn)足端具有沿固定坐標系中心O的前后擺動與沿Z方向的移動，設沿中心O的轉角為φ。

結合圖2，根據(jù)結構約束條件可得到

(1)

(2)

由圖2可知，OABC為一個矢量環(huán)，ODC為另一個矢量環(huán)，閉環(huán)矢量方程為

l1w1+l2w2=l6w6+l3w3

(3)

l4w4+l5w5=l6w6

(4)

參考點I的位置為

(5)

若已知動平臺參考點位置即IX、IZ，通過式(5)可求出θ、φ，根據(jù)式(3)、(4)求出α與β，根據(jù)式(2)可求∠AOC與∠DOC，即得到驅動桿長度l2、l4，為該并聯(lián)機構的位置反解。

2.2 速度雅可比矩陣求解

對式(3)和式(4)求導，可得

l1ω1×w1+l2ω2×w2+v2w2=0

(6)

l4ω4×w4+v4w4+l5ω5×w5=0

(7)

對式(6)和式(7)分別點乘w2、w4得

(8)

(9)

(10)

(11)

其中

整理式(10)和式(11)得

(12)

(13)

將式(12)和式(13)寫成矩陣形式

(14)

其中

同時對式(5)求導，得

(15)

寫成矩陣形式為

(16)

其中

對式(1)進行求導，得

(17)

整理得

(18)

其中

將式(16)、(18)、(14)整理得

(19)

其中

GV=JθφJZJαβ

式中GV——機構的速度雅可比矩陣

3 靜力學性能

設計機器人時都需考慮它的承載能力，因此需要該并聯(lián)機構在平面空間內都具有一個較好的靜力學性能、承載能力和靜力學傳遞[22]。分析靜力學在工作空間的分布，有助于機器人運動空間的軌跡規(guī)劃[23]，避免元件過度疲勞遭到破壞。

3.1 靜力學傳遞方程

當兩自由度平面機構只受沿XZ兩個方面的作用時，該機構中所有構件都處于靜力平衡狀態(tài)。由于仿生機器人腿部機構末端為球弧形，所以兩自由度動平臺輸出的廣義力矢量為F=(FX,FZ)T，機構輸入的廣義力矢量為Q=(Q1,Q2)T。設動平臺參考點的虛位移為δP，δP=(δIX,δIZ)T，輸入驅動桿件的虛位移為δL=(δl2,δl4)T，根據(jù)虛功原理，除約束力外，所有輸入驅動力所做的虛功之和等于所有輸出力所做虛功之和，即

FTδP=QTδL

(20)

由于該平面并聯(lián)機構的虛位移并非獨立存在，由機構輸入輸出位移微分關系得

δP=GVδL

(21)

由式(20)、(21)可得

F=NQ

(22)

其中

式中N——驅動力雅可比矩陣

3.2 靜力學性能評價指標

從式(22)可以看出，機構在不同位形時，機構輸入力與機構輸出力關系與驅動力雅可比矩陣有關。根據(jù)矩陣范數(shù)理論對式(22)取2范數(shù)，可得

‖F(xiàn)‖2=QTNTNQ

(23)

設輸入為單位矢量，QTQ=1，引用拉格朗日算子

MP=QT(NTN)Q-κλ(QTQ-I)

(24)

式中κλ——拉格朗日乘子

根據(jù)式(24)得到輸出力的極值條件為

(25)

由式(25)可得輸出力的極值為

(26)

對于工作空間內任一位形，根據(jù)式(26)即可得到該位形時的輸出力最大值和最小值。在設計過程中，希望機構輸入很小的力得到很大的輸出力，因此定義輸出力最大值為該機構的承載能力性能指標，即

KF=‖F(xiàn)‖max

(27)

在工作空間內，兩個輸入力的差值隨位形的變化而變化。當兩個輸入力的差值變化較大時，機構的使用性能變差。為了合理地判別該機構輸入力的情況，定義輸入力均衡性能評價指標為

KJ=(‖F(xiàn)‖max-‖F(xiàn)‖min)/‖F(xiàn)‖max

(28)

其中，KJ是無量綱，表示輸入力最大值和最小值的關系，當KJ越大，表示‖F(xiàn)‖max與‖F(xiàn)‖min相差越大，機構的使用性能越差，機構的使用壽命會大大降低，所以KJ越小越好。

3.3 性能評價指標在工作空間的分布

設定結構參數(shù)為l1=l5=45 mm，l6=305 mm，l3=240 mm，‖OF‖=260 mm，γ=15°，∠OCB=75°。根據(jù)式(19)～(28)，可以得到在整個運動空間內靜力學承載能力性能指標和力均衡性能圖譜，如圖3、4所示。

圖3 承載能力指標分布Fig.3 Distribution of bearing capacity index

圖4 力均衡指標分布Fig.4 Distribution of force equilibrium index

從圖3可以看出，承載能力分布總體呈軸對稱分布，在工作空間的底部承載能力最大，向上逐漸減小，到達頂部最小。

從圖4可以看出，力均衡性能指標在工作空間內中間部位性能最優(yōu)，性能更穩(wěn)定，機構的使用壽命較長；越趨近于邊界，性能指標越差，機構的使用壽命越短。

從上述分析可知，該機構各靜力學性能指標在工作空間中部較好，所以在承載時，運動軌跡處于中部左右最優(yōu)，可延長其使用壽命，避免過早疲勞破壞。

4 仿真與實例驗證

利用ANSYS軟件驗證承載能力指標理論的正確性。通過式(25)、(26)得出給定位姿點的承載能力指標與對應的輸入單位向量，將得到的輸入單位向量施加到ANSYS環(huán)境中的2個液壓缸的活塞桿上，在忽略重力情況下，在ANSYS環(huán)境中測出末端的反力。由于工作空間內的點較多，選取具有代表性的位姿離散點進行驗證，選取點的原則為從上到下、中間向右邊緣方向取點，點的位置及驗證結果如表1所示。

由表1可以看出，二者的承載能力性能指標差值較小，驗證了承載能力指標理論的正確性。

同時采用ANSYS有限元仿真軟件進行靜力學分析，驗證力均衡指標分布規(guī)律的正確性。同樣采取上述給定的位姿點，在足端施加垂直向上500 N的力，通過ANSYS有限元仿真軟件得到了給定姿態(tài)點的應力與變形量云圖，如圖5所示。

從圖5可以看出，在中部(位姿點2、5)的變形量和應力相對較小，在頂部(位姿點1、4、7)和底部(位姿點3、6、8)變形量和應力較大，說明對機構不利，容易疲勞損壞，同時也間接地驗證了機構力均衡性能評價指標的正確性。

表1 8組位姿點承載能力指標驗證Tab.1 Verification of eight sets of pose and bearing capacity index

圖5 兩自由度平面并聯(lián)機構應力及變形量云圖Fig.5 Stress and deformation cloud charts of 2-DOF planar parallel mechanism

目前，該腿部結構已應用于上海交通大學開發(fā)的四足機器人，已實現(xiàn)快速地上行走，如圖6所示。

圖6 四足機器人實物樣機Fig.6 Prototype of quadruped robot

5 結論

(1)研究了一種兩自由度平面并聯(lián)機構，建立了運動學模型與靜力學傳遞方程，定義了靜力學性能評價指標。

(2)揭示了兩自由度平面并聯(lián)機構靜力學承載能力性能指標在工作空間的分布規(guī)律。結果表明，位于工作空間中下方性能指標較好，承載能力較大，并呈軸對稱分布。

(3)揭示了兩自由度平面并聯(lián)機構靜力學力均衡性能評價指標在工作空間的分布規(guī)律。結果表明，腿部在承受外部載荷時，在工作空間中間部位力均衡性能指標較好，越趨近于邊界，性能指標越差，對機構越不利。

(4)通過實例與ANSYS軟件仿真，驗證了靜力學性能指標分布規(guī)律的正確性。