葉 偉 李秦川 張克濤

(1.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院， 杭州 310018； 2.倫敦瑪麗女王大學(xué)工程與材料學(xué)院， 倫敦 E1 4NS)

0 引言

相比于六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有工作空間大、制造成本低、控制簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，因此得到了廣泛的研究[1-8]。能輸出兩轉(zhuǎn)動(dòng)兩移動(dòng)(Two rotations and two translations, 2R2T)運(yùn)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)可用于農(nóng)業(yè)振動(dòng)篩[9]、外科手術(shù)[10]或者配合移動(dòng)工作臺(tái)形成五軸機(jī)床[11]。學(xué)者們提出了各種方法進(jìn)行2R2T并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合，包括約束綜合方法[12]，構(gòu)型演變和李群理論的方法[13-14]，基于GF集理論的方法[15]和運(yùn)動(dòng)等效鏈的方法[16]。

大多數(shù)情況下，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)具有耦合性，即每個(gè)自由度方向的運(yùn)動(dòng)都需要所有的主動(dòng)關(guān)節(jié)配合驅(qū)動(dòng)，這使得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型復(fù)雜、難于控制。為解決這個(gè)問題，具有運(yùn)動(dòng)解耦特點(diǎn)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)被廣泛研究。GOGU[17-18]采用線性變換的方法研究了多類運(yùn)動(dòng)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的綜合。SHARIFZADEH等[19]研究了運(yùn)動(dòng)解耦三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模。ZENG等[20]采用螺旋理論的方法，開展了運(yùn)動(dòng)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究。張彥斌等[21]采用螺旋理論，提出了運(yùn)動(dòng)解耦2R2T并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)綜合的新方法。沈惠平等[22]提出了一類新型位置-姿態(tài)運(yùn)動(dòng)解耦的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

目前，運(yùn)動(dòng)解耦的2R2T并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)用構(gòu)型仍然較少，關(guān)于這類機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及性能分析鮮有報(bào)道。本文提出一種運(yùn)動(dòng)部分解耦的新型2R2T并聯(lián)機(jī)構(gòu)，采用李群理論分析其自由度，并開展運(yùn)動(dòng)學(xué)性能相關(guān)分析，為其實(shí)際應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介與自由度分析

如圖1、2所示，本文提出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)通過4條分支與基座相連。其中，分支2是PRU鏈(P為移動(dòng)副，R為轉(zhuǎn)動(dòng)副，U為虎克鉸)，分支3是PSS鏈(S為球副)，分支1、4可視作共用末端虎克鉸的兩個(gè)PRU鏈。機(jī)構(gòu)中所有移動(dòng)副軸線平行。分支1、2、4處于同一平面，其中所有轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線平行于虎克鉸的第一轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，且垂直于移動(dòng)副軸線。機(jī)構(gòu)中兩個(gè)虎克鉸與動(dòng)平臺(tái)連接的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線重合。

記分支1、2、4中轉(zhuǎn)動(dòng)副中心點(diǎn)為A1、A2、A4，虎克鉸中心點(diǎn)為B1、B2，記分支3內(nèi)與移動(dòng)副相鄰的球副中心點(diǎn)為A3，與動(dòng)平臺(tái)相鄰的球副中心點(diǎn)為B3。點(diǎn)A1、A2、A3在水平面的投影形成等腰三角形C1C2C3，其中l(wèi)C1C3=lC2C3，C1C2長(zhǎng)度為2a，C3到線段C1C2的垂直距離為a。動(dòng)平臺(tái)B1B2B3也為等腰三角形，lB1B3=lB2B3，B1B2長(zhǎng)度為b，B3到線段B1B2的垂直距離為b/2。在基座水平面上建立定坐標(biāo)系oxyz，其中原點(diǎn)o位于C1C2中點(diǎn)，x軸指向點(diǎn)C2，y軸指向點(diǎn)C3，z軸垂直于水平面向上。在動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)坐標(biāo)系puvw，其中原點(diǎn)p與B1點(diǎn)重合，u軸指向點(diǎn)B2，v軸位于動(dòng)平臺(tái)平面且垂直于B1B2，w軸由右手定則決定。

圖1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Diagram of parallel manipulator

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型Fig.2 3D model of parallel manipulator

采用李群理論[2]分析機(jī)構(gòu)的自由度，注意到分支1和分支4在B1點(diǎn)共用虎克鉸，桿A1B1和A4B1通過復(fù)合轉(zhuǎn)動(dòng)副連接到虎克鉸的第一轉(zhuǎn)軸，因此分支1和分支4形成一個(gè)局部的PRR-PRR平面閉環(huán)。將分支1和分支4整體考慮，其到動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)可表示為

L14=({T(z)}{R(A1,y)}{R(B1,y)}∩
{T(z)}{R(A4,y)}{R(B1,y)})∪{R(B1,u)}=
({G(y)}∩{G(y)})∪{R(B1,u)}=
{G(y)}{R(B1,u)}

(1)

式中L14——分支1和分支4整體到動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)集

{T(z)}——沿z軸方向的移動(dòng)運(yùn)動(dòng)群

{R(A1,y)}——軸線過點(diǎn)A1且平行于向量y的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)群

{G(y)}——垂直于向量y的平面運(yùn)動(dòng)群

其余符號(hào)類同。

同理，分支2的運(yùn)動(dòng)集L2可表示為

L2={T(z)}{R(A2,y)}{R(B2,y)}{R(B2,u)}=
{G(y)}{R(B2,u)}

(2)

因點(diǎn)B1、B2同在u軸上，{R(B1,u)}={R(B2,u)}，故

L2={G(y)}{R(B2,u)}={G(y)}{R(B1,u)}

(3)

由于分支3具有6自由度，其運(yùn)動(dòng)集L3是六維李群，可表示為

L3={D}

(4)

根據(jù)李群理論，動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)是分支運(yùn)動(dòng)集的交集，可得

{M}=L14∩L2∩L3=
{G(y)}{R(B1,u)}∩{G(y)}{R(B1,u)}∩{D}=
{G(y)}{R(B1,u)}

(5)

式中 {M}——?jiǎng)悠脚_(tái)運(yùn)動(dòng)集式(5)表明，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有4個(gè)自由度，分別是垂直于y軸的2個(gè)移動(dòng)自由度、軸線平行于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和繞u軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。由于李群描述的是連續(xù)運(yùn)動(dòng)，該機(jī)構(gòu)的4個(gè)自由度也是連續(xù)的。

在剛化4個(gè)移動(dòng)副(即將對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)群移除)之后，仍采用上面的分析步驟可以發(fā)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的自由度為零，這說明了4個(gè)移動(dòng)副可作為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)完全控制動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)。

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)可應(yīng)用于五軸機(jī)床或運(yùn)動(dòng)模擬器的開發(fā)。圖3給出了一種五軸機(jī)床案例，將主軸頭固定在動(dòng)平臺(tái)上，在基座上配置一個(gè)移動(dòng)工作臺(tái)，則刀具與工件可形成五自由度相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)任意曲面的五軸加工。該機(jī)床的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是驅(qū)動(dòng)都是與機(jī)架相連的移動(dòng)副，驅(qū)動(dòng)電機(jī)無需跟隨機(jī)器運(yùn)動(dòng)，可獲得很好的動(dòng)態(tài)特性。

圖3 五軸機(jī)床Fig.3 Five axis machine1.主軸頭 2.工件 3.移動(dòng)工作臺(tái)

2 位置分析

位置分析目的在于建立動(dòng)平臺(tái)位姿輸出參數(shù)與驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入?yún)?shù)間的關(guān)系。本文提出的機(jī)構(gòu)中，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)為各分支中的移動(dòng)副。由于點(diǎn)o和點(diǎn)p始終在xoz平面內(nèi)，動(dòng)坐標(biāo)系可視為將定坐標(biāo)系沿向量p=(x，0，z)T平移，再繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度α，最后繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度β得來。動(dòng)平臺(tái)的位姿參數(shù)可由兩個(gè)位置參數(shù)x、z和兩個(gè)姿態(tài)參數(shù)α、β表示。

顯然，當(dāng)分支1和分支4中移動(dòng)副位置參數(shù)給定后，點(diǎn)B1位置就已確定，即輸出參數(shù)x和z的值完全由分支1和分支4的輸入?yún)?shù)決定。因此，該機(jī)構(gòu)具有運(yùn)動(dòng)部分解耦的特點(diǎn)。

令di(i=1, 2, 3, 4)表示分支i中移動(dòng)副的位移。根據(jù)前述幾何關(guān)系，點(diǎn)Ai在定坐標(biāo)系中的位置矢量為

(6)

式中d——C1C4的長(zhǎng)度

點(diǎn)Bi在動(dòng)坐標(biāo)系下的位置矢量為

(7)

式中，上標(biāo)p表示參考坐標(biāo)系是動(dòng)坐標(biāo)系。

點(diǎn)Bi在定坐標(biāo)系中的位置矢量為

(8)

其中

(9)

式中R——姿態(tài)變換矩陣

將式(7)代入式(8)，可得

(10)

觀察分支結(jié)構(gòu)，可得約束方程

(11)

式中l(wèi)——連桿AiBi長(zhǎng)度

將式(6)、(10)代入式(11)，可得

f1:(x+a)2+(z+d1)2=l2

(12)

f2:(x+bcosα-a)2+(z-bsinα+d2)2=l2

(13)

(14)

f4:(x+a)2+(z-d4+d)2=l2

(15)

位置逆解是在給定動(dòng)平臺(tái)輸出參數(shù)x、z、α、β的條件下，求解驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入?yún)?shù)di(i=1, 2, 3, 4)。根據(jù)式(12)～(15)，可得位置逆解的表達(dá)式為

(16)

式中“±”表明每條分支存在兩種反解情況，對(duì)應(yīng)圖1中裝配方式，式中均取“-”號(hào)。

位置正解是給定各驅(qū)動(dòng)輸入?yún)?shù)di，求解動(dòng)平臺(tái)輸出參數(shù)x、z、α、β，可按以下步驟進(jìn)行：

(1)首先，令式(15)減去式(12)，可得到z的解析表達(dá)式為

(17)

(2)在z確定之后，通過式(12)可得

(18)

由式(18)可知，在給定d1和d4后，x有兩種情況。在圖1所示的裝配條件下，“±”應(yīng)取正號(hào)。為表達(dá)簡(jiǎn)單起見，z的具體表達(dá)式并未代入式(18)中。

可知，x和z的表達(dá)式中僅含輸入變量d1和d4后，證明了輸出參數(shù)x和z的值完全由分支1和分支4的輸入?yún)?shù)決定。

(3)在得到x和z的表達(dá)式后，可通過式(13)解出α。將式(13)展開，可得

(19)

(20)

其中

通過式(20)可得

(21)

則α表達(dá)式為

α=2arctant1

(22)

分析可知，α僅和輸入?yún)?shù)d1、d2、d4有關(guān)。在x和z確定后，對(duì)應(yīng)某一給定的d2，α有兩種可能，分別對(duì)應(yīng)兩種不同的裝配方式。

β=2arctant2

(23)

可知，β和所有的4個(gè)輸入?yún)?shù)都有關(guān)。在x、z和α確定后，對(duì)應(yīng)某一給定的d3，β同樣有兩種可能。因此，在給定的一組輸入?yún)?shù)d1、d2、d3和d4后，動(dòng)平臺(tái)的位置正解共有8種可能情況，可結(jié)合機(jī)構(gòu)的初始裝配條件確定正確的位置正解。通過以上分析發(fā)現(xiàn)，該機(jī)構(gòu)的位置正解可得到解析的表達(dá)式，是一個(gè)顯著的優(yōu)點(diǎn)。

需要注意的是，在機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用中，操作端如刀具等可能不便于安裝在本節(jié)所建立的動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)p(B1)處，但可將刀具安裝在點(diǎn)B1和B2連線上，這樣刀具在y方向上位置仍保持為0。如果刀具安裝在動(dòng)平臺(tái)上的一般位置，則刀具在y方向上將會(huì)產(chǎn)生伴隨運(yùn)動(dòng)，與輸出參數(shù)x、z、α、β線性相關(guān)。無論刀具安裝于何位置，由于動(dòng)平臺(tái)參數(shù)x、z、α、β具有解析的表達(dá)式，刀具的位置和姿態(tài)參數(shù)也都可方便地得到。

為驗(yàn)證位置正反解模型的正確性，給定機(jī)構(gòu)參數(shù)a=160 mm，b=140 mm，桿AiBi長(zhǎng)度l=200 mm，d=500 mm。給定一組輸入?yún)?shù)d1=144.64 mm,d2=122.08 mm,d3=105.16 mm,d4=144.64 mm。根據(jù)上述位置正解步驟，可得動(dòng)平臺(tái)輸出參數(shù)如表1所示。

表1 位置正解數(shù)據(jù)Tab.1 Direct position results

表1僅列出了正解中的4組實(shí)數(shù)解。取正解的第1組數(shù)據(jù)，代入式(16)中，可得到4個(gè)輸入?yún)?shù)的16組逆解結(jié)果。其中存在一組數(shù)據(jù)為d1=144.64 mm,d2=122.08 mm,d3=105.16 mm,d4=144.64 mm，與正解數(shù)值計(jì)算中給定的4個(gè)輸入值一致，驗(yàn)證了位置正反解的正確性。

3 速度與奇異分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形會(huì)帶來機(jī)構(gòu)失控等嚴(yán)重后果，應(yīng)予以分析。速度方程是奇異分析的基礎(chǔ)。對(duì)方程(12)～(15)求導(dǎo)，可得機(jī)構(gòu)的速度方程，整理得

(24)

其中

圖5 正解奇異Fig.5 Direct kinematic singularity

式(24)進(jìn)一步證明了機(jī)構(gòu)在x和z方向的移動(dòng)自由度僅由分支1和分支4控制，機(jī)構(gòu)具有運(yùn)動(dòng)部分解耦的特點(diǎn)。

根據(jù)文獻(xiàn)[23]中的分類方法，可按照雅可比矩陣行列式值的情況，將奇異分為逆解奇異、正解奇異和混合奇異。

(1)逆解奇異

當(dāng)det(JA)=0且det(JB)≠0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生逆解奇異。分析可知，僅當(dāng)某條分支中桿AiBi垂直于所在分支中移動(dòng)副軸線時(shí)，滿足逆解奇異條件。機(jī)構(gòu)的一種逆解奇異位形如圖4所示。此時(shí)，動(dòng)平臺(tái)的自由度瞬時(shí)減少。

圖4 逆解奇異Fig.4 Inverse kinematic singularity

(2)正解奇異

當(dāng)det(JB)=0且det(JA)≠0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生正解奇異。分析可知，存在兩種正解奇異情況。

情況1：點(diǎn)A2、B2、B1共線。此時(shí)，動(dòng)平臺(tái)繞y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)不受控制。圖5a給出了一種對(duì)應(yīng)的正解奇異位形。

情況2：線A3B3與線B1B2相交。此時(shí)，機(jī)構(gòu)繞u軸的轉(zhuǎn)動(dòng)不受控制。圖5c給出了一種對(duì)應(yīng)的正解奇異位形。

在位置分析部分給定機(jī)構(gòu)參數(shù)情況下，令z=-250 mm，根據(jù)det(JB)=0，可繪制工作空間內(nèi)的正解奇異曲面，其中，正解奇異情況1、2分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)空間曲面，如圖5b所示。

(3)組合奇異

當(dāng)det(JA)=0且det(JB)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生混合奇異。圖6給出了其中一種情況。

圖6 組合奇異Fig.6 Combined singularity

4 工作空間

工作空間衡量的是機(jī)構(gòu)末端在各自由度方向的運(yùn)動(dòng)能力。由于內(nèi)部多分支的約束，并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間通常較小。本文機(jī)構(gòu)的工作空間受關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍限制，機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)于正解奇異部分給定。限定移動(dòng)副行程為0 mm≤di≤250 mm，球副轉(zhuǎn)動(dòng)范圍限制在50°的錐體內(nèi)。由于機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)均為沿z軸方向的移動(dòng)副，令z=-250 mm，可得機(jī)構(gòu)的三維工作空間如圖7所示。

圖7 工作空間Fig.7 Workspace

圖8 機(jī)構(gòu)二維工作空間與奇異曲線Fig.8 Two-dimensional workspace and singular curves

需要注意的是，正解奇異可能存在工作空間內(nèi)部，將工作空間分割成若干部分。為方便觀察，令x分別取-140、-70、0 mm，繪制α和β參數(shù)的二維工作空間和奇異曲線，如圖8所示。可以發(fā)現(xiàn)，機(jī)構(gòu)的正解奇異分布在工作空間邊緣部分，幾乎不影響機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力；機(jī)構(gòu)的無奇異轉(zhuǎn)動(dòng)空間很大，中間位置(圖8b)兩個(gè)方向的轉(zhuǎn)角范圍分別可達(dá)-44°～60°和-35°～52°。

5 性能分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能分析是為了研究機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)是否具有良好的操作性能，是機(jī)構(gòu)尺度優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能主要包括基于雅可比矩陣的條件數(shù)指標(biāo)[24]和基于螺旋理論的運(yùn)動(dòng)/力傳遞指標(biāo)[25-26]。由于本文機(jī)構(gòu)具有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)混合自由度，使用條件數(shù)指標(biāo)存在量綱不統(tǒng)一、物理意義不清晰的問題[27]，因此，采用運(yùn)動(dòng)/力傳遞指標(biāo)對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行性能分析。

5.1 局部傳遞指標(biāo)

運(yùn)動(dòng)/力傳遞方法中分別定義輸入傳遞指標(biāo)、輸出傳遞指標(biāo)和局部傳遞指標(biāo)為

(25)

(26)

Γ=min{λi,ηi} (i=1,2,…,n)

(27)

式中λi——分支i的輸入傳遞指標(biāo)

ηi——分支i的輸出傳遞指標(biāo)

?！植總鬟f指標(biāo)

$Ai——分支i的輸入運(yùn)動(dòng)螺旋

$Oi——分支i的輸出運(yùn)動(dòng)螺旋

$Ti——分支i的傳遞力螺旋

λi、ηi和Γ是與坐標(biāo)系無關(guān)的無量綱指標(biāo)，取值在0～1之間，Γ越趨近1，表明機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能越好，而Γ越趨近0，表明機(jī)構(gòu)越靠近奇異位形。

在坐標(biāo)系oxyz中，令ria(i=1, 2, 3, 4)和rib(i=1, 2, 3)分別表示Ai點(diǎn)和Bi點(diǎn)的位置矢量，分支1的運(yùn)動(dòng)螺旋為

(28)

式中 $11——移動(dòng)副運(yùn)動(dòng)螺旋

$12——轉(zhuǎn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)螺旋

$13——虎克鉸第1轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)螺旋

$14——虎克鉸第2轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)螺旋

O——零向量

對(duì)式(28)求反螺旋，可得分支1的約束螺旋為

(29)

分支1輸入運(yùn)動(dòng)螺旋$A1=$11，傳遞力螺旋$Ti與分支內(nèi)所有被動(dòng)螺旋互易積為零，即

$T1°$1j=0 (j=2, 3, 4)

(30)

可求得分支1傳遞力螺旋為

$T1=(rA1B1;r1a×rA1B1)

(31)

式中rA1B1——沿A1B1方向的單位向量

$T1——沿桿A1B1方向的傳遞力螺旋

同理，可得分支2、3、4的傳遞力螺旋分別為

$T2=(rA2B2;r2a×rA2B2)

(32)

$T3=(rA3B3;r3a×rA3B3)

(33)

$T4=(rA4B1;r4a×rA4B1)

(34)

為求分支1傳遞力螺旋$T1對(duì)應(yīng)的輸出運(yùn)動(dòng)螺旋，可將分支2、3、4中傳遞力螺旋視為約束螺旋，與機(jī)構(gòu)約束螺旋系組合形成一個(gè)秩為5的螺旋系。對(duì)該螺旋系求反螺旋，則可得到分支1的輸出運(yùn)動(dòng)螺旋$O1。類似地，可以求得分支2、3、4的輸出運(yùn)動(dòng)螺旋$O2、$O3和$O4。

將求得的輸入運(yùn)動(dòng)螺旋、傳遞力螺旋和輸出運(yùn)動(dòng)螺旋代入式(25)～(27)中，可得機(jī)構(gòu)的局部傳遞指標(biāo)。圖9給出的是在前述機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)下，z=-250 mm，x=-70 mm時(shí)姿態(tài)工作空間中心區(qū)域的局部傳遞指標(biāo)分布。對(duì)比圖8b和圖9可得，機(jī)構(gòu)的性能分布趨勢(shì)與奇異曲線吻合。越靠近奇異位形，機(jī)構(gòu)的性能越差。這也證明了性能分析的正確性。

圖9 局部傳遞指標(biāo)分布圖 (a=160 mm，l=200 mm)Fig.9 Distribution diagram of local transmission index (a=160 mm，l=200 mm)

5.2 全域傳遞指標(biāo)

局部傳遞指標(biāo)可用于機(jī)構(gòu)的尺度優(yōu)化設(shè)計(jì)，定義工作空間內(nèi)局部傳遞指標(biāo)大于0.7的區(qū)域?yàn)閮?yōu)質(zhì)傳遞空間，優(yōu)質(zhì)傳遞空間與整體工作空間的比值為全域傳遞指標(biāo)

(35)

式中W——機(jī)構(gòu)的整體工作空間

SG——優(yōu)質(zhì)傳遞空間的面積

S——整體工作空間的面積

σ——全域傳遞指標(biāo)

顯然σ取值于0到1之間，σ越大，表明機(jī)構(gòu)優(yōu)質(zhì)傳遞空間越大，機(jī)構(gòu)的性能越好。

以基座尺寸a和連桿長(zhǎng)度l為設(shè)計(jì)變量，計(jì)算不同變量對(duì)應(yīng)的σ，并繪制成平面圖(圖10)，則可發(fā)現(xiàn)σ隨機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)的變化規(guī)律，從而可以選取性能更優(yōu)的機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)。

圖10 全域傳遞指標(biāo)變化圖Fig.10 Variation of global transmission index

圖9對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)a=160 mm，l=200 mm，對(duì)應(yīng)圖10中點(diǎn)1，此時(shí)，σ=0.47?？稍邳c(diǎn)1左上方取點(diǎn)2，對(duì)應(yīng)a=150 mm，l=210 mm，σ=0.54。顯然，點(diǎn)2尺度參數(shù)對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)性能更優(yōu)，繪制該參數(shù)下的局部傳遞指標(biāo)分布圖如圖11所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，局部傳遞指標(biāo)大于0.7的部分(白線所圍區(qū)域)相較于圖9得到了擴(kuò)大，機(jī)構(gòu)性能得到了優(yōu)化。

圖11 局部傳遞指標(biāo)分布圖 (a=150 mm，l=210 mm)Fig.11 Distribution diagram of local transmission index (a=150 mm，l=210 mm)

6 結(jié)論

(1)提出了一種新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，能輸出兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和兩個(gè)移動(dòng)自由度，可由固定移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)。該機(jī)構(gòu)位置參數(shù)僅由兩條分支決定，具有運(yùn)動(dòng)部分解耦的特點(diǎn)，可用于五軸機(jī)床或運(yùn)動(dòng)模擬器的本體。

(2)該機(jī)構(gòu)存在逆解奇異、正解奇異和組合奇異。正解奇異位于工作空間的邊緣。機(jī)構(gòu)的無奇異轉(zhuǎn)動(dòng)空間很大，中間位置兩個(gè)方向的轉(zhuǎn)角范圍分別可達(dá)-44°～60°和-35°～52°。

(3)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能分布反映了距離奇異位形的遠(yuǎn)近。機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)具有良好的性能，且可通過尺度設(shè)計(jì)進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化。