賈 鍇，程 燕

（陸軍炮兵防空兵學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，合肥 230031）

0 引言

壽命分布類是描述裝備年齡特征的重要性質(zhì)，常見的壽命分布類有失效率遞增類（失效率遞減類）、平均失效率遞增類（平均失效率遞減類）、新比舊好類（新比舊差類）等［1-2］。以上壽命分布類均描述了裝備在使用進(jìn)程中按某種隨機(jī)意義的變化情況，且與凸函數(shù)類（凹函數(shù)類），星形函數(shù)類（反星形函數(shù)類），超可加函數(shù)類（次可加函數(shù)類）的性質(zhì)相關(guān)聯(lián)。比如，許多文獻(xiàn)指出以上分布類均是對(duì)累積失效函數(shù)性質(zhì)的刻畫［3］。還有許多文獻(xiàn)利用指數(shù)分布在使用進(jìn)程中“無記憶性”的特點(diǎn)，將以上分布類刻畫為從不同角度與指數(shù)分布對(duì)比而產(chǎn)生的分類［4］，這些對(duì)比方式與相應(yīng)的隨機(jī)序相關(guān)。

壽命分布類在可靠性系統(tǒng)中的封閉性是可靠性理論中的重要課題，其中加速壽命試驗(yàn)是高可靠長(zhǎng)壽命型裝備的量化評(píng)估的重要途徑，廣泛應(yīng)用于武器裝備的定壽延壽課題中［5］；協(xié)同系統(tǒng)是可靠性理論中一種非常重要和普遍的結(jié)構(gòu)，復(fù)雜的協(xié)同系統(tǒng)己被廣泛應(yīng)用于電子工程、航空航天以及其他相關(guān)領(lǐng)域［6］。以上壽命分布類在加速壽命系統(tǒng)和協(xié)同系統(tǒng)中的封閉條件陸續(xù)被國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究［7-9］，但他們的研究方法較為孤立，不具系統(tǒng)性。本文將利用函數(shù)類的性質(zhì)給出統(tǒng)一的證明方法，并且利用這種統(tǒng)一的方法，進(jìn)一步分析其他相關(guān)分布類在系統(tǒng)中的封閉條件。

1 基本定義與性質(zhì)

（i）定義在［0，+∞）上；

（ii）經(jīng)過原點(diǎn)；

（iii）在定義域上連續(xù)；

（iv）在定義域上嚴(yán)格遞增；（v）無有限上界。

且正比例函數(shù)f（x）=kx，k＞0 屬于以上所有的函數(shù)類，稱正比例函數(shù)為以上所有函數(shù)類的“臨界函數(shù)”。

下面的性質(zhì)1 說明以上函數(shù)類關(guān)于復(fù)合運(yùn)算封閉，性質(zhì)2 說明了它們的逆函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系。

定義1 稱非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量X 屬于

1）失效率遞增類（IFR），若r（t）關(guān)于t＞0 遞增；

易知，臨界分布的累積失效函數(shù)恰為臨界函數(shù)，即指數(shù)分布可由正比例的累積失效函數(shù)刻畫。由此引出一個(gè)很自然的問題，除了臨界分布外，以上分布類能否由累積失效函數(shù)刻畫呢？通過分析可靠性函數(shù)，失效率函數(shù)和累積失效函數(shù)的關(guān)系，由相關(guān)定義可得如下性質(zhì)。

2 主要結(jié)論

文獻(xiàn)［10-11］將以上隨機(jī)序分別稱為IFR 序、IFRA 序、NBU 序、NBUFR 序和NBUFRA 序，意味著它們分別比較了隨機(jī)變量X 和Y 之間各種分布類性質(zhì)的強(qiáng)弱。借助以上隨機(jī)序工具，給出本文所述分布類的兩個(gè)等價(jià)刻畫。

許多文獻(xiàn)還對(duì)分布類在可靠性系統(tǒng)中的封閉性感興趣［12-13］。本文借助函數(shù)類的封閉性給出分布類在加速壽命系統(tǒng)和協(xié)同系統(tǒng)中封閉條件的統(tǒng)一證明。首先考慮裝備壽命特性在加速壽命系統(tǒng)中的封閉性，假設(shè)加速壽命系統(tǒng)的壽命為Ta，可靠性函數(shù)為。則系統(tǒng)壽命與裝備壽命由一個(gè)與時(shí)間相依的加速因子W（t）連接，即［14］。一般要求W（t）連續(xù)嚴(yán)格遞增且，可見。則加速壽命系統(tǒng)的累積失效函數(shù)，由性質(zhì)1 和性質(zhì)3可得以下定理。

注1 文獻(xiàn)［7］證明了IFR（DFR）、IFRA（DFRA）和NBU（NWU）分布類在加速壽命系統(tǒng)中的封閉條件，分別與定理2 中n=1，2，3 的情況等價(jià)。文獻(xiàn)［8］則進(jìn)一步證明了NBUFR（NWUFR）以及NBUFRA（NWUFRA）分布類在加速壽命系統(tǒng)中的封閉條件，分別與定理2 中n=4，5 的情況等價(jià)。

再考慮由同分布的裝備組成的一般的協(xié)同系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)壽命為Tc，可靠性函數(shù)為。則系統(tǒng)壽命的可靠性與裝備壽命的可靠性通過系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的可靠性函數(shù)h（p）相關(guān)聯(lián)，即［9］。h（p）是定義在［0，1］上的連續(xù)嚴(yán)格遞增的函數(shù)，且滿足。令，則系統(tǒng)的累積失效函數(shù)。容易驗(yàn)證，則由性質(zhì)1 和性質(zhì)3 可得以下定理。

3 證明

3.1 函數(shù)類之間的包含關(guān)系

3.2 性質(zhì)1

3）證明過程與1）類似。

5）證明過程與4）類似。

3.3 性質(zhì)2

3）證明過程與1）類似。

5）證明過程與4）類似。

對(duì)偶類逆函數(shù)的性質(zhì)類似可得。

4 結(jié)論

由本文的思路可知，若某一分布類可由累積失效函數(shù)的性質(zhì)等價(jià)刻畫，則可通過與指數(shù)分布的隨機(jī)比較或者由指數(shù)分布經(jīng)過變換得到其等價(jià)條件。若該函數(shù)類進(jìn)一步具有復(fù)合封閉性，則可得到該分布類在加速壽命系統(tǒng)和協(xié)同系統(tǒng)中封閉的條件。必須要強(qiáng)調(diào)的是，本文所討論的隨機(jī)變量均在的范疇內(nèi)，分析問題時(shí)所考慮的函數(shù)也均是在的范疇內(nèi)，所以使用類似方法證明時(shí)需要對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證。若進(jìn)一步考慮一般的非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量，則其累積失效函數(shù)不滿足條件（i）和（iv），相應(yīng)的性質(zhì)2 不成立，故定理1 對(duì)于一般的非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量不成立，定理2 和定理3 依然成立。