劉 瀟，倪藝洋

（江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，南京 210000）

0 引言

微型的、能量受限的具有數(shù)據(jù)感知能力的傳感節(jié)點(diǎn)組成的無線傳感網(wǎng)絡(luò)WSNs（Wireless Sensor Networks）［1-2］已在醫(yī)療、環(huán)境監(jiān)測、軍事等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。這些應(yīng)用均以節(jié)點(diǎn)有效地收集數(shù)據(jù)為前提，并且節(jié)點(diǎn)所感知的數(shù)據(jù)需配備準(zhǔn)確的位置才具有價(jià)值，換言之，無準(zhǔn)確位置的感測數(shù)據(jù)是無價(jià)值的。因此，WSNs 中的節(jié)點(diǎn)定位已成為研究焦點(diǎn)［3-4］。

而基于測距定位算法［5-6］受到廣泛關(guān)注?，F(xiàn)有多種測距技術(shù)，如（Different Time of arrival，DTOA）、角度信息（Angle of Arrival，AOA）以及基于接收信號強(qiáng)度（Received signal strength Index，RSSI）、雙向時(shí)間到達(dá)（Two-way time of arrival，TW-ToA）。其中TWToA 測距算法中，目標(biāo)節(jié)點(diǎn)記錄信號傳輸時(shí)間［7］。盡管TW-ToA 測距算法對時(shí)鐘偏差具有一定的強(qiáng)健性，但是它仍遭受因時(shí)鐘差（Clock Skews，CSs）、不明的周轉(zhuǎn)時(shí)間（Turn-around Times，TATs）問題而引起的測距精度下降問題。

目前，研究人員提出不同的基于TW-ToA 測距定位算法。文獻(xiàn)［7］利用線性最小二乘LLS 估計(jì)CSs和目標(biāo)位置，并利用回繞測試法（Loop Back Test）估計(jì)TATs。文獻(xiàn)［8］提出基于歐式距離矩陣（Euclidean Distance Matrix，EDM）的協(xié)同定位算法，聯(lián)合估計(jì)TATs 和目標(biāo)位置。類似地，文獻(xiàn)［9］引用半定錐規(guī)劃（Semidefinite Cone Programming，SDP）估計(jì)目標(biāo)位置。

盡管這些算法能夠提高定位精度，但存在較高的計(jì)算成本。因此，本文所提基于雙向到達(dá)時(shí)間測量的目標(biāo)定位算法（Target Localization-based on TW-ToA，TL-TW-ToA），其目的在于平衡定位精度和計(jì)算成本。TL-TW-ToA 算法通過強(qiáng)健的平方測距、權(quán)重最小平方（Weighted Least Squares）標(biāo)準(zhǔn)將非凸問題轉(zhuǎn)化成廣義信賴域次優(yōu)問題，再利用二分法獲取解，進(jìn)而消除緩解時(shí)鐘偏差和周轉(zhuǎn)時(shí)間（Turn-around Times，TATs）對定位精度的影響。

1 問題描述

在k 維無線傳感網(wǎng)絡(luò)中（k=1，2，3），存在N 個(gè)錨節(jié)點(diǎn)和一個(gè)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，其中錨節(jié)點(diǎn)位置已知，而目標(biāo)節(jié)點(diǎn)需利用測量與錨節(jié)點(diǎn)的距離估計(jì)自己的位置。假定x 表示目標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置、αi表示第i 個(gè)錨節(jié)點(diǎn)位置，且i=1，2，…，N。

目標(biāo)節(jié)點(diǎn)依據(jù)TW-ToA 測距協(xié)議［10-11］測量離錨節(jié)點(diǎn)的距離。錨節(jié)點(diǎn)的處理時(shí)間稱為TAT，通常是未知的。具體而言，第i 個(gè)錨節(jié)點(diǎn)所測量的TW-ToA時(shí)間表示為ti，其定義如式（1）所示：

對式（1）兩邊乘以c，并減去cμ'/2，可得測距模型，如式（2）所示：

依據(jù)式（2）的測距模型，再利用文獻(xiàn)［13］的最小二乘ML 估計(jì)，便可獲取x、ω0和dTi的估計(jì)值：

然而，由于ML 估計(jì)為非凸、且無閉合解，無法直接求解式（3）。為此，引用ML 的近似估計(jì)，并且通過二等過程獲取確認(rèn)解。

2 TL-TW-TOA 算法

2.1 基于GTRS 的目標(biāo)函數(shù)

本節(jié)利用所提出的TL-TW-TOA 算法估計(jì)目標(biāo)位置，即利用TL-TW-TOA 算法求解式（3）。觀察到式（3），由于未知數(shù)（N+k+1）高于觀察數(shù)（N），因此，可利用一些近似算法求解式（3）。

再利用式（2）可得：

因此，式（5）右邊第2 項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為：

因此，式（5）可近似為：

考慮到ei值，并利用三角不等式，可將其轉(zhuǎn)換不等式，如式（11）所示：

因此，依據(jù)式（11），式（10）可表示為：

不直接處理式（15），而是求式（15）上限的最小值：

最后，便可得到GTRS［14］形式的解：

2.2 CS 和測距估計(jì)

其中，k 為迭代次數(shù)。

2.3 定位

3 性能仿真

3.1 仿真環(huán)境

利用MATLAB7.1 軟件建立仿真平臺(tái)，并進(jìn)行Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)分析TL-TW-TOA 算法的性能。在每個(gè)Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)中，一個(gè)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分布于［-B，B］×［-B，B］km2區(qū)域，且8 個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的位置估計(jì)，且8 個(gè)錨節(jié)點(diǎn)位置分別為：［0.4，0.4］T，［0.4，-0.4］T，［-0.4，0.4］T，［-0.4，-0.4］T，［0.4，0］T，［0，0.4］T，［-0.4，0］T，［0，-0.4］T。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，總運(yùn)行的Monte Carlo 次數(shù)Mc=3 000。同時(shí)，CS 設(shè)定為ωi=1+δi，且δi在區(qū)間［-δmax，δmax］隨機(jī)取值，且δmax=10-4。理想的TAT 設(shè)為T0=0.5 ms，K=30，光速c=3×108m/s。

同時(shí)，為了更好地分析TL-TW-TOA 性能，選擇文獻(xiàn)［7］的LLS 算法、EDM［8］、CCCP-SOCP［10］、SDP［9］、R-SOCP［11］和EGTR［12］進(jìn)行比較。同時(shí)，EDM、SDP 和R-SOCP 利用MATLAB 軟件的CVX編程工具實(shí)施。此外，引用均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）作為性能指標(biāo)：

3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

首先分析噪聲方差σi對RMSE 的影響，且σi從2～10 變化，錨節(jié)點(diǎn)數(shù)為8。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖1 所示。

從圖1 可知，σi的增加，增加了RMSE，原因在于：σi的增加，增加式（2）的噪聲值，加大誤差項(xiàng)。此外，從圖1 可知，EGTR、LLS 和EDM 算法的RMSE相近，遠(yuǎn)低于SDP、R-SOCP 和TL-TW-TOA 算法。相比于同類算法，TL-TW-TOA 算法的RMSE 是最低。這主要是因?yàn)椋篢L-TW-TOA 算法先利用GTRS獲取定位模型，并充分考慮到TW-ToA 的CS 和TAT 時(shí)間。

接下來，分析錨節(jié)點(diǎn)數(shù)對RMSE 的影響，σi=6 m，錨節(jié)點(diǎn)數(shù)N 從5～8 變化，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖2 所示。

從圖2 可知，錨節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，有利于RMSE的降低。這主要是因?yàn)椋哄^節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，目標(biāo)節(jié)點(diǎn)越容易獲取離錨節(jié)點(diǎn)的距離信息。與EDM、SDP 算法相比，提出的TL-TW-TOA 算法的RMSE 得到有效控制。與R-SOCP 算法相比，TL-TW-TOA 算法的RMSE 并沒有下降。但是，當(dāng)錨節(jié)點(diǎn)數(shù)大于7 后，TL-TW-TOA 算法的RMSE 低于R-SOCP 算法。

最后，分析TL-TW-TOA 算法的復(fù)雜性，如表1所示，其中K 表示迭代次數(shù)，而N 表示錨節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。從表1 可知，TL-TW-TOA 算法的復(fù)雜度為3×O（KN），高于LLS 算法和EGTR，但是低于EDM 和CCCP-SOCP、R-SOCP 算法。

表1 算法的復(fù)雜度

4 結(jié)論

本文針對TW-ToA 測量的時(shí)鐘偏差、周轉(zhuǎn)時(shí)間問題，提出基于雙向到達(dá)時(shí)間測量的目標(biāo)定位算法TL-TW-ToA。TL-TW-ToA 算法將定位的凸優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為廣義信賴域次優(yōu)問題，再利用二分法求解，進(jìn)而降低了周轉(zhuǎn)時(shí)間和時(shí)鐘偏差對定位精度的影響。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，提出的TL-TW-ToA 算法的定位精度優(yōu)于同類算法，并且算法復(fù)雜度也得到有效控制。