姚鴻鶴，盧發(fā)興，吳 玲，呂忠來

（海軍工程大學(xué)兵器工程學(xué)院，武漢 430033）

0 引言

未來空域窗（Future Airspace Window，F(xiàn)AW）是針對敵反艦導(dǎo)彈超音速、高機動的特點發(fā)展的一種末端防御的面殺傷射擊體制，其實質(zhì)是在目標預(yù)測迎彈面（與預(yù)測命中點的目標和射彈相對速度方向垂直的平面）內(nèi)以目標預(yù)測命中點為中心，根據(jù)該點的誤差特性配置多個射擊瞄準點，形成一個炮彈散布區(qū)域［1-3］。

未來空域窗的相關(guān)研究主要集中在國內(nèi)，并且通常在誤差條件給定的假設(shè)下進行未來空域窗設(shè)計、瞄準點配置方法等研究。如：文獻［4］提出了在自適應(yīng)未來空域窗攔阻射擊模式下，利用向量投影原理在預(yù)測迎彈面內(nèi)分析射擊誤差的方法；文獻［5］通過解析的方式，基于給定的目標提前點誤差條件，研究了未來空域窗的網(wǎng)狀配置問題；文獻［6］基于目標提前點誤差在預(yù)測迎彈面上服從正態(tài)分布的假設(shè)，在給定誤差均方差情況下采用函數(shù)逼近的方法給出了未來空域窗網(wǎng)狀和圓形配置的最優(yōu)解；文獻［7］系統(tǒng)概述了射擊過程中的誤差源誤差，提出了簡化誤差模型，并論證了未來空域窗的橢圓法。

可見，現(xiàn)有文獻缺少對未來空域窗射擊誤差的深入分析。針對這一問題，本文基于線性空間理論［8］，進行未來空域窗射擊誤差分析。

為避免誤差分析中繁瑣的坐標變換，本文提出了通過誤差轉(zhuǎn)換矩陣進行誤差分析的方法。該方法首先在相應(yīng)坐標系下建立誤差模型，然后通過坐標轉(zhuǎn)換求得在預(yù)測迎彈面內(nèi)的誤差協(xié)方差矩陣，最后對誤差協(xié)方差矩陣進行特征值分解得到未來空域窗預(yù)測命中點誤差特性。

1 未來空域窗模型

艦炮射擊過程中由于受到各種偶然因素的作用和影響，不斷的產(chǎn)生相應(yīng)的誤差，會使彈著點偏離目標的預(yù)測未來點，引起彈目偏離的誤差主要有：射彈散布誤差Ed、隨動系統(tǒng)誤差Efs、跟蹤濾波誤差Eft、捷連誤差Etd、彈道氣象準備誤差Emc、機械零位校正后誤差Emz、觀測系統(tǒng)誤差Eos。由射擊理論［9］，在艦炮射擊中，總射擊誤差總是可以分解為兩組誤差，即相關(guān)誤差和不相關(guān)誤差，按誤差的性質(zhì)又可將兩組誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差。例如，射彈散布誤差是不相關(guān)的，但就其性質(zhì)而言，它又是隨機的。

在未來空域窗射擊體制中，通常以預(yù)測目標未來點為坐標原點O，在預(yù)測面內(nèi)建立直角坐標系OXZ，X 為炮彈散布橢圓主軸，Z 為垂直于X 軸，來分析預(yù)測命中點誤差特性。其中，包括炮彈不相關(guān)誤差散布在X 軸和Z 軸的概率誤差EX1、EZ1；炮彈相關(guān)誤差散布在X 軸和Z 軸的概率誤差EX2、EZ2。

得到迎彈面的不相關(guān)誤差和相關(guān)誤差后，根據(jù)文獻［10］，其理論最優(yōu)毀傷概率為

其中，

式中，n、ω、k、m 分別表示發(fā)射彈丸數(shù)、毀傷目標所需彈丸數(shù)、等效的迎彈面長度、寬度。

Pn，ω是基于目標提前點的誤差特性得到的，因此，研究射擊誤差是實現(xiàn)未來空域窗射擊要解決的首要問題。

2 誤差模型

以艦艇位置為原點，Y 軸指向艦艇航向，Z 軸垂直原點所在水平面并指向天頂，X 軸垂直于YZ 平面，建立穩(wěn)定艦艇坐標系O-XYZ；以某一時刻射彈與目標相遇提前點Od為原點，Z1軸在水平面上并指向提前點水平距離dp方向，Z2軸垂直于水平面并指向天頂，Z3軸垂直于Z1Z2平面，建立射彈面坐標系Od-Z1Z2Z3，如圖1 所示。

圖1 穩(wěn)定艦艇坐標系和射彈面坐標系

為方便計算，跟蹤濾波誤差在穩(wěn)定艦艇坐標系下建立誤差模型，其余的誤差源誤差均在射彈坐標系下考慮。

2.1 跟蹤濾波誤差

跟蹤濾波誤差是相關(guān)誤差的隨機誤差，在濾波過程中，可以得到目標現(xiàn)在點的跟蹤濾波協(xié)方差矩陣P（t0），根據(jù)濾波得到的目標狀態(tài)向量，查射表可以得到彈丸飛行時間tf，然后構(gòu)建基于時間間隔tf狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ（tf），進而得到tf時刻的跟蹤濾波協(xié)方差矩陣預(yù)測值P（tf），即

之后構(gòu)建從狀態(tài)空間到穩(wěn)定艦艇坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣Hφ，設(shè)跟蹤濾波狀態(tài)向量為X（t），則

其中，（xt，yt，zt）T為跟蹤濾波得到的目標位置。

從而得到提前點的跟蹤濾波誤差協(xié)方差矩陣Rft（tf）

2.2 射彈散布誤差

射彈散布誤差是不相關(guān)誤差的系統(tǒng)誤差，它一般通過立靶精度描述，即方向立靶精度σd，β、高低立靶精度σd，ε，用提前點作為彈丸落點的估計，將立靶精度轉(zhuǎn)換為線量，有

其中，dp為目標提前點水平距離，Dp為目標提前點斜距。

2.3 隨動系統(tǒng)誤差

隨動系統(tǒng)誤差是不相關(guān)誤差的系統(tǒng)誤差，它一般分為靜態(tài)誤差、等速跟蹤誤差、正弦跟蹤誤差以及射擊跟蹤誤差。一般而言，射擊跟蹤誤差取值最大。由于未來空域窗射擊過程中，火炮需要不斷跟蹤目標，因此，在計算隨動系統(tǒng)誤差時可以直接取射擊跟蹤誤差作為隨動系統(tǒng)誤差的取值。設(shè)隨動系統(tǒng)誤差的方向角誤差為σfβ，高低角誤差為σfε。將角誤差轉(zhuǎn)換為線誤差，有

其中，Δdp為高低角變化引起的提前點水平距離變化，Δhp為高低角變化引起的提前點高度變化，均可根據(jù)射表得到。

2.4 捷聯(lián)誤差

捷聯(lián)誤差是相關(guān)誤差的隨機誤差，捷聯(lián)向火控系統(tǒng)提供艦艇航速、航向及姿態(tài)信息。對于單個艦艇來說，由于通過穩(wěn)定艦艇坐標系描述目標位置，因此，在艦艇勻速運動的條件下，火控解算過程中不涉及艦艇航速、航向信息，而艦艇縱橫搖角度的觀測誤差將引起火控諸元的誤差。設(shè)捷聯(lián)誤差的方向角誤差為σβ，高低角誤差為σε，將角誤差變換為線誤差，有

2.5 彈道氣象準備誤差

彈道氣象準備誤差是相關(guān)誤差的隨機誤差，它包括初速準備誤差σv0，空氣密度準備誤差σρ，縱風(fēng)準備誤差σwd，橫風(fēng)準備誤差σwz，根據(jù)射表可以得到初速變化1 %在射擊距離上的單位修正量為fdv0，在射擊高度上的單位修正量為fhv0；空氣密度變化10 %在射擊距離上的單位修正量為fdρ，在射擊高度上的單位修正量為fhρ；縱風(fēng)10 m/s 在射擊距離上的單位修正量為fdwd，在射擊高度上的單位修正量為fhwd；橫風(fēng)10 m/s 在射擊方向上的單位修正量為fxwz。

將上述誤差乘以相對應(yīng)的修正量得到線誤差，有

2.6 觀測系統(tǒng)誤差

觀測系統(tǒng)誤差是相關(guān)誤差的系統(tǒng)誤差，其在提前點引起的線誤差可由其現(xiàn)在點線誤差投影到射彈坐標系中得到［9］。設(shè)觀測系統(tǒng)誤差的距離誤差μDs、方向角誤差μβs、高低誤差μεs。在射彈坐標系下，將觀測系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)換成線量，有

其中，ΔQ 為目標提前點水平距離與現(xiàn)在水平距離之間的夾角

式中，d、D、Vm、、ε、tf分別為目標現(xiàn)在點水平距離、斜距離、速度、俯沖角、高低角和彈丸飛行時間。

2.7 機械零位校正后誤差

機械零位校正后誤差是相關(guān)誤差的系統(tǒng)誤差，包括方向角誤差μβ，mz、高低角誤差με，mz。在射彈坐標系下，將機械零位校正后誤差轉(zhuǎn)換成線量，有

3 誤差合成

3.1 不相關(guān)誤差合成

不相關(guān)誤差主要由射彈散布誤差和隨動系統(tǒng)誤差組成。首先，分別求這些誤差在穩(wěn)定艦艇坐標系下的協(xié)方差矩陣，合成為穩(wěn)定艦艇坐標系下的不相關(guān)誤差協(xié)方差矩陣，有

其中，Cbs是射彈坐標系到穩(wěn)定艦艇坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣，假設(shè)彈丸在某一時刻的位置在穩(wěn)定艦艇坐標系下的坐標為（xb，yb，zb）T，則

其次，將穩(wěn)定艦艇坐標系下的不相關(guān)誤差協(xié)方差矩陣變換到預(yù)測迎彈面坐標系下，得到預(yù)測迎彈面坐標系下的不相關(guān)誤差協(xié)方差矩陣

其中，Csr是穩(wěn)定艦艇坐標系到預(yù)測迎彈面坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣。以目標提前點為原點建立預(yù)測迎彈面坐標系，目標與彈丸相對速度為Y 軸，YOZ 平面垂直于水平面，Z 軸向上，X 軸根據(jù)右手系確定。

假設(shè)穩(wěn)定艦艇坐標系下，目標速度Vt=（vtx，vty，vtz）T，彈丸存速Vb=（vbx，vby，vbz）T，目標與彈丸相對速度Vr=Vt-Vb=（vrx，vry，vrz）T，則

最后，對不相關(guān)誤差協(xié)方差矩陣進行特征值分解，有

其中，Pu為正交矩陣，其列向量為特征向量；為特征值根矩陣。

PuΛu矩陣的列向量即為不相關(guān)誤差在預(yù)測迎彈面坐標系的3 個分量，因此，可以得到預(yù)測迎彈面內(nèi)的不相關(guān)誤差（σx1，σz1）T為

轉(zhuǎn)換為概率誤差，有

3.2 相關(guān)誤差合成

3.2.1 隨機誤差

相關(guān)誤差的隨機誤差主要由跟蹤濾波誤差、捷聯(lián)誤差、氣象修正誤差組成，首先分別求這些誤差在穩(wěn)定艦艇坐標系下的協(xié)方差矩陣，合成為穩(wěn)定艦艇坐標系下的相關(guān)誤差協(xié)方差矩陣，有

然后將穩(wěn)定艦艇坐標系下的相關(guān)誤差協(xié)方差矩陣變換到預(yù)測迎彈面坐標系下，得到預(yù)測迎彈面坐標系下的相關(guān)誤差協(xié)方差矩陣

最后對相關(guān)誤差協(xié)方差矩陣進行特征值分解，有

PuΛu矩陣的列向量即為相關(guān)誤差在預(yù)測迎彈面坐標系的3 個分量，因此，可以得到預(yù)測迎彈面內(nèi)的相關(guān)誤差均方差（σx2，σz2）T為）

3.2.2 系統(tǒng)誤差

在相關(guān)誤差的計算中，還需要考慮相關(guān)誤差的系統(tǒng)誤差，相關(guān)誤差的系統(tǒng)誤差主要包括觀測誤差系統(tǒng)誤差與機械零位校正后誤差。首先分別將這些誤差變換至穩(wěn)定艦艇坐標系，合成為穩(wěn)定艦艇坐標系下的相關(guān)誤差，有

將相關(guān)誤差的期望與均方差相加，轉(zhuǎn)換為概率誤差得到

4 仿真分析

以目標做躍升俯沖運動［11］為例，假設(shè)目標在距離我艦6 km 時開始躍升至高度80 m（距我艦水平距離3.5 km），以20°俯沖角俯沖攻擊。采用無跡卡爾曼濾波［12-13］方法，利用文獻［14］提出的方法來設(shè)計濾波器，并設(shè)跟蹤雷達距離誤差為σDt、方位角誤差為σβt、高低角誤差為σεt；下面分析σd，β、σd，ε、σfβ、σfε、σβ、σε等各參數(shù)變化對未來空域窗的影響，包括未來空域窗預(yù)測命中點誤差特性不相關(guān)誤差（Ex1，Ez1）和相關(guān)誤差（Ex2，Ez2）、未來空域窗可實現(xiàn)的毀傷目標概率的上界Pn，ω、集火射擊時毀傷概率Pn，ω，o，并與通過統(tǒng)計模擬法［15］得到的毀傷概率Ps進行比較。其中，取Dp=1 km、n=225（對于未來空域窗射擊，為15×15 的空域窗），未來空域窗根據(jù)文獻［5］配置；統(tǒng)計模擬法置信概率α=95.4%，置信限ε=0.05。各初值變化如表1 所示。

表1 仿真初值

計算武器參數(shù)：以射擊范圍在300 m～1 500 m 的小口徑艦炮為例，設(shè)小口徑艦炮射速發(fā)6 000 發(fā)/min，毀傷目標所需的彈藥數(shù)量期望為1.0 發(fā)，立靶精度為1.0 mrad（水平），1.5 mrad（豎直）。

目標參數(shù)：目標為反艦導(dǎo)彈，彈長6 m，彈徑0.37 m。

把參數(shù)的中間取值定為基準值，即在每次計算中，參數(shù)中最多只有一個誤差因素的初值取非基準值，而其他的參數(shù)均取基準值。

1）當(dāng)各誤差取基準值時，未來空域窗的預(yù)測命中點誤差特性如圖2 所示。

圖2 預(yù)測命中點誤差特性

2）在給定初值的條件下計算結(jié)果如下頁表2所示。

根據(jù)仿真結(jié)果，可得到如下結(jié)論：

1）Dp減小，意味著目標逐漸逼近我艦，不相關(guān)誤差和相關(guān)誤差也隨之減??；

2）Ed或Efs增大（減?。?，不相關(guān)誤差隨之增大（減?。?，但在未來空域窗射擊體制下的毀傷概率變化較小，這意味著Ed和Efs不是影響未來空域窗的主要誤差因素；

3）Ed較大時，集火射擊的毀傷概率與未來空域窗相當(dāng)，這意味著當(dāng)射彈散布誤差較大時，集火射擊就是一種無規(guī)則配置瞄準點的未來空域窗射擊；

4）Eft、Etd、Emc、Emz、Eos中的任意一個增大（減?。?，相關(guān)誤差隨之增大（減小），但Eft的變化對未來空域窗體制下的毀傷概率影響較大，這意味著跟蹤濾波誤差是炮彈相關(guān)誤差主要影響因素，目標機動能力越強，該誤差越大，此時未來空域窗射擊相對于集火射擊，優(yōu)勢更明顯；

5）在誤差允許范圍內(nèi)，Pn，ω與Ps基本一致，這說明本文提出的誤差分析方法能夠反映未來空域窗射擊過程中的誤差特性變化，驗證了該方法的正確性。

表2 各種誤差參數(shù)對未來空域窗的影響

5 結(jié)論

以往對于未來空域窗射擊體制的研究，都是基于給定的誤差條件，并沒有對射擊誤差進行深入研究。本文提出了基于線性空間理論的未來空域窗預(yù)測命中點誤差處理方法，將其應(yīng)用于小口徑艦炮末端反導(dǎo)的跟蹤系統(tǒng)中，仿真得到了在不同的誤差初值條件下未來空域窗預(yù)測命中點誤差特性，并分別計算了基于該方法和統(tǒng)計模擬法的毀傷概率。結(jié)果表明，該誤差分析方法正確，能為后續(xù)未來空域窗的研究提供理論依據(jù)。