韓 琦 潘澍原

(1.中國科學(xué)院大學(xué)人文學(xué)院，北京 100049； 2.中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所，北京 100190)

明清之際西學(xué)輸入以崇禎(1628—1644)和康熙(1662—1722)兩朝為最，而后一時(shí)期高潮迭起，精彩紛呈，更為引人注目?？滴醯鄢鲇趥€(gè)人愛好和權(quán)術(shù)考量，躬身向耶穌會(huì)士學(xué)習(xí)，(1)關(guān)于康熙帝西學(xué)研習(xí)與其治術(shù)之關(guān)系，參見文獻(xiàn)[1—4]。數(shù)學(xué)、天文、地理、物理、樂律、醫(yī)藥等知識(shí)因而得以傳入宮廷。作為康熙朝最大的科學(xué)工程，大地測(cè)量和輿圖繪制最為史家所關(guān)注。一般認(rèn)為，這一工作始自康熙四十七年(1708)，至五十七年(1718)告成。然而，康熙帝此前已陸續(xù)派員開展測(cè)量活動(dòng)，耶穌會(huì)士和皇子都參與其中，為后續(xù)全國范圍的大規(guī)模輿地測(cè)繪奠定了基礎(chǔ)。本文將結(jié)合中西史料和文獻(xiàn)，以耶穌會(huì)士安多(Antoine Thomas， 1644—1709)(2)關(guān)于安多的生平和科學(xué)活動(dòng)，參見文獻(xiàn)[5—6]。關(guān)于安多在華期間的地圖測(cè)繪和數(shù)學(xué)、天文工作，參見文獻(xiàn)[7—14]。的相關(guān)活動(dòng)和著作為中心，闡述其所從事的測(cè)量實(shí)踐及其背景，并揭示當(dāng)時(shí)宮廷數(shù)學(xué)傳播的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)著作譯撰的復(fù)雜情形。

1 明季歐洲測(cè)量學(xué)知識(shí)的傳入

測(cè)量學(xué)在中國源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，古代算學(xué)以“測(cè)望”名之，有“句股”“重差”等類別。(3)中國測(cè)量學(xué)發(fā)展的早期考述，參見文獻(xiàn)[15]。《周髀算經(jīng)》首篇和《九章算術(shù)》句股章皆有利用相似直角三角形邊長(zhǎng)關(guān)系推求高深廣遠(yuǎn)的測(cè)量知識(shí)。利用兩表測(cè)算日高的“重差”方法，至遲在漢代即已現(xiàn)世。曹魏末年，劉徽撰作《重差》(后稱《海島算經(jīng)》)，完善其術(shù)。唐李淳風(fēng)(602—670)等注釋《周髀》，將“重差”推廣至斜面立表。宋秦九韶(1208—約1261)《數(shù)書九章》(1247)以“測(cè)望類”專作一章，亦有發(fā)明。元中期以后，測(cè)量學(xué)知識(shí)漸趨普及和實(shí)用化。晚明程大位《算法統(tǒng)宗》(1593)“海島題解”以下諸題[16]設(shè)問淺近，歌訣、圖示簡(jiǎn)捷明了。

作為實(shí)用幾何學(xué)的主要內(nèi)容之一，歐洲測(cè)量學(xué)(4)關(guān)于歐洲的實(shí)用幾何傳統(tǒng)及測(cè)量學(xué)在其中的地位，參見文獻(xiàn)[17—19]。在明末傳入中國，經(jīng)耶穌會(huì)士利瑪竇(Matteo Ricci， 1552—1610)等人的演示與教授([20]，頁5；[21])，很快引起士人的興趣，成為經(jīng)世濟(jì)民的實(shí)學(xué)課題。萬歷三十五年(1607)《幾何原本》刊印稍后，徐光啟(1562—1633)與利氏合作編譯晚明首部測(cè)量學(xué)專論《測(cè)量法義》(約1610出版)，主要目的之一就是要“廣其術(shù)而以之治水、治田之為利巨、為務(wù)急也”([22]，題測(cè)量法義，頁1)。崇禎二年(1629)改歷之初，徐光啟在條陳修歷內(nèi)容、人員、儀器之外，更提出“度數(shù)旁通十事”，期望借此將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到關(guān)乎國計(jì)民生的各方面：

度數(shù)既明，可以測(cè)量水地，一切疏濬河渠、筑治堤岸、灌溉田畝，動(dòng)無失策，有益民事。……天下輿地，其南北東西、縱橫相距、紆直廣袤，及山海原隰高深廣遠(yuǎn)，皆可用法測(cè)量，道里尺寸，悉無謬誤。([23]，頁337—338)

均屬測(cè)量學(xué)的應(yīng)用。隨后徐光啟、李之藻(1565—1630)與耶穌會(huì)士羅雅谷(Giacomo Rho， 1593—1638)等人合作譯撰《測(cè)量全義》(1631)，(5)《測(cè)量全義》崇禎三年(1630)九月已成二卷，“系臣光啟、臣之藻同陪臣羅雅谷譯撰”([23]，頁348)。其卷二、三“測(cè)線”([24]，測(cè)量全義敘目，頁6)專述大地測(cè)量，方法、儀器及理論基礎(chǔ)等均較《測(cè)量法義》全面。(6)徐光啟的學(xué)生孫元化(1581—1632)亦曾在兵書《西法神機(jī)》中介紹以歐式儀器測(cè)量敵營(yíng)目標(biāo)距離的方法，參見文獻(xiàn)[25]，頁38—40。

明季介紹的測(cè)量方法不外兩種。一是利用相似直角三角形直角邊對(duì)應(yīng)關(guān)系，量取所需長(zhǎng)度或比例長(zhǎng)度，按比例推算；二是構(gòu)建包含所求對(duì)象在內(nèi)的平面三角形，量取相關(guān)角度和長(zhǎng)度，并利用三角函數(shù)線長(zhǎng)度按比例推算。復(fù)雜情況時(shí)需多次測(cè)量和計(jì)算。測(cè)量?jī)x器主要有矩度(geometric square)和象限儀。象限儀用以測(cè)角，《測(cè)量全義》對(duì)其配備窺衡或垂線的不同形制和其“平安”“側(cè)置”兩種使用方式有詳細(xì)解說([24]，卷3，頁6—8；卷2，頁1，27)。矩度形為正方板，相鄰兩邊作同等的均勻劃分，形成縱橫等長(zhǎng)而設(shè)有分度(比例長(zhǎng)度)的直影和倒影，亦使用垂線或窺衡，即《測(cè)量法義》所示垂懸式([22]，頁1—2)和《測(cè)量法義》所示固定式([24]，卷3，頁9)。矩度亦稱度高標(biāo)尺(scala altimetra)，常以簡(jiǎn)化形式影矩(shadow square)附于其他儀器之上，[26]《測(cè)量全義》“造矩度法”之“約法”([24]，卷3，頁9)，即介紹如何在象限儀弧內(nèi)附設(shè)矩度，因而兼具分度與角度測(cè)量?jī)煞N功能。(7)關(guān)于晚明自歐洲引入的大地測(cè)量?jī)x器的詳細(xì)考察，參見文獻(xiàn)[27]。

2 康熙帝的測(cè)量學(xué)研習(xí)與實(shí)踐

相較晚明的社會(huì)需求與實(shí)學(xué)氛圍，康熙時(shí)代測(cè)量學(xué)知識(shí)的傳播有著更為直接的緣由?？滴跞涟四觊g(1664—1669)，楊光先(1597—1669)掀起的反教案給尚在沖齡的康熙帝帶來極大觸動(dòng)，成為其歷算研習(xí)的原始動(dòng)因。此后他便親自向耶穌會(huì)士南懷仁(Ferdinand Verbiest， 1623—1688)求教，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)儀器的使用和幾何學(xué)、靜力學(xué)、天文學(xué)等知識(shí)([28]，頁123—124)。1675年5月起，康熙進(jìn)行了集中而系統(tǒng)的研習(xí)([29]，頁98，263)，在了解歐幾里得幾何學(xué)、三角學(xué)之后，又“以極大的樂趣轉(zhuǎn)向更為令人愉悅的問題上，亦即實(shí)用幾何學(xué)、測(cè)地學(xué)、區(qū)域地圖繪制學(xué)(Chorography)及其他引人興味的數(shù)學(xué)科學(xué)”，并期望這些知識(shí)能夠“當(dāng)面演示和驗(yàn)證”([29]，頁99—100)。為此，他在觀象臺(tái)設(shè)置測(cè)天六儀以外，“命造內(nèi)廷備用測(cè)天諸器，如黃赤二道、天體星球、圭表，并測(cè)地高低遠(yuǎn)近等項(xiàng)之儀器”([30]，頁129)，時(shí)常操作象限儀、十字桿(radios astronomicos)、矩度、經(jīng)緯測(cè)角儀(pantometra)等測(cè)量?jī)x器([29]，頁100，404)(8)“矩度”依南懷仁原書“quadrata geometrica”譯出。，并用作實(shí)測(cè)：

他用儀器測(cè)量物體的高度和長(zhǎng)度，并繪制區(qū)域地圖，當(dāng)看到他的計(jì)算如此接近于事物的真實(shí)情況和兩地之間的實(shí)際距離時(shí)(因?yàn)闆]有充分的自信，他隨即就用量竿和繩索對(duì)此加以檢驗(yàn))，就非常高興。([29]，頁100)

這樣的“演示與驗(yàn)證”，顯然令康熙對(duì)實(shí)用幾何知識(shí)和測(cè)量?jī)x器的功用印象深刻。

在數(shù)學(xué)知識(shí)之外，康熙對(duì)西方地理、風(fēng)物也頗感好奇，特別是通過南懷仁等編制的《御覽西方要紀(jì)》(1669)和《坤輿全圖》(1674)大大擴(kuò)展了知識(shí)視野，同時(shí)更因軍事、河流等治理之需，對(duì)地圖繪制日益關(guān)注。二十五年(1686)，《大清一統(tǒng)志》開編之時(shí)，他諭示修纂方針，要求將大清疆域山川等“質(zhì)訂圖經(jīng)”“畫地成圖”，并稱“萬幾之余，朕將親覽”([31]，卷126，冊(cè)5，頁342—343)。

康熙二十七年(1688)初，洪若(Jean de Fontaney， 1643—1710)、張誠(Jean-Fran?ois Gerbillon， 1654—1707)、白晉(Joachim Bouvet， 1656—1730)等“國王數(shù)學(xué)家”到達(dá)北京，進(jìn)呈法國國王路易十四(1638—1715)贈(zèng)送的各類科學(xué)儀器、書籍等禮物三十箱，其中有“西洋地理圖五張”([30]，頁169)。此后張誠、白晉留在北京，成為御用教師。1690—1691年間，他們頻繁進(jìn)出宮廷，講授數(shù)學(xué)、哲學(xué)和醫(yī)藥知識(shí)，康熙的西學(xué)研習(xí)達(dá)至高潮。1690年3月上旬，張誠、白晉開始向康熙講解歐幾里得《原本》的命題；3月下旬，由于康熙希望盡快知道最為必要的幾何命題，以求理解此前已有所接觸的實(shí)用幾何學(xué)，兩人選用法國耶穌會(huì)數(shù)學(xué)家巴蒂斯(Ignace-Gaston Pardies， 1636—1673)簡(jiǎn)單明了、易于理解的《幾何原本》(Elemensdegeometrie)作為教材，并編譯為滿文和漢文([32]，頁228，245；[28]，頁144)。事實(shí)上，注重實(shí)用正是巴蒂斯書的一大特點(diǎn)，其末卷“問題，或?qū)嵱脦缀巍?Problems， ou la Geomerie pratique)的諸多例題也被譯出，其中就有運(yùn)用儀器測(cè)繪地形的方法(圖1)[33—34]。

圖1 《幾何原本》所示“用儀器畫地形圖法”及法文原著對(duì)應(yīng)圖示([34]，頁67；[33]，頁107)

與此同時(shí)，康熙也積極將幾何學(xué)付諸實(shí)踐，尤其熱衷于測(cè)量?jī)x器的操作。1690年1月15日，康熙要求張誠等耶穌會(huì)士“次日早晨將其住處其他適用于測(cè)量地點(diǎn)高度和距離及測(cè)取星體距離的儀器帶去”；16日，張誠等呈上儀器，康熙對(duì)路易十四之子梅恩公爵(Louis-Auguste de Bourbon， Duc du Maine， 1670—1736)所贈(zèng)半圓儀的精準(zhǔn)性稱贊有加，要求張誠講解其功能和使用，并和他們一起演練([32]，頁218—220)。白晉曾描述康熙對(duì)該儀的青睞和使用：

在這個(gè)時(shí)候，我們必然是把我們住處但凡適合他使用的都呈獻(xiàn)給他。其中一件承梅恩公爵先生好意贈(zèng)與我們，是一座精美碩大且?guī)в懈Q衡鏡片的半圓儀，很適于進(jìn)行幾何操作。除平日在宮廷御花園使用它外，旅途中他也讓一名內(nèi)府官員背著它到處隨行，盡管因?yàn)楸成线@一珍貴包袱的重量而行動(dòng)不便，但這位官員并不因此而感到不體面。他經(jīng)常使用它，有時(shí)是測(cè)量某座山的高度，有時(shí)是一些引人注目的地點(diǎn)之間的距離，這一切都是在整個(gè)朝廷眾目睽睽之下。令眾人驚異的是，他們的皇帝在進(jìn)行這些操作時(shí)都很成功，與每次旅行都照例伴駕的耶穌會(huì)士張誠神父一樣。([28]，頁137—138)

顯然，康熙完全掌握了基于三角學(xué)的測(cè)量方法。張誠的扈從日記則披露了更為生動(dòng)的細(xì)節(jié)。(9)博西耶爾夫人依據(jù)張誠日記擇要概述其八次隨行經(jīng)歷([35]，頁29—92)，涉及測(cè)定某地緯度、測(cè)量高遠(yuǎn)、繪制地圖、協(xié)助皇帝研習(xí)幾何學(xué)和使用儀器等，所述均較為簡(jiǎn)略。如1691年4月20日，康熙召見張誠，希望他下月隨駕前往韃靼地區(qū)，并協(xié)助進(jìn)行利用幾何學(xué)的測(cè)量工作，不久張誠便隨同康熙北巡([32]，頁251—252)。6月6日(三十年五月初十日)，康熙“駐蹕超射峰南”([36]，冊(cè)2，頁761)，張誠記述，皇帝射箭超過峰頂：

隨后他命我用他帶來的儀器測(cè)量那塊巖石的高度。他攜帶了一件半徑半法尺(pied)的半圓儀，它只能用小孔從較遠(yuǎn)的基點(diǎn)來觀測(cè)。觀測(cè)完成之后，他想要我們各自分別計(jì)算那塊巖石的高度；我們得到結(jié)果為四百三十尺(Ché)即中國尺。第一次觀測(cè)后，他仍想對(duì)同一塊巖石高度再作一次觀測(cè)，但基點(diǎn)建立在更遠(yuǎn)的地方。我們當(dāng)著所有大人的面各自進(jìn)行推算，他們不禁稱贊那些推算是如此一致，數(shù)字無一不同；而皇上為了使他們信服，讓我一一讀出我的兩份推算，同時(shí)向那些老爺出示他自己的，他們則不斷驚嘆其精確。皇帝還用幾何方法測(cè)量了一段距離，在計(jì)算并公布結(jié)果后，他又命人實(shí)地丈量，其結(jié)果與計(jì)算正相吻合。([32]，頁282)

可見康熙學(xué)習(xí)測(cè)量頗有成效，并重視實(shí)際用途，還時(shí)常以此炫學(xué)于群臣，令其折服。

3 耶穌會(huì)士安多與大地經(jīng)線1度弧長(zhǎng)的測(cè)定

在初步研習(xí)測(cè)量學(xué)之后，康熙帝在出巡途中經(jīng)常親身實(shí)踐，亦經(jīng)常遣員實(shí)測(cè)，耶穌會(huì)士安多便是這些活動(dòng)的主要人物之一。安多生于今比利時(shí)納慕爾(Namur)，早年在耶穌會(huì)學(xué)院學(xué)習(xí)，1679—1680間年任教葡萄牙科因布拉(Coimbra)耶穌會(huì)學(xué)院，期間編成《數(shù)學(xué)綱要》(SynopsisMathematicacomplectensvariostractatusquoshujusscientiaetyronibusetMissionisSinicaecandidatisbreviteretclareconcinnavitP.AntoniusThomasèSocietateIesu， Duaci， 1685)，旨在為初學(xué)者和將要前往中國的傳教士提供算術(shù)、幾何、球面三角、天文、地理、力學(xué)、光學(xué)、音樂、鐘表等門類的簡(jiǎn)要知識(shí)(10)關(guān)于該書的緣起、內(nèi)容、編撰、出版、影響及閱讀史的考察，參見文獻(xiàn)[37]。。1680年，他從里斯本登船前往印度，1682年7月抵達(dá)澳門?？滴醵哪?1685)初，南懷仁年老體弱，需要助手，安多因較高的數(shù)學(xué)水準(zhǔn)而應(yīng)召，十月到京陛見，入欽天監(jiān)工作([30]，頁157，158)。

1690年初，安多幫助康熙復(fù)習(xí)南懷仁之前教授的幾何、算術(shù)和儀器知識(shí)([28]，頁126—127；[32]，頁282)；后來將《數(shù)學(xué)綱要》的部分內(nèi)容編譯為《算法纂要總綱》，又編寫《借根方算法》《借根方算法節(jié)要》，向康熙講授算術(shù)、實(shí)用幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)知識(shí)([11]，頁150—153；[10]，頁108—113)。同時(shí)，在欽天監(jiān)負(fù)責(zé)“天文歷法、五星凌犯、日食月食事”([30]，頁170)，還曾向來京纂修《明史·歷志》的黃百家(1643—1709)傳播哥白尼(Nicholas Copernicus，1473—1543)的日心說([12]，頁55—57；[14]，頁71—73)。三十六年(1697)，康熙征討噶爾丹期間，安多隨行至寧夏，測(cè)驗(yàn)閏三月初一日(4月21日)日食([6]，頁84；[38]，頁249—250)。初五日，康熙諭留守京師的皇太子胤礽(1674—1725)：

朕至此地，即以儀器測(cè)驗(yàn)，較之京城北極低一度二十分，東西遠(yuǎn)二千一百五十里。以此付安多照法推算。原謂日食九分四十六秒，乃是日大晴，測(cè)驗(yàn)之，食九分三十幾秒，并不昏黑見星。自寧夏視京師，在正東而稍北。([39]，卷40，頁32—33)(11)康熙《御制文第二集》收有同一諭旨([40]，卷24，頁13)，措詞略有差異，參見文獻(xiàn)[41]，頁184。

并令其寄告京城日食時(shí)刻情形。初七日，胤礽回奏欽天監(jiān)用儀器測(cè)得結(jié)果，又據(jù)自身觀測(cè)稱“食不至十分”，康熙朱批“安多與朕亦議，觀此地日食情狀，即斷言京城未必全食，約余數(shù)秒，果然應(yīng)驗(yàn)”[42]，透露出對(duì)安多的贊賞和信任。

除傳授數(shù)學(xué)和天文測(cè)算之外，安多也承擔(dān)了許多測(cè)繪工作。二十四年到京后不數(shù)日，安多便收到康熙讓他繪制韃靼地圖的要求([6]，頁67)。(12)1689年《尼布楚條約》簽訂以后，安多曾繪制兩幅亞洲地圖寄往羅馬，參見文獻(xiàn)[8]，頁83—84。三十七年(1698)三月，直隸巡撫于成龍(1638—1700)等“奉使往視渾河、清河”測(cè)量河道([36]，冊(cè)11，頁6279—6281)，十六日“以渾河圖形呈覽”，奏稱：

臣同西洋安多等自霸州入定河一道，自盧溝橋起至霸州藥王廟止，尚可由水路丈量。自霸州堤乘馬至苑家口，乘船至信安，由信安至丁字沽，看至里郎城，履舊河形，一路丈量到永清、固安。([36]，冊(cè)11，頁6298—6299)(13)同日《實(shí)錄》記載([31]，卷187，冊(cè)5，頁996)較所引《起居注》稍略，參見文獻(xiàn)([9]，頁102)。

可見安多全程跟隨于成龍前往霸州等地測(cè)量河道形勢(shì)，繪制成圖。(14)當(dāng)年七月于成龍疏言“霸州等處挑濬新河已竣”，康熙賜名“永定河”([31]，卷189，冊(cè)5，頁1007)。值得指出的是，此前康熙曾數(shù)至霸州視察渾河、清河，之后三十八至四十一年間，更是每年皆至霸州一帶巡視河堤([36]，冊(cè)14，頁7487—7496，7782—7786，7933—7935；冊(cè)15，頁8511，8514，8519—8520；冊(cè)17，頁9248—9250)。三十七至三十八年間(1698—1699)，安多還受命前往南直隸繪制黃河圖形([6]，頁67—68)。(15)康熙四十一年(1702)，安多還曾前往俄羅斯館索取俄國地圖，然未能獲得，事見文獻(xiàn)[43]。

在討論安多測(cè)量大地經(jīng)線1度弧長(zhǎng)的工作(16)翁文灝、李約瑟等([44]，頁4；[45]，頁27；[46])曾述及康熙朝輿地測(cè)繪以安多所測(cè)經(jīng)線每度里數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)。之前，我們先簡(jiǎn)單回顧相關(guān)背景。希臘化時(shí)期數(shù)學(xué)家埃拉托色尼(Eratosthenes，約前276—前195)根據(jù)地圓學(xué)說和日影觀測(cè)估算周長(zhǎng)、每度弧長(zhǎng)、半徑等地球尺度，之后學(xué)者屢有改訂。唐代中土雖無地圓觀念，僧一行等亦通過實(shí)測(cè)和校算得出北極出地高度差1度而南北相距351里80步，實(shí)與經(jīng)線每度弧長(zhǎng)相當(dāng)。[45]晚明地圓說自歐洲輸入，傳教士皆以中國里數(shù)給出大地每度弧長(zhǎng)，或因換算誤差，數(shù)值不盡相同([47]，頁37—38；[48]，頁172，174；[49])。萬歷二十六年(1598)南京刊印《山海輿地全圖》之際，利瑪竇重新設(shè)定地球每度為250里([50]，頁37—38；[51]，頁21—22)(17)關(guān)于南京所刻《山海輿地全圖》的年份，參見文獻(xiàn)([52]，頁307)。，爾后《乾坤體義》《渾蓋通憲圖說》《表度說》《簡(jiǎn)平儀說》及《天問略》《職方外紀(jì)》《崇禎歷書》等西學(xué)著作，以及南懷仁《坤輿圖說》(1674)均沿襲此值。

康熙帝曾于三十五年(1696)行軍途中測(cè)定喀倫北極高度與京師相差5度，認(rèn)為“以此度之，里數(shù)乃一千二百五十里”([39]，卷22，頁33；[40]，卷19，頁7)，(18)參見文獻(xiàn)([41]，頁184)。仍從1度250里之說；及至1698年12月查看西韃靼地圖，發(fā)覺按緯度推算的距離與此前實(shí)測(cè)不符，遂向安多咨詢緣由。1702年冬南巡期間，他委派皇三子胤祉(1677—1732)攜領(lǐng)人員實(shí)施測(cè)量，安多作為這次活動(dòng)的主持者，將詳細(xì)經(jīng)過寫成《關(guān)于1702年12月在中國直隸進(jìn)行的地球一度的測(cè)量》(De dimensione unius gradus Orbis Terrae Factain Prov(incia) Pekinensi Regni Sinarum Anno 1702， Mense Decembri)的專題報(bào)告寄往歐洲([5]，tome 46，頁154—181；[6]，頁111—114；[9]，頁92—100)(19)報(bào)告節(jié)譯參見本文附錄。。

在此稍前，歐洲已有類似的大地測(cè)量活動(dòng)。其中法國天文學(xué)家、測(cè)地學(xué)家皮卡爾(Jean Picard，1620—1682)的工作最為重要。作為1666年皇家科學(xué)院的創(chuàng)始成員，皮卡爾于1668—1670年間為科學(xué)院主持測(cè)量Sourdon和Malvoisine兩地間的經(jīng)線弧長(zhǎng)以獲得更為精確的地球半徑值，后將這次測(cè)量的儀器、方法、經(jīng)過等匯集在《地球測(cè)量》(Mesuredelaterre， 1671)一書[53]中出版。在測(cè)量之前，他首次為象限儀等測(cè)角儀器配備望遠(yuǎn)鏡，這一革新大大提高了觀測(cè)的準(zhǔn)確性。他以13個(gè)大三角形組成的三角測(cè)量網(wǎng)得出兩地的間距，并根據(jù)起訖點(diǎn)緯度差推算大地經(jīng)線1度弧長(zhǎng)為57060篤亞斯(toise)，由此導(dǎo)出的地球半徑曾被牛頓(Isaac Newton，1643—1727)用于驗(yàn)證其地心引力理論[54—55]。

1702年11月中旬，胤祉派員在北京周邊尋找適合測(cè)量的平原地域，最終選定在順天府霸州至河間府交河縣之間。12月2日從霸州城外開始，以長(zhǎng)度為1標(biāo)準(zhǔn)里的鐵線逐里丈量，并設(shè)樁立桿，以儀器窺望相準(zhǔn)，確保其沿經(jīng)線方向連續(xù)取直。如此量取200里，全程基本在同一經(jīng)線之上。隨后測(cè)量南北兩端北極高度及正午太陽高度、日影長(zhǎng)度等，為盡可能獲得精確的結(jié)果，所用儀器均專門調(diào)制以保證水平穩(wěn)固，天文象限儀則仿照皮卡爾的方法設(shè)置精密望遠(yuǎn)鏡。通過數(shù)次細(xì)致觀測(cè)，確定兩端北極高差1°1′32″，推出經(jīng)線1°弧長(zhǎng)195里6步。為簡(jiǎn)便計(jì)算，康熙將該值取整為200里。(20)依安多報(bào)告所言，步等長(zhǎng)度單位皆應(yīng)相應(yīng)縮短為原長(zhǎng)的39/40。但此一變更實(shí)際曾否進(jìn)行，尚存疑問。又按1里=360步(180丈)和角度60進(jìn)制換算，1′對(duì)應(yīng)1200步(600丈)，1″對(duì)應(yīng)20步(10丈)，亦皆為整數(shù)，極便推算。

關(guān)于這次測(cè)量，中文史料也有記載。據(jù)官方文獻(xiàn)，四十一年康熙南巡，十月初四(11月23日)到達(dá)德州，初五至二十日(11月24日—12月8日)因皇太子患病，駐蹕行宮([36]，冊(cè)17，頁9621—9662)?！堕糯謇m(xù)語錄》亦載，康熙“至德州，東宮病作，駐蹕焉”，繼而敘述其在此期間與時(shí)任直隸巡撫李光地(1642—1718)談話，提出“明初營(yíng)造尺竟是古尺”，并論述如何利用“西法”(以單擺計(jì)量炮聲每秒里數(shù))和累黍予以驗(yàn)證，之后談到：

又歷家云，天上一度，抵地上二百五十里。朕雖未細(xì)測(cè)，覺得有二百五十里?？滔乱呀腥⒏缱跃┲屑?xì)細(xì)量來。三阿哥算法極精，如今至德州，雖少偏東，用鉤股法取直量來，釘樁橛以記之，再無不準(zhǔn)者。[56]

十月二十一日(12月9日)，康熙起程回京，對(duì)李光地說：“三阿哥已量來了，恰好天上一度，地上二百里?！崩罟獾匾詾椋舭粗艹邽楫?dāng)時(shí)八寸換算，“恰是二百五十里當(dāng)一度也?！笨滴鯇?duì)此表示肯定，曰：“正是。余此行大有所得。少知得算法，又考求得明尺即古尺，存古人一點(diǎn)跡，亦是好的。[56]”二十四日(12月12日)回鑾途中，康熙又諭示隨行的張玉書(1642—1711)和李光地：

用儀器測(cè)量遠(yuǎn)近，此一定之理，斷無差舛。萬一有舛，乃用法之差，非數(shù)之不準(zhǔn)。以此算地理、算田畝，皆可頃刻立辨，但須細(xì)用工夫，方能準(zhǔn)驗(yàn)，大抵不離三角形耳。三角形從前雖無此名，而歷來算法必有所本，如勾股法亦不離三角形，是此法必自古流傳，特未見于書，故不知所始也。([57]，卷5，頁4—5)

康熙對(duì)使用儀器測(cè)量遠(yuǎn)近距離的準(zhǔn)確性予以充分肯定，這顯然與他早年就此學(xué)習(xí)、操作、推算的親身經(jīng)歷以及當(dāng)時(shí)進(jìn)行的測(cè)量活動(dòng)不無關(guān)系。

這次測(cè)量和康熙的相關(guān)諭示給李光地留下深刻印象。他后來在《歷象本要》中論及由地理經(jīng)度不同造成的“里差時(shí)刻”，指出“北極高下殊，而地有南北之緯差；時(shí)刻早晚異，而地有東西之經(jīng)差”，并附記往事：

壬午冬，鑾輿南巡，命皇子領(lǐng)西洋籌人自京城南至德州，七百余里，立表施儀，密加測(cè)望，淹歷旬月，乃得星度道里之真，計(jì)地距二百里而極高差一度。舊說云二百五十里者，大疏闊矣。然所用者今工部營(yíng)造尺，或古尺當(dāng)今八寸，則未可知爾。臣地實(shí)扈從與聞之。[58]

對(duì)照西文材料，此處所稱“皇子”即胤祉，“西洋籌人”即安多([59]，頁54—55；[41]，頁185)，而“立表施儀，密加測(cè)望”正是對(duì)使用儀器測(cè)量的描述。(21)約康熙五十二至五十三年間，魏廷珍(1669—1756)等奉旨將其樂律知識(shí)的學(xué)習(xí)概要寫給李光地，后者見到“古尺當(dāng)今營(yíng)造尺八寸”的諭示，再次重提舊事：“憶前歲皇上遣官立表量地，自京師至德州，約極高移一度而地差二百里，合之古人二百五十里而差一度之說，正為古尺得今之八寸也”([60]，頁17)。

對(duì)于四十一年大地每度里數(shù)的測(cè)定結(jié)果，康熙頗為自得，后來在不同場(chǎng)合反復(fù)提及。四十三年(1704)十月，他向大學(xué)士等談?wù)摮叨群土恐埔?guī)范時(shí)指出：“天之一度，即地之二百里。但各省地里有以大尺量者，有以八寸小尺量者，畫地理圖稍有不合者，職此故也。[61]”五十年(1711)，借朝鮮人越境殺人案審理之機(jī)，他密令穆克登(1664—1735)勘定中朝邊界，同時(shí)將此前傳教士未能前往的長(zhǎng)白山一帶詳加測(cè)繪，五月就此事與大學(xué)士等談話[62]：

天上度數(shù)，俱與地之寬大吻合。以周時(shí)之尺算之，天上一度，即有地下二百五十里；以今時(shí)之尺算之，天上一度，即有地下二百里。自古以來，繪輿圖者俱不準(zhǔn)照天上之度數(shù)推算地里之遠(yuǎn)近，故差誤者多。朕前特差能算善畫之人，將東北一帶山川地里，俱準(zhǔn)照天上度數(shù)推算，詳加繪圖視之。([36]，冊(cè)19，頁10670—10671)(22)同日《實(shí)錄》記載([31]，卷246，冊(cè)6，頁440)與所引《起居注》基本相同，個(gè)別字詞略異。

這段諭示強(qiáng)調(diào)經(jīng)線度數(shù)與弧長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)輿地測(cè)繪的根本性作用，亦表明經(jīng)線每度里數(shù)標(biāo)準(zhǔn)在四十八至四十九年間(1709—1710)滿洲測(cè)繪時(shí)確在遵行。約在此前后，康熙所撰《量天尺論》亦言及天地度數(shù)相應(yīng)，再次指明“地之一度，以周尺測(cè)驗(yàn)，得二百五十里而無余；以今尺測(cè)驗(yàn)，得二百里無余”([57]，卷19，頁11)。(23)關(guān)于《量天尺論》，參見文獻(xiàn)([41]，頁91—92)。冠有“御制”之名的《數(shù)理精蘊(yùn)》，下編“首部”開篇規(guī)定“度量權(quán)衡”，其“里法”中便載入此一標(biāo)準(zhǔn)([63]，卷1，頁5)。(24)與此相應(yīng)，《數(shù)理精蘊(yùn)》編入《算法纂要總綱》例題時(shí)亦將有關(guān)里數(shù)予以更正?！端惴ㄗ胍偩V》第6節(jié)“三率求四率之法”有題曰“有地球二度，系五百里。今七度，該里數(shù)若干？”([64]，頁117)，《數(shù)理精蘊(yùn)》改題設(shè)為“設(shè)如天上二度，當(dāng)?shù)孛嫠陌倮铩?[63]，卷3，頁7)。五十五年(1716)，據(jù)全國測(cè)繪結(jié)果制作的《大清中外天下全圖》，經(jīng)緯線每半度交錯(cuò)形成網(wǎng)格，圖說則稱：“用儀器考北極高度，繪中外輿圖，每方百里。自北距南二百里，則北極高一度；自南距北二百里，則北極低一度；距百里，則半度。余各有差。[65]”五十八年(1719)二月《皇輿全覽圖》告成，康熙命九卿大臣觀看，諸臣的贊語中也有“極高差一度，為地距二百里”之辭([31]，卷283，冊(cè)6，頁765)。此后該標(biāo)準(zhǔn)逐漸為人所知，如曾在蒙養(yǎng)齋學(xué)習(xí)的算學(xué)家梅瑴成(1681—1764)不僅在自己的論著中采用新測(cè)里數(shù)，還據(jù)之改訂乃祖梅文鼎(1633—1721)的舊作。(25)梅瑴成《里差論》有注“地差二百里，則天頂差一度”([66]，頁21)。梅文鼎《歷學(xué)疑問補(bǔ)·論周髀所之說必在唐虞以前》言“北極髙一度，則地面差數(shù)百十里”，下注“屢代所測(cè)微有不同，今定為二百五十里”([67]，頁12)，梅瑴成改訂里數(shù)為“二百”([68]，卷49，頁12)。

4 康熙時(shí)代測(cè)量學(xué)知識(shí)在宮廷的傳播：《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》

康熙時(shí)代宮廷內(nèi)曾翻譯、編纂有多種歷算書籍，如《幾何原本》《算法原本》《算法纂要總綱》《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》《比例規(guī)解》《八線表根》《勾股相求之法》《借根方算法》《借根方算法節(jié)要》《比例表用法》《數(shù)表用法》等著作及各類實(shí)用算表。它們最初是供康熙帝學(xué)習(xí)的講義和參考用書，后來則成為纂修《數(shù)理精蘊(yùn)》的基礎(chǔ)。(26)關(guān)于康熙時(shí)代宮廷編撰的數(shù)學(xué)書籍，李儼1930年代初已留心考察北平圖書館、故宮圖書館等館所藏，并認(rèn)識(shí)到《數(shù)理精蘊(yùn)》系據(jù)此修正而成，參見文獻(xiàn)([69]，頁158—160；[70]，頁12—13；[71])。韓琦在《康熙時(shí)代傳入的西方數(shù)學(xué)及其對(duì)中國數(shù)學(xué)的影響》中系統(tǒng)考察了這些宮廷數(shù)學(xué)著作，后又發(fā)掘里昂所藏諸書，考察《算法纂要總綱》諸本異同，揭示出宮廷數(shù)學(xué)著作編纂的復(fù)雜過程，參見文獻(xiàn)([72]，頁22—43；[11]，頁147—154)。其中，《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》為測(cè)量學(xué)專論。所謂“測(cè)量高遠(yuǎn)”，即間接測(cè)量高程(含高度、深度)與遠(yuǎn)距(含長(zhǎng)度、廣度、斜距等)的直線長(zhǎng)度，是實(shí)用幾何學(xué)和測(cè)量學(xué)的基礎(chǔ)。

4.1 《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》的內(nèi)容

《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》篇首為凡例，其后內(nèi)容即各種測(cè)量方法的23題(表1)，可大體分為3類。前14題使用“儀器”，其中題1—8、題13—14只需簡(jiǎn)單的比例推算，并設(shè)有比例規(guī)用法，或用“平分線”代三率法，或用“測(cè)量線”代查八線表及三率法；(27)具體算例可參考題1“有知遠(yuǎn)不知高求知高之法”([73]，頁1—2)。除版本比較外，本文引注《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》，皆據(jù)中國國家圖書館藏清抄本(A02726)即文獻(xiàn)[73]。題9—12相對(duì)復(fù)雜，需要利用三角學(xué)多次測(cè)算。題15—20及題23使用水碗、測(cè)竿等器具測(cè)量，而皆以相似直角三角形邊長(zhǎng)作比例推算。題21、題22是不借助器具估算遠(yuǎn)距的方法。(28)題23“不用儀器求高遠(yuǎn)之法”實(shí)際需要“手執(zhí)一尺”([73]，頁23)。

表1 《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》各題和所用儀器或用具

續(xù)表1

* 此六題實(shí)際使用八線表，只是題中未明確言及。

通觀全篇，“儀器”諸題均以“有高遠(yuǎn)俱不知”“求井深”“測(cè)高不能退步”等已知情形或求解對(duì)象為名；其他題名則大多點(diǎn)明所用測(cè)量手段或工具，如“水平測(cè)”“用竿測(cè)高遠(yuǎn)”等等。由此表明，所謂“儀器”并非泛稱，應(yīng)是特定的一種。關(guān)于此儀形制，僅有凡例中的簡(jiǎn)略說明：“此書之用，俱是照儀器高線、地平線之三十分?jǐn)?shù)錄者。但儀器或有三十分，或有五十分，而至百分等等不同，隨造儀器之便?！?[73]，頁1)再看其具體用法：

安儀器于所立之處，將地平直線墜定，穩(wěn)住儀器勿動(dòng)，將測(cè)表眼與塔尖相對(duì)，取必直一線中，察表與高線幾分相交，假如與二十五分相交，則以地平線為一率，相交二十五分為二率，離遠(yuǎn)八十丈為三率，……([73]，頁1)

從比例算法可以推知，“三十分”“二十五分”均是儀器之上的分度即比例長(zhǎng)度，據(jù)此判斷，所謂“地平線”“高線”當(dāng)即前揭固定式矩度的直影與倒影，(29)明季《測(cè)量全義》介紹的固定式矩度形制“立邊書高深，平邊書遠(yuǎn)”([24]，卷3，頁9)，與此略同?！皽y(cè)表”則指窺衡。同題另法又稱“看測(cè)表與儀器周圍度線幾度幾分相交”([73]，頁1)，其值用八線表正弦入算，“幾度幾分”顯系角度，而“周圍度線”應(yīng)即象限弧?？傊瑫袕椒Q的“儀器”具備分度與角度測(cè)量功能，應(yīng)是矩度、象限儀內(nèi)外嵌套的組合儀器。值得指出的是，使用此儀的14題中，有6題以矩度和象限儀分別測(cè)量，而推算結(jié)果一致，可以互為驗(yàn)證，有利于初學(xué)者的理解。

相較明季傳入的測(cè)量學(xué)知識(shí)，《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》在方法上有不少更新之處。如題10“測(cè)高不能退步作如何之法”(圖2)：

設(shè)有如一遠(yuǎn)山，欲測(cè)其高，不能退步，亦不能前進(jìn)。欲求高數(shù)若干，則先邪安儀器于丁，不動(dòng)表對(duì)丙，轉(zhuǎn)表對(duì)甲，察測(cè)表得幾度，假如得八十度，為甲丁丙角之?dāng)?shù)。將丁與丙橫線有幾丈量準(zhǔn)，假如得十丈。再移儀器，邪安于丙，將不動(dòng)表對(duì)丁，轉(zhuǎn)表對(duì)甲，察測(cè)表得幾度，假如又得六十八度，為甲丙丁角之?dāng)?shù)?！帽锥〗侨取Ｓ萌戎覟橐宦?，……得十八丈五尺，為甲丙線數(shù)。([73]，頁11—12)

前揭《測(cè)量全義》象限儀用法有平置或側(cè)立兩種方式，此處則用“斜安”以測(cè)量斜面角，(30)事實(shí)上，《測(cè)量全義》介紹的某些方法需要斜置象限儀測(cè)量或設(shè)置角度，但未予明確說明。即以所測(cè)遠(yuǎn)處高點(diǎn)與平地兩點(diǎn)在斜向平面構(gòu)造三角形，測(cè)量其平地邊長(zhǎng)及相鄰兩角，以求得一邊斜遠(yuǎn)?！稖y(cè)量法義》曾介紹“以平鏡測(cè)高”([22]，頁17)即利用鏡面反射的測(cè)量方法，但僅用一次，限于高遠(yuǎn)互求；該書的“水平測(cè)法”則首次引入“高遠(yuǎn)俱不知”“從兩所測(cè)山之高”([73]，頁18—19)(圖3)等兩次利用的方法。又題21測(cè)湖寬、題22測(cè)云距并不借助器具，實(shí)因所測(cè)目標(biāo)相距較遠(yuǎn)而須“取圓式”([73]，頁22)，即考慮地面曲率，方法新穎，亦有助于地圓學(xué)說的理解。(31)在此之前，南懷仁在《靈臺(tái)儀象志》中已經(jīng)介紹某些考慮地球曲率的測(cè)量問題，參見文獻(xiàn)[74]。在編撰風(fēng)格上，該書也較明季同類著作表現(xiàn)出更為鮮明的實(shí)用特征。如題目名稱中的“在高處不用下地可知其高”“在高測(cè)高不能前進(jìn)亦不能后退”“在高測(cè)高前后左右不能移儀器”等表述，顯示出編者盡可能將這些方法置于實(shí)際場(chǎng)景以解決具體難題的考量。書中還注意指出某些方法在實(shí)際情形中的適用性，如強(qiáng)調(diào)“大凡用日影測(cè)法，若高遠(yuǎn)俱不知，不便于午時(shí)”并解釋緣由，測(cè)湖寬則注明“此法遠(yuǎn)六七里之外者可用之，近者不便”([73]，頁21—22)。

圖3 用水平鏡面前后兩次測(cè)高圖示([73]，頁19)

4.2 《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》的編纂

就目前所知，《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》現(xiàn)有四種抄本存世(表2)。北京故宮博物院圖書館藏一部(32)影印收入《故宮珍本叢刊》，見文獻(xiàn)[75]。；中國國家圖書館藏一部，為康熙十三子怡親王胤祥(1686—1730)安樂堂原藏，后為孔繼涵(1739—1783)收藏；又法國里昂市立圖書館藏有兩部，為康熙年間來華的法國耶穌會(huì)士巴多明(Dominique Parrenin，1665—1741)寄回([76]；[69]，頁158；[11]，頁148—150)。(33)中國科學(xué)院自然科學(xué)史所另藏一部，系李儼依國圖藏本影抄。經(jīng)查對(duì)，四種抄本分屬于兩個(gè)版本系統(tǒng)，即(甲)國圖藏本與里昂藏本一(Ms.82- 90 D)；(乙)故宮藏本與里昂藏本二(Ms.75- 80 D)。諸抄本均不分卷，共23葉，半葉13行，行15字。其文本內(nèi)容亦大體相同，唯甲類抄本葉22“不用儀器測(cè)遠(yuǎn)法”(圖4)和“測(cè)遠(yuǎn)望去有如與地平相等之云法”各多一段簡(jiǎn)短附語：

此地半徑，用九萬里變丈尺求徑，半之即地半徑也。徑折半畢，以一百八十丈乘之。

此地半徑，用九萬里求徑，折半即地半徑也。([73]，頁22)

圖4 《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》國圖藏本(左)和故宮藏本(右)“不用儀器測(cè)遠(yuǎn)法”([73]，頁22；[75]，頁479)

所謂“九萬里”即地球周長(zhǎng)，合1度250里。(34)甲類抄本地球半徑“二五七七六〇〇”(步)和“一四三二四里”([73]，頁22)即據(jù)引文算法估算，乙類抄本雖刪去地球周長(zhǎng)“九萬里”兩段，但地球半徑值([75]，頁479)并未相應(yīng)改訂。又甲類兩本皆與《比例規(guī)解》《八線表根》同在一冊(cè)；乙類兩本皆與《比例規(guī)解》同在一冊(cè)，其后皆有《地平線離地球(圓)面表》(故宮藏本在同冊(cè)，里昂藏本二在后冊(cè))，該表系依照“二百里為一度，三里零六十丈為一分，十丈為一秒”編制。(35)引文據(jù)里昂所藏《地平線離地球圓面表》([77]，書衣題簽小注)。書內(nèi)所稱“遠(yuǎn)數(shù)”即度數(shù)對(duì)應(yīng)的經(jīng)線弧長(zhǎng)，一秒、一分、一度“遠(yuǎn)數(shù)”([77]，頁1，2，10)與此規(guī)定數(shù)值吻合。故宮所藏《地平線離地球面表》影印本文獻(xiàn)[78]未見書衣，四十一秒至一分四十一秒整葉闕。圖示方面，甲類抄本相對(duì)簡(jiǎn)略，乙類抄本更為精細(xì)，特別是“用日影測(cè)高遠(yuǎn)法”之圖，甲類抄本全無樓宇等實(shí)景，僅以幾何虛線表示其高(圖5)。綜合考量，甲類抄本當(dāng)系初稿，其成書應(yīng)在前所述康熙四十一年修正地球經(jīng)線每度里數(shù)以前。乙類抄本定稿較晚，當(dāng)是四十一年以后略加刪訂，并附《地平線離地球(圓)面表》。

表2 《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》現(xiàn)藏諸本及異同

圖5 《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》國圖藏本(左)與故宮藏本(右)日影測(cè)法圖示([73]，頁21；[75]，頁479)

《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》不著撰人，最有可能是安多編纂。他在編譯《算法纂要總綱》《借根方算法》《借根方算法節(jié)要》以外，還曾教授比例規(guī)用法并編寫專論(de usu circini proportionis)([13]，頁141)，編制中文的正弦、余弦和正切數(shù)表([6]，頁57)，故而《比例規(guī)解》《八線表根》也可推定為其著作。鑒于安多曾主持大地經(jīng)線1度弧長(zhǎng)的實(shí)測(cè)，《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》的測(cè)量方法闡述詳明，又多用比例規(guī)、八線表計(jì)算，且與《比例規(guī)解》《八線表根》先后合訂于同冊(cè)，應(yīng)當(dāng)也是安多所作。(36)韓琦之前已有此推斷，參見文獻(xiàn)[11]，頁150腳注①。又據(jù)前揭《地平線離地球(圓)面表》與《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》的關(guān)系，該表亦當(dāng)是安多制作。

此外，《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》所述測(cè)量學(xué)知識(shí)與安多自著《數(shù)學(xué)綱要》多有相似?！稊?shù)學(xué)綱要》第三章《論實(shí)用幾何》(De Geometria Practica)共六節(jié)，第一節(jié)“論直線三角形的解法”(De resolutione triangulorum rectilineorum)、第五節(jié)“論面的測(cè)算”(De superficierum dimensione)、第六節(jié)“論體的測(cè)算”(De dimensione solidorum)分別編譯為《算法纂要總綱》之“算三角形總法”“算各面積”“算體總法”([11]，頁152)，而其余三節(jié)皆與測(cè)量有關(guān)：第二節(jié)“論幾何(測(cè)量)儀器”(De Instrumentis Geometricis)、第三節(jié)“論度量”(Mensuris)([79]，頁145—160)是預(yù)備知識(shí)，第四節(jié)“論線的測(cè)算”(De dimensione linearum)([79]，頁161—181)即討論高遠(yuǎn)測(cè)量，除第二、第四款為一些塔和山的高度外，就是闡述具體方法的19道命題。《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》與《數(shù)學(xué)綱要》的測(cè)量方法可以建立某些對(duì)應(yīng)關(guān)系。如前書“測(cè)井深之法”即與后書“測(cè)量井的深度”(Putei profunditatem metiri)所用儀器、方法相同([73]，頁8；[79]，頁181)；前書“用日影測(cè)高遠(yuǎn)法”中的以遠(yuǎn)測(cè)高之法，亦同于后書“用影子測(cè)量”(metiri per umbram)([73]，頁21；[79]，頁162)。又，前書“有高遠(yuǎn)俱不知求知之法”的矩度與象限儀測(cè)法，可分別與后書“用度高標(biāo)尺測(cè)量不能到達(dá)的塔的高度”(altitudinem turris inaccessae metiri scalaltimetr)和“當(dāng)塔不能到達(dá)時(shí)測(cè)量”(meriti， quando turris est inaccessa)的內(nèi)容對(duì)應(yīng)([73]，頁4—5；[79]，頁164—165，166—167)。

還有例證顯示出兩書之間的緊密關(guān)聯(lián)。其一是特殊的測(cè)量方法?！稖y(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》測(cè)云距之法，要求“有云遠(yuǎn)望之如與地平相等”([73]，頁22)(圖6)，如此便可利用視線與地面相切而構(gòu)成的直角三角形求解；而《地平線離地球(圓)面表》亦據(jù)此計(jì)算“離數(shù)”即相應(yīng)度數(shù)的地表弧線與地平切線之間的離差。《數(shù)學(xué)綱要》“論線的測(cè)算”命題14“測(cè)量山的絕對(duì)高度”(Montis altitudinem absolutam metiri)測(cè)算原理完全相同，即立于地平平望遠(yuǎn)處山頂，再利用視線與地徑相切測(cè)算山峰海拔高度([79]，頁175)(圖7)。其二是特殊的測(cè)量?jī)x器。前揭《數(shù)學(xué)綱要》第二節(jié)“論幾何儀器”一節(jié)，分為測(cè)角儀器(De instrumentis ad angulos metiendos)與測(cè)線儀器(Instrumenta ad lineas mentiendas)兩款，前者包含天文象限儀(quadrans astronomicus)，后者則有矩度(度高標(biāo)尺，scala altimetra)和比例規(guī)(circinus proportionalium)兩種([79]，頁145—146，150—152)。其矩度圖示(圖8)內(nèi)含象限弧，與《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》的“儀器”即矩度和象限儀的組合樣式相應(yīng)；(37)安多曾受命制作一具名為pyxis quadrata的組合儀器，其外部有天文象限儀，內(nèi)部畫有測(cè)量(幾何)儀器([13]，頁141)，或即《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》所用。將比例規(guī)視為測(cè)量?jī)x器的歸類方式，亦與《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》多使用比例規(guī)計(jì)算的特點(diǎn)一致。

圖6 《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》測(cè)云距圖示([73]，頁22b)

圖7 《數(shù)學(xué)綱要》所示測(cè)山高([79]，Lam.14)

圖8 《數(shù)學(xué)綱要》所示矩度樣式([79]，Lam.8)

以上考察表明，《數(shù)學(xué)綱要》“論線的測(cè)算”一節(jié)應(yīng)是《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》的編纂基礎(chǔ)。兩書討論的測(cè)量學(xué)知識(shí)多有相關(guān)，文本內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、體例則不盡相同。(38)《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》總體上以測(cè)量?jī)x器與用具為中心，而《數(shù)學(xué)綱要》則以測(cè)量對(duì)象為中心，將高度測(cè)量與長(zhǎng)度、廣度、深度的測(cè)量分作不同類別；前者各題均有詳細(xì)步驟并設(shè)具體數(shù)值測(cè)算，而后者各命題一般僅闡述簡(jiǎn)明方法，并不舉例演算(僅Prop.VIII附有一個(gè)演算實(shí)例)。鑒于安多本人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，他完全有能力在《數(shù)學(xué)綱要》的基礎(chǔ)上增補(bǔ)若干測(cè)量方法，并以儀器用法為中心，編纂成一部實(shí)用、易解的測(cè)量學(xué)講義。

5 余論

作為歐洲實(shí)用幾何學(xué)的重要內(nèi)容，測(cè)量學(xué)知識(shí)在康熙時(shí)代的科學(xué)傳播中扮演了重要角色。自西學(xué)研習(xí)之初，康熙帝就對(duì)測(cè)量學(xué)及其儀器操作情有獨(dú)鐘，不僅在耶穌會(huì)士的指授下親自推算和實(shí)踐，還因軍事、河工等治國之需，屢屢派員測(cè)地繪圖。特別是康熙四十一年自霸州至交河的大地測(cè)量，由皇帝策劃、耶穌會(huì)士安多主持、皇三子胤祉組織實(shí)施，在此前法國科學(xué)院同類工作的基礎(chǔ)上，沿地表經(jīng)線丈量約1度的弧線長(zhǎng)度，由此確立每度里數(shù)，為全國范圍的輿地測(cè)繪奠定了標(biāo)準(zhǔn)。

康熙四十一年大地每度里數(shù)標(biāo)準(zhǔn)確立之際，康熙帝在向張玉書、李光地談?wù)摗坝脙x器測(cè)量遠(yuǎn)近”的諭示中，還提出三角法在中國古已有之的論調(diào)。次年(1703)七月，他就此加以闡發(fā)，撰成《御制三角形推算法論》，正式提出“西學(xué)中源”說，并不斷向臣屬論及([3]，頁2—4)。(39)另值得指出的是，四十一年康熙南巡談?wù)摐y(cè)量話題的同時(shí)，李光地亦曾以梅文鼎《歷學(xué)疑問》進(jìn)呈御覽，次年春蒙批點(diǎn)發(fā)還，此后梅氏《三角法舉要》《弧三角舉要》《塹堵測(cè)量》《環(huán)中黍尺》等此前多已成稿三角學(xué)著作集中在保定校訂刊印，很可能與康熙關(guān)于三角的論說有關(guān)。四十一年的大地測(cè)量活動(dòng)可說是促使康熙邁向“西學(xué)中源”的關(guān)鍵因素之一，引發(fā)了深遠(yuǎn)的歷史影響。

大地每度里數(shù)測(cè)定以后，康熙帝仍對(duì)測(cè)量知識(shí)保持著濃厚興趣。四十八年(1709)五月，正值傳教士在滿洲測(cè)繪之際，他召見算學(xué)家陳厚耀(1648—1722)，在詢問所學(xué)之后：

午刻，內(nèi)侍李玉傳旨問：汝測(cè)量是何法？臣跪?qū)υ疲簻y(cè)量之法，由近可以測(cè)遠(yuǎn)，由卑可以測(cè)高，由淺可以測(cè)深。又問：能用儀器否？臣對(duì)云：臣家無儀器，只用丈尺亦能測(cè)量，與儀器同是一理。儀器以圓測(cè)方，須用八線表；丈尺以方測(cè)方，直用三率法。([80]，頁30；[81]，頁28)(40)關(guān)于所引兩篇文獻(xiàn)及其解讀，參見文獻(xiàn)[82—83]。

這段君臣對(duì)答既體現(xiàn)出陳厚耀對(duì)測(cè)量方法及其原理的良好掌握和理解(41)陳厚耀曾作《測(cè)量法義》一篇，概論高遠(yuǎn)測(cè)量的基本原理與方法。，也反映出康熙對(duì)這類知識(shí)特別是用儀器測(cè)量的長(zhǎng)期關(guān)注。五十年(1711)二月，康熙巡閱通州河堤，又偕多位皇子和滿漢大臣測(cè)量河岸距離并示范儀器用法：

于是取儀器插地上，令將豹尾鎗縱橫豎立，上親從儀器者定方向，遣雍親王、恒親王、尚書黑碩色、侍郎揆敘分頭釘樁，以記丈量之處。又于盡頭處立黃傘，以為標(biāo)準(zhǔn)。上席地而坐，命皇太子測(cè)報(bào)儀器度數(shù)，回取紙裱方形儀盤，置于膝上，以尺度量，用針畫記，硃筆點(diǎn)之，算畢，令從盡頭處丈量至所插儀器處，其丈尺與所算之?dāng)?shù)吻合，隨侍臣工無不稱奇。([36]，冊(cè)19，頁10506—10507)(42)同日《實(shí)錄》記載([31]，卷245，冊(cè)6，頁431)與所引《起居注》略同，但省去部分細(xì)節(jié)。

五十二年(1713)萬壽慶典之際，王鴻緒(1645—1723)呈獻(xiàn)的禮物中有“西洋察量遠(yuǎn)近儀器一個(gè)”[84]，迎合了康熙對(duì)歐洲測(cè)量?jī)x器的喜好。(43)關(guān)于此次慶典與康熙朝后期宮廷歷算特別是蒙養(yǎng)齋算學(xué)館成立的關(guān)系，參見Han Qi, “1713: A Year of Significance,” lecture, REHSEIS, CNRS, Paris, 9 January,2007, https://www.academia.edu/8278554.對(duì)康熙帝而言，終其一生，鐘情于測(cè)量，反映出科技知識(shí)在皇權(quán)統(tǒng)治中的重要作用。

《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》是康熙時(shí)代宮廷編纂的測(cè)量學(xué)專著，該書以一種矩度與象限儀合一、分度與角度兼測(cè)的“儀器”為中心，系統(tǒng)解說其在各類實(shí)際場(chǎng)景中的用法，而旁及其他測(cè)量方法。該書的內(nèi)容相較明季的介紹多有更新，充分體現(xiàn)了當(dāng)時(shí)宮廷數(shù)學(xué)教育注重理解、偏向?qū)嵱玫奶卣鳌６喾阶C據(jù)表明，該書應(yīng)為安多參考其西文著作《數(shù)學(xué)綱要》的測(cè)量學(xué)內(nèi)容并補(bǔ)充相關(guān)材料編纂而成，在康熙四十一年大地每度里數(shù)測(cè)定后略加修訂，和《比例規(guī)解》《八線表根》《地平線離地球(圓)面表》等著作一道，為后來全國大地測(cè)量提供了必備的知識(shí)基礎(chǔ)?！皽y(cè)量高遠(yuǎn)儀器”也在輿地測(cè)繪中廣泛施用，更以康熙“御制方矩象限儀”之名編入《皇朝禮器圖說》[85]，成為國家儀制的組成部分?？滴跷迨昝绅B(yǎng)齋開館修書后，《測(cè)量高遠(yuǎn)儀器用法》亦有不少內(nèi)容融入《數(shù)理精蘊(yùn)》之中，這些知識(shí)的后續(xù)編纂與完善，尚值得進(jìn)一步探討。

附錄

關(guān)于1702年12月在中國直隸進(jìn)行的地球一度的測(cè)量(44)吳旻據(jù)文獻(xiàn)[5](tome 46，頁160—178)譯出。

中國韃靼的皇帝康熙曾經(jīng)命人繪制了整個(gè)中國以及他轄下的韃靼地區(qū)的地圖，是中國人和韃靼人用墨線繪制的。地圖有不少謬誤，皇帝想糾正過來，并且還想在圖上增加原本沒有的經(jīng)緯度。之前皇帝曾經(jīng)和南懷仁神父談到過這個(gè)計(jì)劃，后者建議他從中國地區(qū)入手。然而不久之后南懷仁神父就去世了，而且與厄魯特部以及噶爾丹非常艱險(xiǎn)的戰(zhàn)爭(zhēng)也爆發(fā)了。因此皇帝不再考慮實(shí)施這一計(jì)劃，在接下來的幾年之內(nèi)，他只是埋頭于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

噶爾丹死去、戰(zhàn)爭(zhēng)勝利之后，皇帝又重新考慮這個(gè)計(jì)劃。他首先派遣了我會(huì)的兩名神父去往西韃靼，這一地區(qū)在其統(tǒng)治之下未遭戰(zhàn)火侵襲。這一漫長(zhǎng)艱苦的遠(yuǎn)征盡管曾使得我們面臨生命危險(xiǎn)，但我們甘之若貽。這是一個(gè)極好的機(jī)會(huì)讓我們走過這片人口稠密的遼闊土地，似乎從未有過福音的宣講。1698年5月24日，我們出發(fā)，三位管理西韃靼藩王的理藩院高官同行。六天行程之后，我們跨越了中國與韃靼的分界線長(zhǎng)城。再走了相同天數(shù)，這期間我們遇到了一些村莊以及這里那里零星的耕地。然而再往前走，我們就只看到韃靼人的帳幕以及數(shù)量可觀的牛羊。我們繼續(xù)向北偏東方向前進(jìn)，6月30日，我們?cè)谝粋€(gè)名為貝爾(Puyr)的大湖前扎營(yíng)。在這個(gè)湖與另一個(gè)名為呼倫(Colon)的大湖之間，各部藩王進(jìn)行七天的會(huì)盟。這里的北極星高度是48°3′。我們繼續(xù)向西行進(jìn)，沿著游滿魚蝦的克魯倫(Kerlon)河，它穿過牧草豐饒的平原。走過900里(stade chinois)，沿途一直在測(cè)算，每一里是360幾何步(pas geometrique)，我們?cè)饚づ?，而此地正?696年皇帝扎營(yíng)駐蹕之處，也正是從這里噶爾丹潰逃出去。從這里開始，我們相繼遇到了與此事相關(guān)的地方。我們最終告別了克魯倫河，在8月3日抵達(dá)了土拉(Tula)河。我們?cè)鸂I(yíng)之處正是在同一年噶爾丹被皇帝的兩支軍隊(duì)之一徹底擊敗的激戰(zhàn)之處。當(dāng)時(shí)整個(gè)地區(qū)荒無人煙。之前在此居住的韃靼人不是被噶爾丹剿滅就是押往別處。土拉河，水質(zhì)清澈、魚蝦豐滿，它在樹木青蔥的群山環(huán)繞下令人心曠神怡的谷地流淌約900里之后流入鄂爾渾(Urgon)河的懷抱。它們的匯合點(diǎn)離厄魯特城市什爾噶(Siriga)約300里。這個(gè)匯合點(diǎn)也是第二次藩王會(huì)盟的地點(diǎn)，厄魯特部也過來參加。我們?cè)?月13日到達(dá)此地，并測(cè)得北極星高度為49°3′。幾天之后，我的同伴張誠神父，一向身強(qiáng)體健，但這次不適已有幾天，突然病重垂危。然而由于天主特殊的恩典，他出乎意料地堅(jiān)持了下來。他由車子載回北京，最終性命無虞。(譯者按：中間寫他帶了一本天主教的書，試圖傳教等等，略)我們回程往中國地區(qū)走了另外一條路，并于10月2日到達(dá)，那是一個(gè)名為呼和浩特(Kokohoton)的小城西邊，北極星高度40°54′。從這里開始土地有了耕作的痕跡，我們可以看到一些村莊。10月10日，我們從張家口入關(guān)至長(zhǎng)城以南，再走了5天，我們于10月15日抵達(dá)北京。

皇帝不在宮中，正由東韃靼地區(qū)回京的路上。12月8日我去迎接他?？吹轿黜^靼地區(qū)的圖樣之后，皇帝表示非常滿意，并且計(jì)劃來年去往東韃靼地區(qū)的行程。他對(duì)我說：“朕要你從朝鮮邊境一直走到東海，然后沿著海岸走到日本的北方邊境，那里與東韃靼僅隔一道很窄的海峽?！边@并未讓我感到不快，我說明一下：我可以由此對(duì)這些地區(qū)有更好的認(rèn)識(shí)，也許有一天會(huì)對(duì)圣教有用?；实鄱ㄏ铝宋业某霭l(fā)日期并且發(fā)了旨意。但是之后發(fā)生了一些事件，服從肯定比犧牲要好。這一旅程被推遲了，之后就被取消了。這一年正是黃河泛濫，皇帝讓人畫下了堤壩的高度，以及黃河入海的路線，親自研究治理的方法并且掌控整個(gè)事件。

而就在上文說到的那一天(譯者按：注釋里說是12月8日)，皇帝滿懷興趣長(zhǎng)時(shí)間看著西韃靼地圖。他發(fā)現(xiàn)緯度的距離與之前測(cè)量的不符，之前測(cè)量過的是從長(zhǎng)城直至土拉河由南至北的開放平原。事實(shí)上，根據(jù)湯若望神父刊印的數(shù)學(xué)著作，一度相當(dāng)于250里；而根據(jù)我們沿途的測(cè)算，一度則多數(shù)時(shí)候等于200里?；实墼儐柈a(chǎn)生差別的原因。我回答說一般中國的里都小于皇帝使用的標(biāo)準(zhǔn)里，比例大約是4至5。而我自己經(jīng)過韃靼平原的時(shí)候，比較過北極星高度與官府測(cè)定的道路，一度最多也就等于皇家標(biāo)準(zhǔn)的200里?；实蹖?duì)這個(gè)理由表示滿意。然而，他也到看到良好觀測(cè)帶來的巨大益處，也懂得了為了得到好的觀測(cè)效果，與一度相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)里數(shù)應(yīng)該是確定不變的。為此，在幾年以后，即去年的4月25日，他下令測(cè)量準(zhǔn)確的一度的距離長(zhǎng)度，并且為了完成測(cè)量，選定了一塊平整的地塊，但卻把測(cè)量的時(shí)間定在了秋末，是為了既不因測(cè)量影響了秋收使得百姓受損，也不因秋收影響了測(cè)量。

10月20日，按照慣例在韃靼狩獵避暑三個(gè)月的皇帝回京，用于測(cè)量的儀器被呈至他面前。11月4日，他任命他的第三個(gè)兒子，人稱皇三子來跟進(jìn)此事并合作?；实墼?jīng)在幾年間將自己所學(xué)親自傳授給他。王爺?shù)靡媪级?，并且成為了一位敏銳的觀測(cè)者與迅捷準(zhǔn)確的計(jì)算者。當(dāng)月14日，皇帝出發(fā)前往南京，巡視河工及遭遇黃河水患的地區(qū)。之后不久王爺就派出自己府里以及欽天監(jiān)熟悉北京周邊的人，尋找合適測(cè)量的平原。在200里方圓當(dāng)中，都是平整的田地，但是長(zhǎng)滿林木。最后從霸州至交河，他們找到一塊空地，平得像海面，一點(diǎn)起伏都沒有，大約有200里。當(dāng)圖樣拿回來的時(shí)候，我們商議了一下，把出發(fā)日期定在11月28日。

出發(fā)前一天，儀器都被運(yùn)到王府。王爺?shù)膽?zhàn)俘將會(huì)負(fù)責(zé)第一天的搬運(yùn)，之后會(huì)有沿途各府縣的挑夫接替運(yùn)輸。為了保證測(cè)量的順利進(jìn)行，皇帝命令欽天監(jiān)的滿洲監(jiān)正沿途負(fù)責(zé)。他帶了7個(gè)手下監(jiān)督運(yùn)送的挑夫。同一道圣旨里，還下令6位其他部院的官員一同隨行。他們將隨時(shí)聽命于我們。還有一位宮中的滿洲官員赫世亨，他負(fù)責(zé)找到及征用一切必需品。他雇用了木匠與畫工。上文所說的28日，我們離開北京向南行進(jìn)。王爺?shù)诙斐宿I前來，帶了大批隨從。我們?cè)诘谌諘?huì)合，在聽過第二批派出確定情況的人員匯報(bào)之后，我們確定在霸州原定地點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。

我們于12月1日抵達(dá)霸州，次日早晨，我們?cè)诳h城東門靠近城門的地方，選擇了一座田野當(dāng)中很顯眼的用石頭砌成的古建筑作為標(biāo)志，然后我們從那里開始測(cè)量子午線。下面是我們測(cè)量的方法：我們拿著一根很直的一里長(zhǎng)，即360步長(zhǎng)的鐵線。為了避免它偏離子午線，我們每隔120步打一個(gè)樁。這些樁都擱在三腳鐵上，帶有鉸鏈，以便使得它們?nèi)〉貌⒈３执怪睜顟B(tài)。為了畫出子午線，我們?cè)诿恳焕锏那懊娑寂渲昧俗詈玫恼{(diào)整好的儀器，包括兩架望遠(yuǎn)鏡和一個(gè)長(zhǎng)針羅盤，以便我們?cè)跁缫爸欣媒?jīng)過子午線的北極星這一絕佳方法來確定磁偏角。磁偏角度數(shù)是2°1/2，與北京一樣，在整個(gè)測(cè)量過程中都沒有變過。

我們用180根桿子測(cè)量第一里，或是360中國步，與古羅馬步相比就是16至15。然后再測(cè)下一里，直到所有的，遵循的是以下方法：在最遠(yuǎn)處的那根桿下，我們放一個(gè)十分精密的儀器，從一邊向另一個(gè)方向瞄準(zhǔn)，可以看到所有的樁都在一直線上。然后這直線延長(zhǎng)至下一里，三個(gè)樁間隔120步。這些樁也放置得與前面的一樣在一直線上。由于這整片地區(qū)十分平整，因此儀器的橫向的兩端也都指向各樁。我們用來測(cè)量的鐵線，就架在樁上，并且有大量的測(cè)量員看著，以防它跑偏。王爺以及隨從在場(chǎng)，極大提高了測(cè)量的速度。長(zhǎng)時(shí)間習(xí)慣于擺弄這些儀器，這是一位有著敏捷思維且有遠(yuǎn)見的年輕人。他用儀器進(jìn)行觀測(cè)，他下達(dá)的命令，他在各處有效地幫忙，都表明他堅(jiān)決而帶著極大熱情地主導(dǎo)這件事。鄰近府縣的官員都來了，還有大批民眾過來幫忙。我們還看到大批木匠待命，隨時(shí)準(zhǔn)備砍伐影響我們測(cè)量或是擋住視線的樹木。在我的請(qǐng)求下，人們留下了大部分的果樹。我們也放過了一些村莊。在整個(gè)子午線經(jīng)過的區(qū)域，我們僅僅遇到了三個(gè)村莊，而且都是極小的，在這個(gè)人口稠密的國家，還是挺讓人吃驚的。其中的兩個(gè)，子午線，即用來測(cè)量的鐵線兩次都經(jīng)過了非常罕見低矮的房舍，屋頂是平的，可以在上面行走，并且很方便地安置儀器及樁子。這是測(cè)量經(jīng)過第74里的事情。但是到了5里之外的第三個(gè)莊子，我們轉(zhuǎn)了90度，向東一里，然后我們繼續(xù)測(cè)量。最后，到第97里時(shí)，我們遇到了一個(gè)大湖，但是冰面尚未凍實(shí)。這一障礙使得我們不得不轉(zhuǎn)回西面一里，回到我們最初測(cè)量的子午線延長(zhǎng)線上。

但是，為了不把我們的時(shí)間都花在數(shù)學(xué)測(cè)量上，也可做為一個(gè)很好的目的。圣沙勿略日(12月3日，原注)由于惡劣天氣的阻攔，我們停留在一個(gè)叫“苑家口”的大鎮(zhèn)上。(……見了教徒做彌撒告解……)我們甚至和教友一起享用了王爺給我送來的宴席。王爺在家宴請(qǐng)了所有隨同的官員，但是為了避免我在大雪里奔波，他就把給我的一份送了過來。(……各種傳教事，帶書去宣教……)

我們來到最平整的地段測(cè)量，到199里的時(shí)候，我們又遇到一條又寬又深的河，名叫“漳河”，我們就將之作為這次子午線測(cè)量的南端。我們?cè)诤舆吋芷饋硪粋€(gè)30步的圭表，壓在我們之前刻在另一塊水平梁上的子午線上面。這兩根水平梁，與其他橫斷部分一起，組成一個(gè)大約一里見方的框，這是在北京就做好的。如指針形狀豎立起來部分的頂端有一塊大的薄鐵片，用支撐物和掛鉤牢牢固定起來。在方框之內(nèi)靠近水平梁的地方，有一塊扎了眼的鐵板，洞眼的直徑約半指寬，那里連接著一個(gè)由細(xì)青銅線掛著的重2法斤(livre)的青銅球。方框的四周用柱子支撐起來，非常穩(wěn)定，完全不會(huì)在風(fēng)中動(dòng)搖。而水平梁，平放在子午線的方向，有兩根撐桿支持，并且有鉸鏈系統(tǒng)以確保它穩(wěn)固及與地面平行。為了維持平衡狀態(tài)，人們挖了兩個(gè)槽盛放水銀，其容量約為120法斤。為了更好地地辨識(shí)從圭表頂部的小孔透過的陽光，王爺在他的帳篷前面支起了一塊很大白色布幕，并且在上面留好了太陽光線通過的必要開口。盡管冬日的壞天氣沒有讓這些精心的安排與準(zhǔn)備完全成為幻影，但是結(jié)果多少還是不那么可靠。實(shí)際上，那天是12月17日，太陽達(dá)不到30度的高度。折射光線很亮，太陽光線卻很弱，加之有一小股風(fēng)總在使得吊掛輕輕震蕩，盡管它根本沒有暴露在風(fēng)中。盡管做了很全面的準(zhǔn)備，但是天體的中心經(jīng)過的時(shí)候，太陽光線只是模糊地投射在子午線上。因此，盡管眼力很好的王爺聲稱并且確定清楚明白地看到了太陽光線經(jīng)過了子午線，但是因?yàn)槲也⑽辞宄_實(shí)地看到，對(duì)于重復(fù)做了兩次的這一觀測(cè)，我留有疑義。

我決定應(yīng)該更加確定北極星的高度。我用了一個(gè)很大的鐵與銅精心制作并刻好刻度的象限儀，在北極星經(jīng)過子午線時(shí)測(cè)量它的高度。在河邊一個(gè)擋風(fēng)的大帳篷里，我連著在三個(gè)晴朗的夜晚觀測(cè)了北極星。

在子午線圈中的北極星高度是地平線上40°21′。

當(dāng)我們回到我們測(cè)量距離最北端，也就是我們測(cè)量的起點(diǎn)之時(shí)，我們又往北測(cè)量了一里，這樣測(cè)量的兩端距離就達(dá)到200里，正如皇帝之前命令的那樣。在那里，我們也像在南端一樣架起一個(gè)圭表，遭遇了同樣的失敗，主要?dú)w咎于平整田野中的壞天氣。盡管錯(cuò)謬實(shí)際上少而又少，但我還是懷疑這一測(cè)量。于是我仍然使用上文中提到的天文象限儀，確定北極星通過子午線的高度。經(jīng)過兩晚的觀測(cè)，我確定其高度為地平線上41°22′30″。

這個(gè)象限儀不僅有孔，還有一架精密的望遠(yuǎn)鏡，可以很方便很好地看到北極星。它可以讀到至少10″的弧度。由于沿途府縣官員的高度警惕，它被裝在合適的盒子里由挑夫挑著，一路上沒有任何損壞。因此對(duì)于在線的兩端所作的兩次及三次北極星觀測(cè)，我們相信足夠細(xì)致與準(zhǔn)確，因?yàn)槲覀兪欠浅Ｐ⌒牡剡M(jìn)行的，并且它們的結(jié)果也互相吻合。我們是按照下列方法解決一度經(jīng)線長(zhǎng)度的：

北端北極星高度 41°22′30″

南端北極星高度 40°21′00″

差 1°1′30″

南端折射超出北端折射的部分 2″

實(shí)際高度差 1°1′32″

因此，我們就得到1°1′32″對(duì)應(yīng)200里即72000步，由于1°約為70206步，也就是說1°為195里零6步。

值得注意的是，我們用同一個(gè)象限儀在南北兩端測(cè)得的正午太陽高度，并將結(jié)果兩相比較，得出的一度長(zhǎng)度也基本相同，有時(shí)稍長(zhǎng)，有時(shí)稍短，但是差異極小。而在南北兩端用圭表所作的觀測(cè)，可靠度稍遜，確實(shí)得出的結(jié)果要稍長(zhǎng)。這至少說明，幾次對(duì)于北極星經(jīng)過子午線的仔細(xì)測(cè)量，其結(jié)果對(duì)于一度長(zhǎng)度的估算產(chǎn)生的誤差極小。它們是12月15、16、17日在南端以及21、22日在北端所作觀測(cè)，當(dāng)時(shí)的天氣平靜晴好。

用于測(cè)量的中國步的基準(zhǔn)器是刻在大鐵尺上的，上面刻有五步?，F(xiàn)在它藏于宮中。正如我在前面講過的，中國步與依據(jù)Villalpando(著作)估算出的古羅馬步之比為16比15。因此可以推出一度之中有74886羅馬步。已知這一尺度，就很容易推及到所有各個(gè)國家，只要知道各種度量衡之間的關(guān)系。

但是皇帝希望一度回到200里的長(zhǎng)度，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)字方便計(jì)算。因此我們之前用來測(cè)量的中國步的尺寸必須被縮短，其比例為40比39。按照新的步數(shù)，一度就有200里或是72000幾何步；其中一秒為20步，一分為1200步。由此進(jìn)行的計(jì)算非常簡(jiǎn)便，使用數(shù)表也更加簡(jiǎn)單快捷，不論是地平線與地圓線的間距，或是正割線超出半徑的部分。

以上就是我認(rèn)為應(yīng)該簡(jiǎn)單寫出的有關(guān)皇帝命令下進(jìn)行的大地測(cè)量。希望讀者不會(huì)對(duì)此感到吃驚，我們這些遠(yuǎn)離歐洲、為了在遠(yuǎn)東異教徒中傳播天主福音的人，卻有時(shí)進(jìn)行這些與傳教無關(guān)的活動(dòng)。我們?cè)谶@個(gè)宮廷里是為基督服務(wù)的囚徒，我們所有人所做的所有事，無論大小，從國家大事到個(gè)人舉止，都是為了耶穌基督。在中國，沒有官府的支持，傳播圣教根本沒有可能也不會(huì)取得成果。中國人是世界上最驕傲的民族之一。必須讓他們認(rèn)識(shí)到不是所有從外族來的都是純粹蠻夷。必須炫耀人文科學(xué)，用驚人事例呈現(xiàn)在人們眼前，為福音傳播者立威，贏得這些習(xí)慣于蔑視外族的人，他們就如同歐洲人看不起野蠻美洲人一般。這就是為何我們有時(shí)會(huì)在這里放棄傳教事業(yè)的緣故。這是為了支持在中國剛剛建立起來的教會(huì)，并且在暴風(fēng)雨中庇護(hù)它。這是為了讓它快速穩(wěn)定地發(fā)展，借助于皇帝和權(quán)貴不可想象的支持和仁慈。從前使徒為了贏得羅馬行政官與百人隊(duì)長(zhǎng)的支持，自稱為羅馬公民，并未自甘為奴犧牲圣教；而我們，為了不在這個(gè)國家被視為不開化的、必須接受中國人教導(dǎo)的蠻夷，必須在中國人面前公開展示科學(xué)實(shí)證，展示他們可以從我們這里學(xué)到很多東西，包括最重要的東西，而圣教也不因來自異域而被視為蠻夷。特別要求得天主的垂憐，讓圣教的真理戰(zhàn)勝這個(gè)如此博學(xué)民族的智慧，堅(jiān)定它的信念，讓它克服感官的愉悅，并決定投入圣教的懷抱。

北京，1703年9月8日。安多