宋傲寒

高考數(shù)學(xué)中考到導(dǎo)數(shù)題的可能性極高，而導(dǎo)數(shù)部分往往成為同學(xué)們的難點(diǎn)。全國(guó)一卷自13年至17年文數(shù)、理數(shù)均涉及導(dǎo)數(shù)大題，不難看出導(dǎo)數(shù)在高考試卷中所占的地位十分重要。并且在16年的高考大綱中明確提出：在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，努力實(shí)現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求。本文針對(duì)近幾年的高考導(dǎo)數(shù)題進(jìn)行了分析與總結(jié)，歸納并整理了幾種解題方法，希望能對(duì)考生起到一定的幫助。

方法一：放縮法

無(wú)法用分離法和主變量法解決的問(wèn)題，可嘗試用放縮法，放縮時(shí)需注意放縮的尺度，放縮尺度不同，精確度不同。在解答導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，我們常用的是函數(shù)切線，割線逼近兩種方法，這兩個(gè)常用的結(jié)論為lnx≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立），ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立）。

例題? （2014 年全國(guó)Ⅰ卷，理 21）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)（1，f （1））處的切線為y= e（x-1）+2

（I）求a， b; （Ⅱ）證明：.

高考中常用的幾種放縮類(lèi)型

一、對(duì)數(shù)放縮

（放縮成一次函數(shù)）

（放縮成雙鉤函數(shù)）

（放縮成二次函數(shù)）

（放縮成類(lèi)反比例函數(shù)）

二、指數(shù)放縮

（放縮成一次函數(shù)）

（放縮成類(lèi)反比例函數(shù)）

（放縮成二次函數(shù)）

三、指對(duì)放縮

四、三角函數(shù)放縮

五、以直線y=x-1為切線的函數(shù)

方法二：浮出主元法

浮出主元法即為將題目中的兩個(gè)未知數(shù)a、b中的一個(gè)用未知量x進(jìn)行代換，使得未知量x具有未知數(shù)的性質(zhì)，此類(lèi)方法使用時(shí)需注意可用x代換a、b，但不能用a、b代換x。

例題 （2013陜西，理21）（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R.

（1）若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖像相切，求實(shí)數(shù)k的值;

（2）設(shè)x>0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m>0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);

（3）設(shè)a

解析 2013陜西理數(shù)第21題第三問(wèn) 即可使用浮出主元法的方法進(jìn)行運(yùn)算

（1）f（x）的反函數(shù)為g（x）=lnx.

設(shè)直線y=kx+1與g（x）=lnx的圖像在P（x0，y0）處相切，則有y0=kx0+1=lnx0，k=g'（x0）=，解得x0=e2，.

（2）略解得

當(dāng)x>0時(shí)，

若0

若，曲線y=f（x）與y=mx2有一個(gè)公共點(diǎn);

若，曲線y=f（x）與y=mx2有兩個(gè)公共點(diǎn).

（3）法一：（浮出主元法）由題可知a

那么比較與的大小

即比較（b-a）[f（a）+ f（b）]與2[f（b）- f（a）]的大小

不妨設(shè)x∈（0，b）

設(shè)g（x）= （b-x）[f（x）+ f（b）]- 2[f（b）-f（x）]? g（b）= 0

g'（x）= -[f（x）+ f（b）]+ （b-x）f'（x）+2f'（x）

? ?= -[f（x）+ f（b）]+ （b-x+2）f'（x）

? ?= -ex-eb+（b-x）ex+ 2ex

? ?= ex-eb+（b-x）ex

g'（x）= ex-eb+（b-x）ex? ? ? ? ?g'（b）= 0

g''（x）= ex+ex （b-x-1）=（b-x） ex>0

∴ g'（x）單調(diào)遞增? 又∵g'（b）=0 ∴g（x）單調(diào)遞增? g（x）>0

令x=a 將a代入g（x）中? 即可證出

法二：可以證明

事實(shí)上，

令

則 （僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），

∴ψ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴x>0時(shí)，ψ（x）>ψ（0）=0.

令x=b-a，即得（*）式，結(jié)論得證.

方法三：高等數(shù)學(xué)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)試題中涉及到了較多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，比如洛必達(dá)法則、泰勒展開(kāi)式、中值定理等。適當(dāng)?shù)牧私獠W(xué)會(huì)應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，可以使得解題速度大大提高。例題第二問(wèn)中使用的簡(jiǎn)便方法便是洛必達(dá)法則。

例題? （全國(guó)卷）已知函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0，

（Ⅰ）求a、b的值;

（Ⅱ）如果當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，，求k的取值范圍。

解析? （Ⅰ）略解得a=1? b=1

? （Ⅱ）（洛必達(dá)法則）

參考文獻(xiàn)：

[1]百度文庫(kù)用戶(hù)mhacker618. 高考導(dǎo)數(shù)大題中最常用的放縮大法. 百度文庫(kù). 2018（8）

[2]韋問(wèn)敏.高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題解題研究——以2013-2016年新課標(biāo)全國(guó)卷為例，云南師范大學(xué) 2017