劉永 劉世鐸 林海 萬有余 劉歡 任廣聰 陳銘

(1. 中國石油青海油田公司鉆采工藝研究院， 甘肅 敦煌 736200；2. 中國石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院， 北京 102249)

柴達(dá)木盆地基巖氣藏是目前在我國陸地上發(fā)現(xiàn)的地質(zhì)儲(chǔ)量最大的基巖儲(chǔ)集層氣藏[1]。該氣藏的儲(chǔ)集層具有低孔低滲、天然裂縫發(fā)育等特征，若要實(shí)現(xiàn)持續(xù)高效的勘探開發(fā)，水力壓裂是其必不可少的增產(chǎn)手段[2]。通過測井、取芯等技術(shù)手段發(fā)現(xiàn)，基巖氣藏發(fā)育大量天然裂縫，而天然裂縫地層的裂縫起裂壓力和起裂形態(tài)較難判斷[3]。建立基巖氣藏水力壓裂起裂壓力和起裂形態(tài)的計(jì)算方法，對于基巖氣藏優(yōu)化壓裂設(shè)計(jì)、提高增產(chǎn)效果具有重要意義。

國內(nèi)外學(xué)者針對天然裂縫地層的起裂壓力和起裂形態(tài)展開了大量的實(shí)驗(yàn)研究、數(shù)值模擬研究和理論模型研究。其中，Werjers[4]、Beugelsdijk[5]、張士誠[6]、王磊等人[7]針對天然裂縫巖心的壓裂物理模擬實(shí)驗(yàn)研究頗具代表性。

通常，實(shí)驗(yàn)研究主要側(cè)重機(jī)理分析，難以應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)分析。數(shù)值模擬研究的方法主要包括有限元分析、邊界元分析和離散元分析等。Gao等人[8]運(yùn)用有限元分析方法，研究了水力壓裂過程中天然裂縫的應(yīng)力分布變化，但并未涉及起裂壓力與起裂形態(tài)。Lecampion等人[9]運(yùn)用邊界元方法，研究了近井發(fā)育一條縱向裂縫時(shí)的起裂壓力。Pater等人[10]運(yùn)用離散元方法進(jìn)一步研究了天然裂縫發(fā)育地層的起裂形態(tài)。盡管數(shù)值模擬研究取得了較好的規(guī)律性認(rèn)識(shí)，然而此方法計(jì)算量較大，不便于一般工程人員應(yīng)用，不利于施工優(yōu)化設(shè)計(jì)。金衍等人[11-12]基于彈性力學(xué)方法提出了天然裂縫地層的起裂壓力模型，此模型考慮了天然裂縫的張性和剪切破裂類型。趙金洲等人[13]提出了天然裂縫地層水力裂縫張性起裂壓力模型。任嵐等人[14]進(jìn)一步研究了考慮射孔井天然裂縫地層的起裂壓力模型。

然而，以上研究中的模型均建立在彈性力學(xué)的基礎(chǔ)上，僅通過井筒周圍應(yīng)力場來判斷天然裂縫面位置的張開或剪切，并未考慮天然裂縫的弱面斷裂屬性。本次研究將基于斷裂力學(xué)原理，提出與井筒相連的天然裂縫的應(yīng)力強(qiáng)度因子解析方法，建立裂縫性地層的天然裂縫起裂壓力模型，并重點(diǎn)對比橫切天然裂縫和縱向天然裂縫的起裂壓力，進(jìn)而評價(jià)近井形成橫切裂縫與縱向裂縫的條件。

1 數(shù)學(xué)模型

天然裂縫是固體力學(xué)中的弱面，判斷弱面的起裂可采用斷裂力學(xué)方法。斷裂力學(xué)的原理是，通過計(jì)算天然裂縫的應(yīng)力強(qiáng)度因子，判斷其是否發(fā)生破裂；若天然裂縫尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到巖石斷裂韌性水平，則認(rèn)為發(fā)生了起裂，否則認(rèn)為未發(fā)生起裂。

在此，考慮水平井壓裂的情況，應(yīng)力按照巖石力學(xué)來設(shè)定，即壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)。地層天然裂縫與水平井筒存在2種典型的位置關(guān)系：沿井筒軸向和垂直井筒軸向[15]。沿井筒軸向的天然裂縫為縱向天然裂縫，垂直井筒軸向的天然裂縫為橫切天然裂縫(見圖1)。

圖1 天然裂縫與井筒相對位置示意圖

若縱向天然裂縫起裂壓力小于橫切天然裂縫起裂壓力，則近井筒產(chǎn)生縱向裂縫，反之則產(chǎn)生橫切裂縫。在此，僅側(cè)重于天然裂縫對破裂壓力的影響，忽略縫內(nèi)摩阻和基質(zhì)的彈性作用。

1.1 水平井筒附近應(yīng)力場分布

對于水平井筒沿最小主應(yīng)力方向，根據(jù)平面應(yīng)變力學(xué)模型，可得井筒附近周向應(yīng)力分布[16]：

(1)

式中：σθ—— 周向應(yīng)力，MPa；

p—— 井筒內(nèi)流體壓力，MPa；

σH—— 最大水平主應(yīng)力，MPa；

σv—— 垂向主應(yīng)力，MPa；

Rw—— 井筒半徑，m；

x—— 距離井筒軸線的位置，m。

1.2 縱向天然裂縫起裂壓力模型

運(yùn)用加權(quán)函數(shù)法[17]，計(jì)算與圓孔相連的裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。

(2)

式中：K—— 裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m0.5；

p—— 井筒內(nèi)流體壓力，MPa；

l—— 裂縫長度，m；

當(dāng)lRw→0，即裂縫長度相對井筒半徑趨于零時(shí)，裂縫趨近于平面應(yīng)變解[18]，此時(shí)影響函數(shù)為

(3)

當(dāng)lRw→+∞，即井筒半徑相對裂縫長度可忽略時(shí)，裂縫趨近于斷裂力學(xué)的圓形裂縫解[19]，此時(shí)影響函數(shù)為

(4)

影響函數(shù)要在以上2種極端情況下收斂到式(3)和式(4)，可同時(shí)計(jì)算中間值。因此，令

(5)

式(5)在lRw→+∞時(shí)收斂到式(4)，本身符合式(3)的形式，滿足影響函數(shù)的特征。

當(dāng)裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到巖石斷裂韌性(KIC)時(shí)，裂縫即發(fā)生破裂，縱向天然裂縫破裂壓力為F(p)。

=0

(6)

1.3 橫切天然裂縫起裂壓力模型

對于橫切天然裂縫，其遠(yuǎn)場應(yīng)力為最小水平主應(yīng)力。橫切天然裂縫的尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子為K。

(7)

當(dāng)lRw→0，即裂縫長度相對井筒半徑趨于零時(shí)，裂縫趨近于平面應(yīng)變解，此時(shí)影響函數(shù)為

(8)

當(dāng)lRw→+∞，即井筒半徑相對裂縫長度趨于零時(shí)，裂縫趨近于斷裂力學(xué)的圓形裂縫解[20]，此時(shí)影響函數(shù)為

(9)

影響函數(shù)要在這2種情況下收斂到式(8)和式(9)，即可同時(shí)計(jì)算中間值。此時(shí)，橫切天然裂縫的影響函數(shù)為：

(10)

式(10)在lRw→+∞時(shí)收斂到式(9)，在lRw→0時(shí)收斂到式(8)，滿足影響函數(shù)的特征。

當(dāng)裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到巖石斷裂韌性時(shí)，裂縫即發(fā)生破裂，可通過式(11)計(jì)算橫切天然裂縫破裂壓力。

(11)

2 模型解法與驗(yàn)證

式(6)和式(11)為非線性積分方程，其求解需要運(yùn)用數(shù)值方法。為求解該非線性積分方程，通過高斯數(shù)值積分求解積分方程，并運(yùn)用二分法搜索非線性方程根。程序采用Matlab軟件編寫，天然裂縫起裂壓力計(jì)算過程如圖2 所示。

為了驗(yàn)證本模型應(yīng)力強(qiáng)度因子解法的準(zhǔn)確性，將本模型計(jì)算結(jié)果與有限元軟件COMSOL計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比(見圖3)。驗(yàn)證算例的參數(shù)有：pf=36 MPa；σv=40 MPa；σH=35 MPa；σh=35 MPa；Rw=0.1 m。通過對比可以看出，本模型計(jì)算結(jié)果與有限元軟件計(jì)算結(jié)果相吻合，其相對誤差僅為1.5%。本模型的優(yōu)勢在于，計(jì)算效率高，不需要進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算，便于進(jìn)行工程設(shè)計(jì)分析。

圖2 天然裂縫起裂壓力計(jì)算過程

3 影響因素分析

取東坪基巖氣藏壓裂井典型參數(shù)：垂向應(yīng)力為100.00 MPa；最大水平主應(yīng)力為80.00 MPa；最小水平主應(yīng)力為70.00 MPa；井筒半徑為0.1 m；天然裂縫長度為0.1～10 m，巖石斷裂韌性為0.46～1.93 MPa·m0.5。分別對比天然裂縫長度、斷裂韌性、地應(yīng)力差等因素對天然裂縫發(fā)育的基巖破裂壓力和裂縫起裂形態(tài)的影響。

圖3 應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果對比

3.1 天然裂縫長度的影響

根據(jù)天然裂縫長度與破裂壓力的計(jì)算結(jié)果(見圖4)，發(fā)現(xiàn)橫切天然裂縫破裂壓力隨裂縫長度增加而減小，而縱向天然裂縫的起裂壓力隨裂縫長度增加而先下降后增大。當(dāng)裂縫長度小于0.8 m時(shí)，縱向天然裂縫的起裂壓力低于橫切天然裂縫。若近井同時(shí)存在這2類天然裂縫，則優(yōu)先形成縱向裂縫擴(kuò)展。當(dāng)裂縫長度大于0.8 m時(shí)，橫切裂縫的起裂壓力低于縱向裂縫，說明在此情況下會(huì)優(yōu)先形成橫切裂縫。

圖4 不同天然裂縫長度下的起裂壓力曲線

井筒周圍應(yīng)力場是決定近井縱向裂縫起裂的關(guān)鍵因素。當(dāng)裂縫長度相對井筒半徑而言較小時(shí)，天然裂縫受井筒應(yīng)力場控制，縱向裂縫受到井筒周圍的周向張應(yīng)力作用，從而發(fā)生起裂。當(dāng)裂縫長度較小時(shí)，縱向裂縫呈優(yōu)先起裂的趨勢，而橫切天然裂縫的應(yīng)力強(qiáng)度因子不受井筒周圍應(yīng)力場的控制。根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式可知，裂縫長度越大，所需的起裂壓力就越小。

3.2 斷裂韌性的影響

根據(jù)不同斷裂韌性條件下天然裂縫起裂壓力曲線(見圖5)可知：在不同斷裂韌性條件下，橫切裂縫的起裂壓力均隨裂縫長度的增加而減小，縱向裂縫的起裂壓力隨裂縫長度先減小后增大。對比不同斷裂韌性的起裂壓力可知，高斷裂韌性的天然裂縫起裂壓力較大，但其變化趨勢與裂縫長度有關(guān)。當(dāng)裂縫長度小于1 m時(shí)，斷裂韌性對起裂壓力影響較為顯著；而當(dāng)裂縫長度大于1 m時(shí)，斷裂韌性對起裂壓力的影響減弱。尤其對于縱向天然裂縫，縫長增加至5 m及以上時(shí)，不同斷裂韌性的縱向天然裂縫起裂壓力趨于一致。

圖5 不同斷裂韌性下天然裂縫起裂壓力曲線

在天然裂縫中，橫切裂縫與縱向裂縫或許在一定裂縫長度時(shí)的破裂壓力相同。為了便于討論，在此用“等值破裂壓力縫長”描述橫切裂縫與縱向裂縫相同破裂壓力對應(yīng)的縫長(見圖6)。由圖6可以看出，斷裂韌性越大，等值破裂壓力縫長就越大。這表明，斷裂韌性越大，縱向裂縫起裂的趨勢就越強(qiáng)，而在低斷裂韌性情況下主要形成橫切裂縫。

3.3 地應(yīng)力的影響

3.3.1 應(yīng)力差的影響

應(yīng)力差主要通過固定最小水平主應(yīng)力和改變最大水平主應(yīng)力來實(shí)現(xiàn)。根據(jù)圖7所示不同應(yīng)力差條件下的天然裂縫起裂壓力曲線可知，不同應(yīng)力差下橫切裂縫的起裂壓力相同。根據(jù)式(7)，橫切裂縫受到的外應(yīng)力僅為最小水平主應(yīng)力，而不受井筒應(yīng)力場影響，因此，最大水平主應(yīng)力與橫切裂縫起裂壓力無關(guān)。圖7同時(shí)表明，應(yīng)力差越大(或最大水平主應(yīng)力越大)，縱向裂縫的起裂壓力就越高；且在高應(yīng)力差條件下，縫長對縱向裂縫起裂壓力的影響減小。

圖6 不同斷裂韌性下的等值破裂壓力縫長曲線

圖7 不同應(yīng)力差下的天然裂縫起裂壓力曲線

對比不同應(yīng)力差下天然裂縫的破裂壓力可知：

(1) 當(dāng)應(yīng)力差小于或等于6.00 MPa時(shí)，縱向裂縫的起裂壓力低于橫切裂縫，近井縱向裂縫優(yōu)先起裂。

(2) 當(dāng)應(yīng)力差為10.00 MPa時(shí)，若天然裂縫長度小于0.7 m，縱向裂縫的起裂壓力低于橫切裂縫，近井容易形成縱向縫；而若裂縫長度大于0.7 m，則橫切裂縫的起裂壓力低，近井容易發(fā)生橫切裂縫起裂。

(3) 當(dāng)應(yīng)力差大于10.00 MPa時(shí)，橫切裂縫的起裂壓力始終低于縱向裂縫，近井容易形成橫切裂縫起裂，縱向裂縫難以起裂。

3.3.2 垂向應(yīng)力的影響

根據(jù)圖8所示不同垂向應(yīng)力下的天然裂縫起裂壓力曲線可知，不同垂向應(yīng)力下橫切裂縫的起裂壓力相同。此結(jié)果與前述應(yīng)力差的分析結(jié)果相同，即橫切天然裂縫的起裂不受垂向應(yīng)力影響。同時(shí)可知，高垂向應(yīng)力地層的縱向天然裂縫起裂壓力會(huì)減小。高垂向應(yīng)力會(huì)增大井筒周圍應(yīng)力，從而促進(jìn)縱向天然裂縫起裂。此結(jié)果與Lecampion等人[9]的認(rèn)識(shí)一致。

圖8 不同垂向應(yīng)力下的天然裂縫起裂壓力曲線

對比不同垂向應(yīng)力下2種類型的天然裂縫破裂壓力可知：

(1) 當(dāng)垂向應(yīng)力為95.00 MPa時(shí)，橫切裂縫的起裂壓力低于縱向裂縫，近井橫切裂縫優(yōu)先起裂。

(2) 當(dāng)垂向應(yīng)力為100.00 MPa時(shí)，若裂縫長度小于0.7 m，則縱向裂縫的起裂壓力低于橫切裂縫，近井容易形成縱向裂縫；而若裂縫長度大于0.7 m，則橫切裂縫的起裂壓力低，近井容易發(fā)生橫切裂縫起裂。

(3) 當(dāng)垂向應(yīng)力為105.00 MPa時(shí)，若裂縫長度小于6.8 m，則縱向裂縫的起裂壓力低于橫切裂縫，近井容易形成縱向裂縫；而若裂縫長度大于6.8 m，則橫切裂縫的起裂壓力低，近井容易發(fā)生橫切裂縫起裂。

(4) 當(dāng)垂向應(yīng)力為110.00 MPa時(shí)，橫切裂縫的起裂壓力始終低于縱向裂縫，近井容易形成橫切裂縫。

4 實(shí)例研究

以青海油田的基巖氣藏坪1-2-9井為例進(jìn)行分析。測井資料顯示，該井參數(shù)為：天然裂縫長度為1～10 m；天然裂縫斷裂韌性為0.82 MPa·m0.5；垂向應(yīng)力為88.00 MPa；最大水平主應(yīng)力為65.00 MPa；最小水平主應(yīng)力為81.00 MPa；井筒半徑為0.12 m。該井壓裂施工共分3層進(jìn)行：第1層施工破裂壓力為65.70 MPa；第2層施工破裂壓力為64.10 MPa；第3層施工破裂壓力為67.00 MPa。

運(yùn)用模型計(jì)算得出(見圖9)，該井縱向裂縫的起裂壓力為77.50～78.50 MPa，橫切裂縫的起裂壓力為65.50 ～ 68.10 MPa。橫切裂縫的起裂壓力低于縱向裂縫，同時(shí)橫切裂縫的起裂壓力與現(xiàn)場實(shí)際數(shù)據(jù)較為接近，表明近井已形成橫切裂縫。本模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際壓裂監(jiān)測到的破裂壓力數(shù)據(jù)一致，這進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的合理性。

圖9 坪1-2-9井起裂壓力計(jì)算結(jié)果

5 結(jié) 論

針對天然裂縫發(fā)育地層水力壓裂工藝的起裂壓力和近井裂縫形態(tài)計(jì)算問題，提出采用加權(quán)函數(shù)法計(jì)算天然裂縫地層應(yīng)力強(qiáng)度因子，并建立了橫切裂縫和縱向裂縫起裂壓力計(jì)算模型，進(jìn)而評價(jià)天然裂縫地層的起裂壓力和起裂形態(tài)。得出以下結(jié)論：

(1) 裂縫性地層破裂壓力與天然裂縫的形態(tài)、長度緊密相關(guān)。近井發(fā)育較長橫切天然裂縫時(shí)，容易發(fā)生橫切裂縫起裂；而近井存在較短縱向天然裂縫時(shí)，縱向裂縫會(huì)優(yōu)先起裂，從而在近井形成縱向裂縫。

(2) 斷裂韌性較小時(shí)，橫切天然裂縫更容易起裂；斷裂韌性較大時(shí)，縱向天然裂縫更容易起裂。

(3) 縱向天然裂縫的起裂壓力受最大水平主應(yīng)力和垂向應(yīng)力的影響較為顯著。在高應(yīng)力差下縱向裂縫的起裂壓力就高，縱向天然裂縫難以起裂，而橫切天然裂縫相對容易起裂。高垂向應(yīng)力有利于縱向裂縫起裂，從而促進(jìn)縱向裂縫的形成。