侯鳳儀，蔣曉穎，徐定華，3

(1. 上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 200433； 2. 浙江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，杭州 310027； 3. 浙江理工大學(xué) 理學(xué)院，杭州 310018)

經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論為研究或闡述經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)規(guī)律與影響因素的理論.經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)具體指一個(gè)國家或地區(qū)所生產(chǎn)的商品和勞務(wù)能力的增長(zhǎng).經(jīng)濟(jì)學(xué)家建立各種經(jīng)濟(jì)模型來描述一種經(jīng)濟(jì)體所生產(chǎn)的物質(zhì)商品和勞務(wù)(即實(shí)際總產(chǎn)出)，并考察它均衡增長(zhǎng)的條件，18—19世紀(jì)，古典經(jīng)濟(jì)學(xué)家亞當(dāng)·斯密(Adam Smith)和大衛(wèi)·李嘉圖(David Ricardo)創(chuàng)立了古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論，注重勞動(dòng)力和資本，而知識(shí)和技術(shù)則被視為外生因素.到了20世紀(jì)50年代中期，羅伯特·索羅(Robert Solow)[1]以技術(shù)進(jìn)步論為中心的新古典增長(zhǎng)模型，指出技術(shù)進(jìn)步才是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的主要?jiǎng)恿?索羅增長(zhǎng)模型將經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論研究由外生增長(zhǎng)引入了內(nèi)生增長(zhǎng)的道路，為經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)研究打開了一扇新的大門，之后幾乎所有與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)有關(guān)的理論分析均以它作為參照點(diǎn).20世紀(jì)90年代，格里高利·曼昆(Gregory Mankiw)、大衛(wèi)·羅默(David Romer)及大衛(wèi)·威爾(David Weil)[2]在證明新古典增長(zhǎng)模型的有效性的同時(shí)，在索羅模型的基礎(chǔ)上增加了新的變量——人力資本的積累，論證了引進(jìn)人力資本增量的必要性，并且利用1960—1985年期間的121個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)做了實(shí)證分析，為之后相關(guān)的實(shí)證研究提供了很好的起點(diǎn).這個(gè)模型對(duì)現(xiàn)今的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)研究依舊具有重要的價(jià)值.例如余長(zhǎng)林[3]通過拓展MRW模型來分析人力資本投資結(jié)構(gòu)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響，并利用了中國29個(gè)省市的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證研究；嚴(yán)成樑[4]也是在拓展的Mankiw-Romer-Weil(MRW)模型框架下，研究了資本投入對(duì)我國經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響，根據(jù)我國31個(gè)省的數(shù)據(jù)做了實(shí)證分析，并且估算了我國資本投資的回報(bào)率等；李強(qiáng)[5]在MRW模型的基礎(chǔ)上做實(shí)證研究，將技術(shù)進(jìn)步和人力資本都作為內(nèi)生因子來討論穩(wěn)態(tài)增長(zhǎng)條件.

常見的MRW模型分析都是在穩(wěn)定狀態(tài)下進(jìn)行的，即物質(zhì)資本和人力資本的增長(zhǎng)為零，并利用線性關(guān)系式來估計(jì)參數(shù)，在進(jìn)行實(shí)證研究時(shí)選擇多個(gè)國家或者多個(gè)省市的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸和參數(shù)估計(jì).本文認(rèn)為估計(jì)所得的參數(shù)并不能恰當(dāng)?shù)孛枋龆鄠€(gè)國家和省市的真實(shí)情況.因?yàn)椴煌膰也粌H在技術(shù)增長(zhǎng)率、資本折舊率等方面存在較大差異，在人力資本的結(jié)構(gòu)和勞動(dòng)人口增長(zhǎng)上也各有不同.Mankiw等的文章[2]在末尾也指出未來的研究方向應(yīng)是如何去解釋在索羅模型中被認(rèn)為是外生的變量在國與國之間為什么會(huì)有較大的差異；同時(shí)稅收政策、教育政策和政治穩(wěn)定性也是國家之間經(jīng)濟(jì)差異的重要決定因素.此外，曼昆等在論證MRW模型時(shí)利用了1960—1985年期間121個(gè)國家的數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，并且利用的是普通最小二乘法(Ordinary Least Squares)，但是通過對(duì)論文附表數(shù)據(jù)和模型本身的分析，可以發(fā)現(xiàn)不僅樣本數(shù)據(jù)存在缺失和可能的誤差，而且在參數(shù)估計(jì)時(shí)并沒有涉及到數(shù)據(jù)誤差的考量和處理.

因此，本文提出一種基于MRW模型的Tikhonov正則化算法，在非穩(wěn)態(tài)條件下對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并在實(shí)證分析時(shí)利用單一國家的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，對(duì)單個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行更合理的估計(jì)，估計(jì)隨著時(shí)間推移可以靈活變動(dòng)，而不僅僅是針對(duì)穩(wěn)定狀態(tài).

1 反問題歸結(jié)

1992年，Mankiw等[2]在索羅增長(zhǎng)模型的基礎(chǔ)上提出了新的MRW模型，MRW模型在索羅增長(zhǎng)模型的基礎(chǔ)上加入了人力資本的積累，生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)?/p>

Y(t)=K(t)αH(t)β(A(t)L(t))1-α-β,

(1)

其中：Y代表產(chǎn)量；K代表物質(zhì)資本；H代表人力資本；L代表勞動(dòng)，L(t)=L(0)ent；A表示知識(shí)或者勞動(dòng)的有效性,A(t)=A(0)egt;n為勞動(dòng)人口增長(zhǎng)率；g為技術(shù)進(jìn)步率，均為外生參數(shù)；α和β分別表示資本產(chǎn)出的、勞動(dòng)力產(chǎn)出的彈性系數(shù).

令sk和sh分別表示物質(zhì)資本儲(chǔ)蓄率和人力資本儲(chǔ)蓄率，δ為折舊率，資本的增長(zhǎng)為新增資本減去折舊部分，表示如下：

(2)

(3)

同理可以得到

(4)

根據(jù)式(1)可以得到

(5)

將式(5)代入式(3)和(4)中，則式(3)和(4)可化為

(6)

本文的反問題可以歸結(jié)為： 已知k(t1)=f1,k(t2)=f2,…,k(tM)=fM;h(t1)=g1,h(t2)=g2,…,h(tM)=gM(M為正整數(shù))，來估計(jì)參數(shù)α,β,sk,sh.

2 Tikhonov正則化算法設(shè)計(jì)

首先對(duì)式(6)作線性處理，得到

(7)

通常情況下需要近似表達(dá)導(dǎo)數(shù)時(shí)會(huì)采用差分法，但是由于現(xiàn)在獲得的k(t1),k(t2),…,k(tM);h(t1),h(t2),…,h(tM)，為觀測(cè)數(shù)據(jù)，通常存在測(cè)量誤差，尤其當(dāng)M的值越大，劃分的間隔越小，原本測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差會(huì)在最后結(jié)果的計(jì)算中放大.所以本文采用了陸帥和王彥博[6]提出的應(yīng)用Tikhonov正則化方法來估計(jì)1階的數(shù)值微分的方法.

|yi-f(xi)|≤ε，

ε是測(cè)量的誤差水平.現(xiàn)在需要估計(jì)f(x)的1階導(dǎo)數(shù).定義正則化泛函

其中：g(3)是函數(shù)g的3階導(dǎo)數(shù)，λ為正則化參數(shù).取λ=ε2(文獻(xiàn)[7]給出了正則化參數(shù)λ的選取方法)，文獻(xiàn)[6]已證明存在唯一的函數(shù)f*∈V={h|h∈C[0,1]且h(0)=y1,h(1)=yN}滿足

Φ(f*)≤Φ(g) ?g∈V,

且構(gòu)造了1個(gè)5次樣條函數(shù)f*：

f*=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3+ei(x-xi)4+fi(x-xi)5x∈[xi,xi+1]，

(8)

這里有6n個(gè)未知常數(shù)：ai,bi,ci,di,ei,fi,i=1,2,…,N-1.未知參數(shù)求解可參考文獻(xiàn)[6].

反問題算法總結(jié)如下:

Algorithm1利用最小二乘法反演參數(shù)

1) 整理原始數(shù)據(jù)，給出Y(t),K(t),H(t),L(t)和A(t);

4) 輸入n+g+δ，利用最小二乘法對(duì)α,β,sk,sh進(jìn)行估計(jì)；

3 數(shù)值模擬與實(shí)證研究

3.1 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證算法的有效性，本文在已知α,β,n+g+δ,sk和sh的情況下，給出k(t)和h(t)的時(shí)間序列數(shù)據(jù).然后利用這一數(shù)據(jù)，采用第2節(jié)設(shè)計(jì)的算法來估計(jì)α,β,n+g+δ,sk和sh.如果估算值和我們已知的數(shù)值相當(dāng)接近，即可證明我們的算法是有效的.已知α,β,n+g+δ,sk和sh，利用Matlab中的ODE45(Runge-Kutta算法)，可以求出k(t)和h(t)的高精度近似值.本文采用Mankiw等在文獻(xiàn)[2]中對(duì)α,β,n+g+δ,sk和sh所估算的1組數(shù)據(jù)，這1組數(shù)據(jù)在原文中經(jīng)過了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和經(jīng)濟(jì)含義分析，是有效的估算結(jié)果.我們將這1組數(shù)據(jù)作為真實(shí)值，進(jìn)行數(shù)值模擬的結(jié)果如表1所示.其中：R2用來衡量回歸模型整體的擬合度，R2最大值為1，R2的值越接近1，說明擬合程度越好；反之，R2的值越小，說明回歸直線對(duì)觀測(cè)值的擬合程度越差；F是對(duì)回歸模型整體的方差檢驗(yàn)；P是判斷F檢驗(yàn)是否顯著的標(biāo)準(zhǔn).

表1 回歸結(jié)果與參數(shù)估計(jì)

注： “—”表示此項(xiàng)無數(shù)據(jù)，下同.

從表1和圖1中可以看到，2組回歸估計(jì)的結(jié)果和真實(shí)值相當(dāng)接近，這驗(yàn)證了本文算法的有效性，能夠?qū)Ζ?β,sk,sh做出較為準(zhǔn)確的估計(jì).

圖1 2組回歸的殘差Fig.1 Two sets of residual errors

3.2 實(shí)證分析

3.2.1 數(shù)據(jù)來源

1) 國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)指按照市場(chǎng)價(jià)格計(jì)算的1個(gè)國家(或地區(qū))所有常住單位在一定時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)活動(dòng)的最終成果.該指標(biāo)即為生產(chǎn)函數(shù)的右端項(xiàng)，用于檢驗(yàn)估計(jì)得到的值是否有效，是否符合MRW模型的生產(chǎn)函數(shù).

2) 全社會(huì)固定資產(chǎn)投資是指以貨幣形式表現(xiàn)的在一定時(shí)期內(nèi)全社會(huì)建造和購置固定資產(chǎn)的工作量以及與此有關(guān)的費(fèi)用的總稱.它可以用來反映固定資產(chǎn)投資規(guī)模、結(jié)構(gòu)和發(fā)展速度.本文利用這一指標(biāo)來近似替代K(t)，即物質(zhì)資本存量.

3) 人力資本存量的估算在學(xué)界目前沒有被普遍認(rèn)可的方法，常見的有“成本法”、“成本加權(quán)法”以及永續(xù)盤存法等.國內(nèi)有多名學(xué)者給出了我國不同時(shí)間段的人力資本存量的估算結(jié)果.本文考慮兩方面因素： 盡可能與其他指標(biāo)相匹配的年份區(qū)間以及文獻(xiàn)中估算結(jié)果的合理性分析，最終采用了喬紅芳和沈利生[8]給出的1978—2011年我國人力資本存量的估算數(shù)據(jù).他們的估算方法將直接教育、醫(yī)療保健和文教娛樂消費(fèi)作為人力資本投資的成本，并創(chuàng)新地引入了教育投資時(shí)滯的概念，更加客觀地描述不同年齡、不同學(xué)歷從業(yè)人員的真實(shí)教育成本.

4) 對(duì)于L(t)，選擇的是國家統(tǒng)計(jì)局給出的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口數(shù).該指標(biāo)表示在16周歲及以上，有勞動(dòng)能力，參加或被要求參加社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的人口.n采用的是經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口增長(zhǎng)率，根據(jù)L(t)的數(shù)據(jù)估計(jì)為0.008.

5) 對(duì)于綜合科技水平A(t)，沒有找到專門的文獻(xiàn)來對(duì)這一指標(biāo)進(jìn)行描述和提出估算方法.本文采取的做法是根據(jù)MRW模型中假設(shè)的A(t)以不變的速度增長(zhǎng)，即

A(t)=A(0)egt

這一公式來進(jìn)行估算.在文獻(xiàn)[9]中，肖庭延等利用數(shù)值穩(wěn)定的Marquardt算法，根據(jù)1990年全國全民所有制獨(dú)立核算出的工業(yè)企業(yè)的部分投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)估計(jì)出了當(dāng)年的綜合科技水平A(0)，這一結(jié)果在文章經(jīng)過各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)以及經(jīng)濟(jì)含義的分析后證明是基本合理的.前文已寫明增長(zhǎng)速度g一般可以用人均收入的增長(zhǎng)率來進(jìn)行估算.利用國家統(tǒng)計(jì)局給出的城鎮(zhèn)單位就業(yè)人員平均工資計(jì)算了我國人均收入的平均增長(zhǎng)率，估算結(jié)果為0.135.在已知初始的綜合科技水平A(0)和增長(zhǎng)速度g后，即可得到綜合科技水平的估算結(jié)果.

6) 資本折舊率根據(jù)文獻(xiàn)[10]的數(shù)據(jù)，對(duì)選定的年份區(qū)間的折舊率取平均值，結(jié)果為0.107.

7) 原始數(shù)據(jù)誤差水平并沒有準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，本文假設(shè)為0.01.

由4)，5)和6)，可以得到n+g+δ的值為0.25.最終綜合所有可獲得的數(shù)據(jù)，選取共有的年份區(qū)間，得到1996—2011年回歸所需的基本數(shù)據(jù).

3.2.2 結(jié)果分析

對(duì)式(7)分別做回歸，可以得到兩組估計(jì)值.還有一種處理辦法，將式(7)中的兩個(gè)等式合并成一個(gè)式子：

(9)

對(duì)式(9)做線性回歸.但如果采用這種處理辦法將無法求出各自的估計(jì)值.針對(duì)這兩種方法本文都做了運(yùn)算，希望比較一下3組回歸的效果，結(jié)果如表2和圖2所示.

表2 回歸結(jié)果與參數(shù)估計(jì)

圖2 3組回歸的殘差Fig.2 Three sets of residual errors

圖3 Y(t)的估計(jì)值與實(shí)際值對(duì)比Fig.3 The approximation solutions and the exact soution of Y(t)

對(duì)于回歸值和實(shí)際值之間的差異，一個(gè)可能的原因是原始數(shù)據(jù)沒有做無量綱化處理，我們選取的指標(biāo)的數(shù)量級(jí)有所不同，從而影響了結(jié)果的精度.因此對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，添加了無量綱化的步驟.標(biāo)準(zhǔn)化公式如下：

其中：

無量綱化處理過后的結(jié)果如表3和圖4所示，從中可以看出無量綱化的回歸結(jié)果與實(shí)際值更為接近，整體增長(zhǎng)趨勢(shì)比較一致.而具體數(shù)值結(jié)果上，sk和sh的估計(jì)值仍然不理想.可能的原因是物質(zhì)資本存量指標(biāo)選取的缺陷，它和人力資本存量一樣可以通過計(jì)量模型進(jìn)行估算，除了固定資產(chǎn)投資以外還包含有其他項(xiàng)目，但是研究時(shí)未能獲得足夠長(zhǎng)時(shí)間段的估算數(shù)據(jù)，從而利用全社會(huì)固定資產(chǎn)投資指標(biāo)來近似替代.

表3 標(biāo)準(zhǔn)化后的回歸結(jié)果與參數(shù)估計(jì)

圖4 標(biāo)準(zhǔn)化后Y(t)的估計(jì)值與實(shí)際值Fig.4 The approximation solutions and the exact solution of Y(t) after normalization

標(biāo)準(zhǔn)化后3組回歸的結(jié)果非常接近.在未標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)，合并兩式進(jìn)行回歸的估計(jì)值作為結(jié)果是最為理想的，同時(shí)也驗(yàn)證了我們的算法是有效的，存在的缺陷是一方面沒有辦法分別估算sk和sh的值.當(dāng)式(7)中任意一個(gè)回歸出現(xiàn)較大的偏差，合并式(7)中的兩式后的回歸都會(huì)將它反映出來.如果式(7)中兩式的估計(jì)效果都較為滿意，可以取兩次估算值的均值來達(dá)到兼顧兩方數(shù)據(jù)的要求.

4 結(jié) 語

為了對(duì)非穩(wěn)定狀態(tài)下的資本產(chǎn)出彈性和資本儲(chǔ)蓄率進(jìn)行估計(jì)，本文首先利用Tikhonov正則化的1階數(shù)值微分估算方法，然后采用最小二乘法的參數(shù)估計(jì)算法，經(jīng)由數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)證明了該算法的可行性.并進(jìn)一步利用1996—2011年我國的相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，擬合結(jié)果較好，給出的資本產(chǎn)出彈性估計(jì)值在經(jīng)濟(jì)含義上合理，進(jìn)一步證明了該算法的合理性.