嚴燦云

(江蘇省通州高級中學，江蘇 通州 226300)

在高中物理競賽的學習中,研究了一類重要的問題,就是“場”,其中包括引力場、電場、磁場.這些場的空間分布與場源有著很重要的關系.本文中筆者跟大家分享一類特殊的場:圓形空腔中的勻強場.

1 圓形空腔中的勻強引力場

如圖1,行星上有一個以表面A點到球心O作為直徑的球形空腔,設行星密度為ρ,半徑為R.現(xiàn)從A點處無初速的掉入一物體,試求物體從A點掉到O點所用的時間.

解析:要解答這個問題,需要知道球形空腔內(nèi)的引力場的重力加速度.如圖2,設空腔球心為O′,在空腔內(nèi)任取一點P,P點的重力加速度可以理解為密度為ρ的實心大球和密度為-ρ的實心小球在P點的重力加速度的合成.

圖1

圖2

實心大球在P點產(chǎn)生的重力加速度

實心小球在P點產(chǎn)生的重力加速度

故

圖3

2 圓形空腔中的勻強電場

圖4

如圖4所示,在半徑為R,電荷體密度為ρ的均勻帶電球體內(nèi)部挖去半徑r的一個小球,小球球心O′與大球球心O相距為a,試求O′點處的電場強度,并證明空腔內(nèi)電場均勻.

圖5

解析:圓形空腔中的電場,亦可以看成是電荷體密度為ρ的大球和電荷體密度為-ρ的小球共同產(chǎn)生的電場的合成.如圖5所示,在空腔內(nèi)任取一點P,大球在P點的場強為

同理,小球在P點的場強為

故

3 圓柱形空腔中的勻強磁場

圖6

一半徑為R1的無限長金屬圓柱體內(nèi)挖去一半徑為R2的小圓柱體,兩柱體的軸線平行,俯視圖如圖6,圓心分別O1和O2,rO1O2=a.金屬圓柱內(nèi)有沿軸向流出紙面外的電流,電流密度均勻且為j.求小圓柱面內(nèi)(空腔內(nèi))磁感應強度.

圖7

解析:空腔內(nèi)的磁場可以看成是大圓柱內(nèi)流出的電流和小圓柱內(nèi)流入的電流產(chǎn)生的磁場的合成.無限長通電直導線周圍的磁場的求解可以用環(huán)路定理求解,空腔內(nèi)任取一點P,如圖7,大圓柱內(nèi)的電流在P點產(chǎn)生的磁場可由環(huán)路定理求解,B1·2πrO1P=μ0j·πrO1P2,可得

同理,小圓柱在P點產(chǎn)生的磁場為

P點的合磁場為

4 圓柱形空腔中的勻強感生電場

一無限長圓柱,偏軸平行的挖出一個圓柱空間,兩圓柱軸間距OO′=d,圖8所示為垂直于軸的截面.設兩圓柱間存在均勻磁場,磁感應強度B隨時間t線性增長,即B=B0+kt.現(xiàn)在空腔中放一與OO′成60°角、長為L的金屬桿AO′B,求桿中的感生電動勢.

圖8

解析:先求解空腔內(nèi)的感生電場.圓柱內(nèi)的感生電場可以看成是大圓柱內(nèi)的垂直于紙面向里增加的磁場和小圓柱內(nèi)垂直于紙面向外增加的磁場共同產(chǎn)生的.在空腔內(nèi)任取一點P,P點感生電場的矢量圖如圖9,由法拉第電磁感應定律可求得大圓柱內(nèi)變化的磁場在P處產(chǎn)生的感生電場,得

同理,小圓柱內(nèi)變化的磁場在P處產(chǎn)生的感生電場,

P處的合電場為

圖9

圖10

結語:上面討論的4種情形,其實對應了中學階段學習的4種場,對應這4種不同的場居然都有圓(柱)形空腔內(nèi)的勻強場存在,不得不說是件很奇妙的事情,但是,回頭看看之所以會有這樣的結論,其本質(zhì)是因為場強和位置矢量之間是一次函數(shù)關系;另外,他們的處理方法相似,都是采用 “正負抵消”法來處理空腔內(nèi)的問題的．