林棉璇

(廣寧縣廣寧中學(xué),肇慶 廣寧 526300)

在高考考試大綱里,萬有引力定律及其應(yīng)用屬于二級要求,但是考綱并沒有明確開普勒第二定律屬于哪一級要求.統(tǒng)計(jì)以往高考出卷情況,幾乎沒有涉及開普勒第二定律的考查,而在平常測試中,開普勒第二定律的最大應(yīng)用就是比較行星在遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)的速度大小.按照以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),很多教師是直接將開普勒第二定律告訴學(xué)生,導(dǎo)致很多學(xué)生對此不夠重視,不能準(zhǔn)確把握開普勒第二定律.受教學(xué)深度的限制,學(xué)生不能準(zhǔn)確理解開普勒第二定律情有可原,但市面上一些教輔資料出現(xiàn)對開普勒第二定律的錯誤理解和拓展,是誤人子弟的大過錯.

粵教版高中物理必修2對開普勒第二定律的描述是:“行星和太陽之間的連線,在相等的時間內(nèi)掃過相同的面積”;人教版高中物理必修2的描述是:“對任意一個行星來說,它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積”.比較而言,人教版的描述比粵教版的更明確更到位,而教輔資料對開普勒第二定律的常見錯誤解讀是,[1]認(rèn)為不同行星與太陽的連線在相同的時間內(nèi)掃過的面積都是相等的,如圖1所示.由此可見,正確理解開普勒第二定律關(guān)鍵在于明確面積是由同一顆行星還是不同行星掃出來的.筆者掌握的文獻(xiàn)資料[2]-[4],都是根據(jù)角動量守恒、微積分、叉乘等大學(xué)知識來推導(dǎo)開普勒第二定律,推導(dǎo)過程即使詳盡,推導(dǎo)方法卻不適用于高中生,本文避開大學(xué)知識,完全利用高中知識,先論證同一顆行星與太陽的連線掃出來的面積關(guān)系,再論證不同行星與太陽的連線掃出來的面積關(guān)系,從面積關(guān)系入手,深入分析開普勒第二定律,以期大家能正確理解開普勒第二定律.

圖2

太陽系中的兩顆行星(例如地球和海王星)的運(yùn)動近似看作勻速圓周運(yùn)動，它們的軌道半徑分別為R1和R2，如圖2所示.由開普勒第二定律可知，在相同的時間內(nèi)，地球與太陽的連線掃過的面積S1跟海王星與太陽掃過的面積S2相等，即S1=S2.

圖1

1 同一行星與太陽的連線掃過的面積關(guān)系

圖2

如圖2所示,t時刻行星與太陽的連線為r(t),經(jīng)Δt時間,行星與太陽的連線為r(t+Δt),行星走過的軌跡為曲邊Δr=vΔt.t時刻行星速度v與r(t)的夾角為α,當(dāng)Δt→0,曲邊Δr近似為與v共線的直邊,則曲邊三角形的面積為

(1)

圖3

初中學(xué)過杠桿定理,接觸過力臂和力矩的概念.如圖3所示,繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動的點(diǎn)A所受的力為F,力臂為定點(diǎn)O到力F的垂直距離d=rsinφ,則力矩

M=Fd=Frsinφ.

(2)

整理(2)式,

M=r·Fsinφ=rFy.

(3)

根據(jù)牛頓第二定律(或者動量定理),

(4)

聯(lián)立(3)(4)式

(5)

記ΔL=rmΔvsinα,即L=rmvsinα，則

(6)

根據(jù)(5)式,力矩M可以理解為物理量L對時間t的導(dǎo)數(shù),即力矩M等于物理量L的變化率.事實(shí)上,物理量L被命名為角動量.

L=rmvsinα=C(C為常數(shù)).

(7)

聯(lián)立(1)(7)式

(8)

在以上證明過程中,將太陽換成地球,將行星換成繞地球旋轉(zhuǎn)的衛(wèi)星,同理可得,在相等Δt時間內(nèi),地球與同一衛(wèi)星的連線掃過的面積ΔS相等.太陽相對于環(huán)繞其運(yùn)動的行星而言,叫做中心天體,而環(huán)繞太陽運(yùn)動的行星叫做環(huán)繞天體.同理,地球相對于環(huán)繞其運(yùn)動的衛(wèi)星而言,叫做中心天體,而環(huán)繞地球運(yùn)動的衛(wèi)星叫做環(huán)繞天體.因此,開普勒第二定律可以這么表述:同一環(huán)繞天體與其所繞的中心天體的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等.

2 不同行星與太陽的連線掃過的面積關(guān)系

反思以上證明過程,由于太陽對行星的萬有引力力矩等于0,得出行星繞太陽運(yùn)行過程中角動量L是不變的量,然而,結(jié)果如表1所示.

表1

從另一個角度思考,因?yàn)槊恳粋€行星在相等時間內(nèi)各自掃過的面積保持不變,如果能比較每一個行星各自在一個公轉(zhuǎn)周期內(nèi)掃過的平均面積大小,反過來就可以比較不同行星在相等時間內(nèi)掃過的面積大小.

根據(jù)開普勒第一定律,所有的行星圍繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓,高中學(xué)過橢圓面積公式

S=πab.

(9)

根據(jù)開普勒第三定律,行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和軌道半長軸的立方成正比，

a3=k2T2，

(10)

其中k2是與環(huán)繞天體無關(guān)的常數(shù).

聯(lián)立(9)(10)式,行星在一個公轉(zhuǎn)周期內(nèi)掃過的平均面積大小

(11)

事實(shí)上,行星軌道半長軸a越大,半短軸b也越大,因此,無法簡單比較不同行星的在相等時間內(nèi)掃過的面積大小,除非已知行星

的軌道短軸和長軸.

一般的,如果行星的橢圓軌道接近于圓軌道,可以將行星軌道用圓軌道近似處理.此時a=b=r,代入(11)式

(12)

根據(jù)(12)式,在不同圓軌道上的不同行星,軌道半徑越大,在相等時間內(nèi)掃過的面積越大.

圖4

對于圓軌道,還有另一種證明方法.如圖4所示,在圓軌道上,行星和太陽和連線掃過的圖形是扇形,扇形面積公式

(13)

萬有引力提供向心力

(14)

聯(lián)立(13)(14)式整理得出扇形面積

(15)

根據(jù)(12)式,在不同圓軌道上的不同行星,軌道半徑越大,在相等時間內(nèi)掃過的面積越大.

綜合以上的證明,開普勒第二定律的正確理解是:同一環(huán)繞天體與其所繞的中心天體的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等;同一中心天體與其不同環(huán)繞天體的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積無法比較大小,除非已知環(huán)繞天體的軌道短軸和長軸;對于圓軌道,軌道半徑越大,在相等時間內(nèi),中心天體與環(huán)繞天體的連線掃過的面積越大.