彭 凱

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210023）

現(xiàn)實(shí)中，常常需要比較不同分布的方差，尤其需要知道總體間是否具有方差齊性.例如在容器制造過(guò)程中，為了更高的適配率，質(zhì)控人員不僅希望其生產(chǎn)的容器和蓋子的尺寸有相等的均值，而且希望它們具有方差齊性；大型考試，常常需要多名批卷老師合作批卷，管理者會(huì)希望不同的老師有相似的改卷風(fēng)格即具有方差齊性，以使批卷結(jié)果對(duì)不同的學(xué)生更為公平合理. 因此，比較不同分布的方差具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.

傳統(tǒng)的參數(shù)統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域，對(duì)于兩總體方差的比較是在總體為正態(tài)分布的假設(shè)下進(jìn)行的.在實(shí)際研究中，遇到的多是非正態(tài)數(shù)據(jù)，這時(shí)用傳統(tǒng)的方法并不合理，要想去證明非正態(tài)總體下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布或漸進(jìn)分布也未必容易.

本文基于Qin 和Zhang[1]提出的半?yún)?shù)密度比模型，以方差比作為統(tǒng)計(jì)指標(biāo)來(lái)比較總體間方差大小.以G,H分別表示隨機(jī)變量X,Y的分布函數(shù)，以g(x),h(x)分別表示兩個(gè)總體的密度函數(shù). 該模型如下：

這里α 是一個(gè)標(biāo)量參數(shù)，β 是一個(gè)p×1 的向量參數(shù)，r(x)是一個(gè)p×1 的關(guān)于x 的光滑的向量函數(shù).該模型已被應(yīng)用到各種具體統(tǒng)計(jì)方法上. 例如：Zhang[2]研究了半?yún)?shù)分位數(shù)估計(jì)方法；Qin 和Zhang[3]以及Wan 和Zhang[4]建立了該模型下進(jìn)行ROC 曲線估計(jì)的半?yún)?shù)方法；Wan 和Zhang[5]建立了該模型下進(jìn)行ROC 曲線比較的半?yún)?shù)方法；Folkianos[6]、Cheng 和Chu[7]、Qin 和Zhang[8]建立了半?yún)?shù)密度函數(shù)估計(jì)方法；Wan 和Xu[9]證明了半?yún)?shù)估計(jì)下的均值差以及方差之差各自漸進(jìn)服從于正態(tài)分布，并且給出半?yún)?shù)估計(jì)量比參數(shù)估計(jì)量漸進(jìn)有效的理論證明. Kay 和Little[10]討論了r(x)的選取以及其下適用的具體分布類型.

本文的核心思想是假定兩總體服從密度比模型下用經(jīng)驗(yàn)似然方法討論兩獨(dú)立總體方差比的推斷問(wèn)題. 密度比模型不設(shè)定總體分布類型，并且模型包含未知參數(shù)，因此屬于半?yún)?shù)模型范疇. 這種方法可以看作是常用F統(tǒng)計(jì)量推斷的一種半?yún)?shù)推廣.

1 主要方法

設(shè)兩總體樣本數(shù)據(jù)分別為X1,X2,…,Xn0～g(x),Z1,Z2,…,Zn1～h(x)并且設(shè)定聯(lián)合數(shù)據(jù)為{X1,X2,…,Xn0,Z1,Z2,…,Zn1} ={t1,t2,…,tn} ，記n=n0+n1.另，設(shè)g(x)的均值為μ1,方差為；h(x)的均值為μ2,方差為.此外，假定模型（1）成立.

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)似然方法，可以寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)：

其中pi=dG(ti)(i=1,2,…,n)是概率的躍遷，且總和為1.

時(shí)獲得. 式中ρ= n1n0,(α?,β?)是(α,β)的似然估計(jì)量，其數(shù)值可解以下計(jì)分方程組而獲得：

這里l(α,β)是關(guān)于(α,β)的剖面對(duì)數(shù)似然函數(shù)，其值為：

那么，可以用以下半?yún)?shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)作為總體G,H的半?yún)?shù)估計(jì)量：

為使表達(dá)式更為簡(jiǎn)便，規(guī)定：

根據(jù)以上結(jié)果能得到θ的半?yún)?shù)估計(jì)量：

2 Bootstrap 推斷

Bootstrap 置信區(qū)間有多種構(gòu)建方式，對(duì)于該假設(shè)檢驗(yàn)采用EP法獲得置信區(qū)間，那么Bootstrap推斷算法步驟如下：

（1）根據(jù)原始數(shù)據(jù)X,Z計(jì)算θ的點(diǎn)估計(jì)數(shù)值θ?.

（2）從樣本X 中有放回重抽樣（以原始數(shù)據(jù)容量）得到B組Bootstrap數(shù)據(jù)X*(b).

（3）從樣本Z 中有放回重抽樣（以原始數(shù)據(jù)容量）得到B組Bootstrap數(shù)據(jù)Z*(b).

（4）聯(lián)合以上數(shù)據(jù)得到B 組Bootstrap 數(shù)據(jù)( X*(b),Z*(b)),b=1,2,…,B進(jìn)而計(jì)算θ?*(b)的數(shù)值.

（5）對(duì){θ?*(1),θ?*(2),…,θ?*(B)}數(shù)值向量進(jìn)行升序排列，并用百分位數(shù)法獲得95% 等尾置信區(qū)間()，其中是百分位數(shù).

（6）把Bootstrap 置信區(qū)間用于假設(shè)檢驗(yàn)H0：θ=θ0vs H1：θ ≠θ0. 如果θ0數(shù)值落在該置信區(qū)間內(nèi)則保留原假設(shè)，否則拒絕原假設(shè). 這一步相當(dāng)于置信水平為0.05 時(shí)的顯著性檢驗(yàn). 類似地，還可以運(yùn)用單側(cè)置信區(qū)間進(jìn)行單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn).

3 統(tǒng)計(jì)模擬

模擬實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖球?yàn)證方法的可行性. 這里考慮正態(tài)和指數(shù)分布兩類情況.

3.1 總體分布類型設(shè)定

3.2 統(tǒng)計(jì)模擬步驟

（1）對(duì)每種情況下產(chǎn)生N組容量為(n,n) 的蒙特卡洛模擬數(shù)據(jù).

（2）對(duì)每組蒙特卡洛數(shù)據(jù)進(jìn)行有放回重抽樣得到B組Bootstrap數(shù)據(jù)，其容量為(n,n).

（3）每組蒙特卡洛數(shù)據(jù)下可以得到B 對(duì)α?,β?估計(jì)值，從而得到B個(gè)θ?估計(jì)值.

（4）計(jì)算N×B個(gè)θ?估計(jì)值的均值.

（5）計(jì)算N×B個(gè)θ?估計(jì)值的均方誤差.

（6）對(duì)每組蒙特卡洛數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)95%等尾置信區(qū)間，并計(jì)算覆蓋概率（即N個(gè)置信區(qū)間中包含θ真值的個(gè)數(shù)與N的比例）.

3.3 統(tǒng)計(jì)模擬結(jié)果

表1、表2 是統(tǒng)計(jì)模擬結(jié)果. 從表1、表2 可以看出，參數(shù)真值與估計(jì)值的均值相差較小. 隨著樣本容量增加，參數(shù)真值與估計(jì)值均值逐漸接近，均方誤差逐漸減小.另外，置信區(qū)間覆蓋概率與預(yù)期的95%非常接近.因此，該方法是可行的.

表1 正態(tài)分布模擬結(jié)果（g( x )～N( 1,4 ),h( x )～N( 3,4 ),N=500,B=1000）

表2 指數(shù)分布模擬結(jié)果（g( x )～exp( 2 ),h( x )～exp( 1 ),N=500,B=1000）

4 實(shí)例分析

4.1 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

在給定數(shù)據(jù)下使用半?yún)?shù)密度比模型時(shí)一個(gè)必要的步驟是檢驗(yàn)該模型對(duì)于數(shù)據(jù)的適合度即擬合優(yōu)度. 該模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有很多種，例如Qin[1]提供的KS 統(tǒng)計(jì)量，Zhang[11]給出的卡方型檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，Zhang[12]給出的信息矩陣統(tǒng)計(jì)量等等. 以下用到的實(shí)例數(shù)據(jù)已經(jīng)完成擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，其結(jié)果可參考Qin[1].

4.2 數(shù)據(jù)來(lái)源

采用Glovsky & Rigrodsky（1964）的數(shù)據(jù)作為分析案例.作者分析比較了智力缺陷兒童的發(fā)展歷史數(shù)據(jù)，研究了參加新澤西維蘭培訓(xùn)學(xué)校的語(yǔ)言治療項(xiàng)目的41 名兒童. 其中有20 個(gè)兒童在其早年發(fā)展中被診斷出患有失語(yǔ)癥，剩下的21個(gè)兒童被診斷患有智力障礙. 令隨機(jī)變量Z 代表患有失語(yǔ)癥兒童的指標(biāo)變量，X代表患有智力障礙兒童的指標(biāo)變量.根據(jù)威尼蘭社會(huì)成熟量表測(cè)量得到的每個(gè)兒童的得分如下：

4.3 估計(jì)與檢驗(yàn)

考慮以下假設(shè)檢驗(yàn)

根據(jù)前面的推斷算法，得到θ?=1.088，置信區(qū)間為( 0.752,1.591 ). 另外，θ0=1 落在置信區(qū)間內(nèi)，因此選擇保留原假設(shè). 換句話說(shuō)，無(wú)法做出拒絕原假設(shè)的判斷.