劉 華

（荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北荊門448000）

Poisson-Lomax 分布是新近提出的一種具有良好應(yīng)用前景的壽命分布，是Lomax分布的推廣，國內(nèi)對這個分布的統(tǒng)計性質(zhì)進行研究的學(xué)者比較少.文獻[1]研究了該分布的密度函數(shù)與危險函數(shù)，給出了各階矩和順序統(tǒng)計量以及完全樣本情形下參數(shù)的極大似然估計和區(qū)間估計；文獻[2]研究了定數(shù)截尾情形下Poisson-Lomax 分布的Bayes 估計，并給出了該分布在Linex 損失函數(shù)和刻度平方損失函數(shù)下參數(shù)的Bayes 估計. 很多學(xué)者[3-10]研究了在不同損失函數(shù)下其他分布參數(shù)的Bayes 估計，然而關(guān)于全樣本下Poisson-Lomax 分布參數(shù)的Bayes 估計尚未見到，本文給出該分布在不同損失下Poisson-Lomax 分布參數(shù)α的Bayes估計，并進行數(shù)值模擬進行比較.

Poisson-Lomax 分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：

下面討論Poisson-Lomax 分布中當(dāng)λ,β 已知時參數(shù)α 的極大似然估計和在不同損失函數(shù)下的Bayes估計.

1 Poisson-Lomax 分布參數(shù)α 的極大似然估計

設(shè)X1,X2,…,Xn為來自Poisson-Lomax 分布的一個簡單隨機樣本，x1,x2,…,xn為其觀察值，記x=(x1,x2,…,xn)，根據(jù)文獻[11]，樣本x 的似然函數(shù)和對數(shù)似然函數(shù)分別為：

該方程的解即Poisson-Lomax 分布參數(shù)α 的極大似然估計，記為. 上式是非線性方程，不易求解，可以采用迭代法求其數(shù)值解. 為了表達式的簡潔，記hi=1+βxi，從而有

2 無信息先驗下Poisson-Lomax 分布參數(shù)α 的Bayes 估計

在貝葉斯統(tǒng)計中，參數(shù)α是隨機變量，需要選擇一個合適的先驗分布，常用無信息的先驗分布和共軛先驗分布，現(xiàn)取α的先驗分布為廣義的均勻分布：π(α)=1，α ∈(0,+∞)，則α的后驗密度函數(shù)為：

在統(tǒng)計決策問題中，由于損失函數(shù)選取的不同，往往使統(tǒng)計決策的優(yōu)劣程度發(fā)生變化，下面將在幾類不同的損失函數(shù)下，給出參數(shù)α的貝葉斯估計.

定 理1在 刻 度 平 方 損 失 函 數(shù)L(α,α?)=下，其中k 為非負的整數(shù)，若取α 的先驗分布為廣義均勻分布，則Poisson-Lomax分布參數(shù)α的Bayes估計為

證明：對參數(shù)α 求后驗期望，得到后驗風(fēng)險函數(shù)為：

α?2E(α-k|x)-2α?E(α1-k|x)+E(α2-k|x)

兩邊對α?求一階偏導(dǎo)并令其偏導(dǎo)為0，即

故Poisson-Lomax分布參數(shù)α的Bayes估計為

當(dāng)k=0時就是平方損失函數(shù)，此時參數(shù)α的貝葉斯估計為后驗分布的均值[11]，因此

定 理 2在 熵 損 失 函 數(shù) L(α,α?)=下，若取α 的先驗分布為廣義均勻分布，則Poisson-Lomax分布參數(shù)α的Bayes估計為：

證明：對參數(shù)α求后驗期望，得到后驗風(fēng)險

兩邊對α?求一階偏導(dǎo)數(shù)并令其偏導(dǎo)為0，得

則Poisson-Lomax分布的參數(shù)α的Bayes估計為：

定 理3在 對 稱 熵 損 失 函 數(shù)L(α,α?)=下，若取α 的先驗分布為廣義均勻分布，則Poisson-Lomax分布參數(shù)α的Bayes估計為：

證明：對參數(shù)α求后驗期望，得到后驗風(fēng)險

兩邊對α?求一階偏導(dǎo)并令其偏導(dǎo)數(shù)為0，得

再由定理1和定理2中的結(jié)論知：

定理4在Linex 損失函數(shù)L(α,α?)=ec(α-α?)-c(α-α?)-1 (c ∈R,c ≠0)下，若取α 的先驗分布為廣義均勻分布，則Poisson-Lomax 分布參數(shù)α 的Bayes估計為：

證明：對參數(shù)α同時求后驗期望，得到后驗風(fēng)險

兩邊對α?求一階偏導(dǎo)并令其偏導(dǎo)數(shù)為0，得

3 數(shù)值模擬分析

由文獻[1]知，Poisson-Lomax 分布的分位數(shù)函數(shù)為：

當(dāng)λ、β 已知時，對參數(shù)α 求極大似然估計α?MLS及各種損失函數(shù)下的Bayes估計的步驟如下：

（1）產(chǎn)生一組容量為n的服從U(0,1)的相互獨立的隨機樣本U1,U2,…,Un.

（2）給 定α=2,β=1,λ=5 的 值，令Xi=Q(Ui)(i=1,2,…,n)，則X1,X2,…,Xn是 服 從Poisson-Loma 分布的隨機樣本，即X1,X2,…,Xn～F(x;2,1,5).

（3）計算α 的極大似然估計，以及在平方損失下、刻度平方損失下、熵損失下、對稱熵損失下、Linex 損失下的貝葉斯估計值，分別記為：α?MLS,α?BS,α?BK,α?BE,α?BSE,α?BL. 由于積分不易直接求得，記m(z;n,hi)=zn（其 中hi=1+βxi），由大數(shù)定律知，當(dāng)N →∞，m(z;n,hi)dz，zi～exp(1) (i=1,2,…,N)，其中取N=10000，把上式近似估計值代入α估計表示式.

（4）重復(fù)上述過程1000 次，計算出各個估計值的均值（MEAN）、標準誤差（SE）、均方誤差（MSE）.

由此，給定α=2,β=1,λ=5 時，Poisson-Lomax 分布隨機數(shù)樣本推斷的參數(shù)α 的估計結(jié)果在MATLAB中計算所得如表1所示.

表1 α=2時估計結(jié)果比較（其它參數(shù)的取值為k=2，c=2）

表1中數(shù)值模擬結(jié)果表明：

（1）隨著n變大，極大似然估計的均方誤差MSE越小，說明了估計的精度在提高，SE越來越來小，說明了極大似然估計隨著樣本量的增加，樣本的代表性越來越好，符合極大似然估計對大樣本的要求，同時估計值也隨著n的增加越接近真值.

（2）在各種損失函數(shù)下的參數(shù)α的Bayes估計的MSE整體都比較小，且估計值比較接近真值2，說明了α的先驗分布選取比較合適；隨著樣本量的增加，SE越來越來小，樣本的代表性也越來越好；當(dāng)n=5時選擇對稱熵損失下的Bayes估計效果最好；當(dāng)n=10 時，選擇Linex 損失下（此時c=2）Bayes 估計效果最好；n=50 時，選擇刻度平方損失下（此時k=2）Bayes估計效果最好.

（3）整體來看，參數(shù)α 的Bayes 估計在小樣本下精度和代表性要優(yōu)于極大似然估計，隨著樣本量的增加，極大似然的估計效果越來越好.