朱嘉齊，李 勇，馮旭剛

（1.安徽工業(yè)大學電氣與信息工程學院，安徽馬鞍山243032；2.馬鞍山鋼鐵股份有限公司熱電總廠，安徽馬鞍山243002）

柔性臂坐標測量機是一種非笛卡爾式的測量系統(tǒng)，通常在大型加工現(xiàn)場對復(fù)雜零部件進行幾何尺寸的快速測量[1-3]，具有體積小、靈活性高、可操作性強、環(huán)境要求低、測量范圍廣等優(yōu)點，但由于其串聯(lián)式連桿機構(gòu)，測量機的測量誤差會被累積并放大[4]，導(dǎo)致最終的精度較低，與傳統(tǒng)的正交式坐標測量機性能相比還存在一定差距.

目前，柔性臂測量機的誤差補償主要針對結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差或角度誤差等靜態(tài)誤差，由機械加工精度、裝配誤差、使用磨損等因素造成[5]，通常利用智能尋優(yōu)算法或借助更高精度的測量儀器對測量機的部件進行實驗來減少誤差，例如：Santolaria使用一維球列作為標準件[6]，采用Levenberg-Marquarat 法（最小二乘法）對Faro的柔性臂坐標測量機進行了標定；Joubair 和Bonev[7]運用具有4個互相垂直的平面的標準立方體確定運動學參數(shù).

隨著現(xiàn)代精密加工和高精度測試的發(fā)展，測量機的靜態(tài)誤差比例在總誤差中逐漸降低.而溫度變化造成的熱變形誤差卻無法消除，因此熱變形誤差對精密儀器的影響顯著提升，成為測量機的主要誤差源之一，目前對熱變形誤差的研究集中于外部環(huán)境溫度的影響[8]，對于內(nèi)熱的補償研究較少.

針對測量機的內(nèi)熱對測量精度的影響，在環(huán)境溫度不變的情況下，本文對測量機主要部件的溫度變化進行實時監(jiān)測，通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立熱誤差補償模型，結(jié)合模擬退火算法加快收斂速度，對測量結(jié)果進行補償.

1 測量機原理與熱誤差分析

關(guān)節(jié)臂式坐標測量機是仿人手臂的六自由度非正交坐標測量機，由基座、測量臂和測頭通過旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串聯(lián)連接構(gòu)成[9]，每個關(guān)節(jié)都裝有角度傳感器，末端坐標以角度為基準，其結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 柔性臂坐標測量機的結(jié)構(gòu)圖

柔性臂測量機的經(jīng)典數(shù)學模型是D-H（Denavit-Hartenberg）模型，運用坐標變換矩陣描述兩個相鄰坐標系的關(guān)系，相鄰坐標系的齊次變換通過旋轉(zhuǎn)Rot 和平移Trans 得到，因此坐標系(xi-1,yi-1,zi-1)轉(zhuǎn)換到坐標系(xi,yi,zi)的變換矩陣Ai為：

式中θi是關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角，li是桿件的長度，di是桿件偏移量，αi是桿件扭轉(zhuǎn)角度.

基于D-H模型的坐標系統(tǒng)如圖2所示.

圖2 基于D-H模型的柔性臂坐標測量機的坐標系統(tǒng)簡圖

由于第7 個坐標系是以測頭為中心，設(shè)測頭中心在第6 坐標系下的坐標為(Bx,By,Bz)，因此相對于第6坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣為[Bx,By,Bz,1]T，則末端測頭相對于基座坐標系的坐標表示如公式（2）：

由于柔性臂測量機由多種材料構(gòu)成，膨脹系數(shù)不同，溫度對測量機不同位置的參數(shù)影響也不同，因此在測量機的熱源處如基座、測量臂、3個軸向旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和實驗空間內(nèi)放置溫度傳感器進行實時監(jiān)測.測量機的熱變形誤差由外熱和內(nèi)熱造成.外熱為外部環(huán)境對測量機的影響，包括工作環(huán)境溫度和人體接觸溫度.內(nèi)熱為儀器自身的導(dǎo)線、角度傳感器、采集電路等元件工作時以及關(guān)節(jié)摩擦造成的發(fā)熱，根據(jù)文獻[8]可知，環(huán)境溫度不變時運行坐標測量機并監(jiān)測各個位置的溫度場變化，測量機上7 處溫度監(jiān)測點的溫度均有不同程度的上升，說明了內(nèi)熱對測量機的溫度產(chǎn)生影響.

當環(huán)境溫度不變時，隨著內(nèi)熱源導(dǎo)致的溫度變化，測量機的各個部件受熱脹冷縮影響，造成桿件的長度、桿件偏移量等結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化，實際參數(shù)與上述模型內(nèi)的理論參數(shù)不一致造成誤差.根據(jù)文獻[2]可知，保持環(huán)境溫度不變的情況下運行測量機，對測量機的主要部件進行溫度監(jiān)測，每隔一定時間測量標準桿的長度并與標準值進行比較，實驗表明測量誤差隨溫度上升而增加，最終達到0.1 mm 左右，因此可知內(nèi)熱對測量機的精度有較大的影響.

2 熱變形誤差建模

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是解決非線性問題的主要方法，對各種信息具有優(yōu)秀的綜合處理能力，可以看成是一種從輸入到輸出的高度非線性映射，因此本文采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對坐標測量機的熱變形誤差進行建模.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為3 層，根據(jù)上述分析可知，7 個監(jiān)測點的溫度是影響測量機精度的重要因素，因此輸入層為7個節(jié)點；輸出層為1個節(jié)點，為測量誤差；隱含層的節(jié)點數(shù)根據(jù)嘗試確定為2×7+1=15. 因此采用的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)為7-17-1，模型的結(jié)構(gòu)如圖3所示.

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)圖

2.2 模擬退火算法

模擬退火（Simulated Annealing,SA）是模擬統(tǒng)計物理學中的固體退火過程，共有3個過程，分別為加溫過程、等溫過程和冷卻過程，它的解題思路是先設(shè)定一個較高的初溫，對初始解隨機擾動產(chǎn)生新解，代入能量函數(shù)判斷是否滿足Metropolis 準則，隨著溫度系數(shù)的逐步使能量函數(shù)達到平衡狀態(tài)；同時根據(jù)Metropolis抽樣準則隨機尋找的全局最優(yōu)解.

算法步驟如下：

Step 1: 設(shè)定初始值：給定初始溫度T0，始權(quán)參數(shù)w(0)=w0，設(shè)置終止檢驗精度e，終止溫度Tmin，馬爾可夫鏈的鏈長L，令初始最優(yōu)解w?=w0，迭代次數(shù)i=0.

Step 2: 產(chǎn)生新解：另wβ=w(k)+rand×E產(chǎn)生新解，其中rand為區(qū)間[-1,1]的隨機數(shù)，符合Cauchy分布.

Step 3: 求 優(yōu) 化 函 數(shù)：計 算ΔE=E(wβ)-E[w(k)].

Step 4: 接受判斷：如果ΔE ≥0，計算接受概率r=exp[-E(εβ)/T ]，如 果r ＞pp，則w(k+1)=wβ，否則w(k+1)=w(k)，pp為區(qū)間[0,1]上的隨機數(shù)；如果ΔE ＜0，則w(k+1)=wβ，w?=wβ.

Step 5: 穩(wěn)定性判別：k=k+1，如果k ＞L，則轉(zhuǎn)到step 5，否則轉(zhuǎn)到步驟2.

Step 6:降溫T=Ti+1=αTi，i=i+1.

Step 7: 結(jié)束判別：如果(E ＜e or T ＜Tmin)，則轉(zhuǎn)到Step 8，否則轉(zhuǎn)到Step 2.

Step 8:輸出最終最優(yōu)解w*，中止算法.

2.3 基于模擬退火算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在收斂速度較慢、抗干擾能力弱以及容易陷入局部最小狀態(tài)等缺點.引入模擬退火算法可加快神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂速度并提高預(yù)測精度，模擬退火算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的過程為：根據(jù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)定模擬退火算法的初始值，設(shè)定一個較高的溫度，對其進行干擾產(chǎn)生新解，將BP 網(wǎng)絡(luò)的均方根誤差作為能量函數(shù)，求解能量函數(shù)，判斷是否接收，循環(huán)降溫，直到滿足結(jié)束條件，輸出最終解即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)權(quán)值.

3 實驗分析

針對測量機的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，采用最小二乘法進行參數(shù)辨識. 為了減少環(huán)境溫度誤差的影響，室溫保持約20 ℃，其中測頭參數(shù)Bx,By為0，由中心孔保證不進行標定辨識后測量機結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示.

表1 參數(shù)辨識后結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters after parameter identification

3.1 實驗方式

設(shè)定8 個溫度檢測點并實時記錄，待環(huán)境溫度穩(wěn)定后，柔性臂測量機開始運行，實驗時間設(shè)定為200 min，對標準桿上兩錐窩點進行測量并計算測量長度，兩點間長度已知為762.350 mm，每隔5 min測得10組數(shù)據(jù)，共得400組數(shù)據(jù)，每個單位時間內(nèi)的10組數(shù)據(jù)中9 組為訓練樣本，1 組作為測試樣本，用以驗證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測效果，測量示意圖如圖4所示.

圖4 測量示意圖

3.2 數(shù)據(jù)分析

環(huán)境溫度不變時測量機在5 min內(nèi)測量15組標準桿長度數(shù)據(jù)，參數(shù)辨識前后的長度誤差如圖5 所示，參數(shù)辨識前誤差范圍在-0.136 2 mm ～0.139 6mm 之間，辨識后誤差范圍在-0.070 5 mm ～0.064 68 mm之間，長度誤差得到了減少.

圖5 參數(shù)辨識前后測量誤差

為了驗證模型有效性，在對SA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓練使其達到結(jié)束的條件后，將40組測試樣本代入模型中進行補償，對補償前后的測量誤差進行比較. 熱變形誤差補償后的比較和分析如圖6 和表2所示.

圖6 測量示意圖

表2 補償前后的測量誤差

從上述圖表中可知，儀器自身發(fā)熱造成的誤差隨時間逐步增大，補償前最大的測量誤差為0.216 8 mm.采用SA-BP模型補償后，測量誤差的平均值為0.006 9 mm，減少了0.020 2 mm，精度提高了74.5%，相比BP模型補償后的誤差平均值0.019 8 mm，補償效果得到了進一步的提升. 此外SA-BP 模型比BP模型補償后的標準差0.057 9 mm 更低，表明了SABP模型補償后的誤差更具有穩(wěn)定性.從表2的數(shù)據(jù)可知，SA-BP 模型補償后的誤差范圍也小于BP 模型，因此驗證了所提算法的可靠性.

4 結(jié)語

本文分析了柔性臂坐標測量機的熱變形誤差因素，主要討論了測量機內(nèi)部發(fā)熱對測量精度的影響. 針對熱變形誤差問題，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立誤差補償模型，當外部溫度不變時測量機開始實驗，每隔一定時間測量標準件并記錄數(shù)據(jù)作為樣本，減少了標定實驗的復(fù)雜性，利用模擬退火算法得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)權(quán)值，避免陷入局部最優(yōu)解. 實驗結(jié)果表明，運用SA-BP模型補償后的測量誤差平均值為0.006 9 mm，標準差為0.038 9 mm，相比BP 模型補償后測量誤差得到了進一步的抑制，補償后的效果更好.