董飛

摘? 要：微分中值定理是高等數(shù)學(xué)教學(xué)與專(zhuān)升本考試的重點(diǎn)，該文分析了2005—2019年浙江專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)考試中需要應(yīng)用微分中值定理解決的綜合題，總結(jié)出了3類(lèi)題型的解決方法，為浙江專(zhuān)升本學(xué)生提供參考。

關(guān)鍵詞：專(zhuān)升本? 微分中值定理? 浙江? 考試

中圖分類(lèi)號(hào)：O13 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2019）11（b）-0192-02

對(duì)于高職高專(zhuān)院校計(jì)劃進(jìn)入本科學(xué)習(xí)的畢業(yè)生，全日制專(zhuān)升本可以稱(chēng)為人生的第二次高考。自2005年起，浙江專(zhuān)升本開(kāi)始由浙江考試院獨(dú)立組織考試，報(bào)考人數(shù)逐年增多，而省重點(diǎn)建設(shè)高校卻逐年減少招生計(jì)劃以至停止招生，本科公辦院校招生計(jì)劃也在減少;與此同時(shí)，本科獨(dú)立院校、民辦院校招生計(jì)劃逐年增加，專(zhuān)升本學(xué)生想進(jìn)入一個(gè)好的本科院校難度越來(lái)越大。對(duì)于學(xué)習(xí)理工、經(jīng)管、農(nóng)學(xué)、醫(yī)學(xué)大類(lèi)的學(xué)生，高等數(shù)學(xué)則是必考科目。在專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)試卷中微分中值定理通常作為壓軸題出現(xiàn)在最后一題。筆者通過(guò)對(duì)2005—2019年的浙江省高等數(shù)學(xué)試卷中的微分中值定理部分進(jìn)行分析研究、歸納整理，希望對(duì)于浙江專(zhuān)升本的學(xué)生有所幫助。

微分中值定理是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具之一，包括費(fèi)馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理[1]。關(guān)于微分中值定理的應(yīng)用有一些學(xué)者進(jìn)行過(guò)研究[2-3]，下面該文將通過(guò)真題實(shí)例給出微分中值定理在解決專(zhuān)升本數(shù)學(xué)綜合題中的應(yīng)用。

1? 證明方程根的存在性

這類(lèi)題目通常讓證明“至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f'（ξ）+g（ξ）=0成立”，一般運(yùn)用羅爾中值定理去證明。證明方程根的存在性，核心環(huán)節(jié)是根據(jù)結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，下面是證明這類(lèi)問(wèn)題的步驟。

（1）從題目中“使得”后面的式子入手，將后面式子化為f'（ξ）+g（ξ）=0這種方程形式，等號(hào)的左邊式子即為需要構(gòu)造新函數(shù)導(dǎo)數(shù)在ξ處的值，即F'（ξ），把ξ換成得到F'，通過(guò)F'找其原函數(shù)，即為構(gòu)造的函數(shù)。

（2）題目中一般給出“在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ”，找出相應(yīng)區(qū)間[a，b]。

（3）驗(yàn)證滿足羅爾中值定理的條件，即在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)、可導(dǎo)以及端點(diǎn)處相等3個(gè)條件。

例1（2005年浙江專(zhuān)升本綜合題.2）已知函數(shù)，其中常數(shù)a、b、c、d滿足a+b+c+d=0，證明函數(shù)在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根。

分析：要證明在內(nèi)至少有一個(gè)根，首先會(huì)想到用零點(diǎn)定理，但將兩個(gè)端點(diǎn)0和1帶入并不能得到異號(hào)的兩個(gè)值，零點(diǎn)定理不可用。看作某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用拉格朗日中值定理，構(gòu)造的原函數(shù)，將兩端點(diǎn)0和1帶入值相等，可行。

證明：令。在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，又因?yàn)镕（0）=F（1）=0。由羅爾中值定理可知，存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，即f（ξ）=4aξ3+3bξ2+2cξ+d=0，證畢。

例2（2011年浙江專(zhuān)升本綜合題.3）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0，f（1）=2，證明：在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'（ξ）=2ξ+1成立。

分析：要證明f'（ξ）-2ξ-1=0在（0，1）上有根，因此構(gòu)造此函數(shù)的原函數(shù)為輔助函數(shù)。

證明：令。在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，因?yàn)镕（0）=f（0）-0-0=0，F(xiàn)（1）=f（1）-1-1=0，所以F（0）=F（1），所以由羅爾中值定理可知存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，又因?yàn)?，所以存在ξ∈?，1）使f'（ξ）=2ξ+1，證畢。

例3（2017年浙江專(zhuān)升本綜合題.27）設(shè)函數(shù)在[0，1]上可導(dǎo)，且f（1）=0，證明：存在ξ∈（0，1），使得ξf'（ξ）+f（ξ）=0。

分析：要證明ξf'（ξ）+f（ξ）=0在（0，1）上有根，因此構(gòu)造此函數(shù)的原函數(shù)為輔助函數(shù)。

證明：令，因?yàn)樵赱0，1]上可導(dǎo)，所以在[0，1]上可導(dǎo)且連續(xù)，又因?yàn)镕（1）=f（1）=0，F(xiàn)（0）=0，即F（0）=F（1），所以以由羅爾中值定理可知存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，，所以存在ξ∈（0，1），使得ξf'（ξ）+f（ξ）=0，證畢。

結(jié)論：通過(guò)以上3道專(zhuān)升本真題，可以看出羅爾中值定理適用于證明導(dǎo)函數(shù)某點(diǎn)值為0的問(wèn)題或者方程至少有根的問(wèn)題。一般需要構(gòu)造新的函數(shù)，而構(gòu)造出來(lái)新的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于結(jié)論等于0部分的函數(shù)，證明這類(lèi)問(wèn)題證明過(guò)程結(jié)構(gòu)相似。

2? 證明不等式

證明不等式是浙江專(zhuān)升本考試中一個(gè)重要的考試題型，可以利用輔助函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖像的凹凸性以及微分中值定理來(lái)證明不等式。筆者通過(guò)對(duì)浙江專(zhuān)升本的真題研究，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)不等式的證明需要運(yùn)用拉格朗日中值定理，下面是證明這類(lèi)問(wèn)題的步驟。

（1）對(duì)不等式的式子進(jìn)行變形，得出與拉格朗日中值定理形式一致的式子，式子分子為函數(shù)在兩端點(diǎn)處的函數(shù)值的差，分母為端點(diǎn)處的差，以區(qū)間[a，b]上的不等式為例，尋找對(duì)應(yīng)函數(shù)，分子為，分母為b-a。

（2）在題目中找出拉格朗日中值定理需要的條件，連續(xù)及可導(dǎo)。

（3）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出f';

（4）根據(jù)a<ξ

例4（2006年浙江專(zhuān)升本 綜合題.1）設(shè)0

分析：不等式給出的區(qū)間[a，b]，根據(jù)不等式中間部分特點(diǎn)，需引入函數(shù)，后面根據(jù)拉格朗日中值定理便可證明不等式關(guān)系。

證明：設(shè)，n≥2，則在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可得，存在ξ∈（a，b）使得，即。因?yàn)閍<ξ

例5（2009年浙江專(zhuān)升本 綜合題.2）設(shè)函數(shù)在[0，1]上可導(dǎo)，且f（0）=0，f（1）=1，且不恒等于，求證：存在ξ∈（0，1），使得f'（ξ）>1。

分析：給定區(qū)[0，1]間，由于，并且不恒等于，用拉格朗日中值定理便可證明此題。

證明：由不恒等于，故存在∈（0，1）使得。若，由拉格朗日中值定理，存在使得，若，由拉格朗日中值定理，存在使得，證畢。

例6（2012年浙江專(zhuān)升本綜合題.25）設(shè)a﹥b﹥e，證明：ab﹤ba。

分析：給定區(qū)間[a，b]，不等式兩邊作用對(duì)數(shù)blna﹤alnb，不等式兩邊除以ab，有，因此可以構(gòu)造函數(shù)，然后在[b，a]上運(yùn)用拉格朗日中值定理。

證明：設(shè)，∈（a，b），函數(shù)在[b，a]上連續(xù)，在（b，a）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（b，a）使得，所以，又因?yàn)閑﹤b﹤ξ﹤a，所以1-1nξ﹤0，所以blna-alnb﹤0，即blna﹤alnb，所以ab﹤ba，證畢。

結(jié)論：對(duì)于浙江專(zhuān)升本考試，在綜合題中如果不等式的式子涉及端點(diǎn)的值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，大多數(shù)是根據(jù)拉格朗日中值定理去證明不等式，這里構(gòu)造函數(shù)是重點(diǎn)和難點(diǎn)，如果不能簡(jiǎn)單的從不等式中看出，則需對(duì)不等式進(jìn)行變形變換，進(jìn)而找出。

3? 涉及高階導(dǎo)數(shù)的證明

對(duì)于浙江專(zhuān)升本考試，在綜合題的證明中，如果涉及二階及二階以上導(dǎo)數(shù)的求解證明題，一般考慮采用泰勒中值定理。浙江專(zhuān)升本考試大綱中要求“理解泰勒（Taylor）中值定理”，因此涉及這方面知識(shí)點(diǎn)的題目相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單，但要求考生能夠?qū)懗鎏├罩兄刀ɡ淼恼归_(kāi)形式公式，進(jìn)而帶入公式寫(xiě)出相應(yīng)函數(shù)。

例7（2014年浙江專(zhuān)升本 綜合題.25）設(shè)，且證明：。

分析：題目條件給出函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)大于0，并且所要證明的是，考慮對(duì)進(jìn)行泰勒展開(kāi)出現(xiàn)f（0），…，進(jìn)而比較兩者大小。

證明：因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)存在，所以連續(xù)且有一階導(dǎo)數(shù)，又因?yàn)?，所以f（0）=0，由泰勒中值定理，得，，又因?yàn)?，所以，證畢。

例8（2019年浙江專(zhuān)升本綜合題.25）設(shè)在[-1，1]上具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f（0）=0，寫(xiě)出的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式。

分析：此題要寫(xiě)帶拉格朗日余項(xiàng)就是利用泰勒中值定理寫(xiě)出相應(yīng)公式，要求寫(xiě)一階麥克勞林公式，則余項(xiàng)為帶ξ的二階導(dǎo)數(shù)。

解：由的泰勒中值定理，可得：

，

4? 結(jié)語(yǔ)

在浙江專(zhuān)升本考試中，微分中值定理一般是作為壓軸題出現(xiàn)在試卷的第四道大題即綜合題里面，這一直是考試的重點(diǎn)與難點(diǎn)。通過(guò)統(tǒng)計(jì)我們發(fā)現(xiàn)，考試中最多、最常見(jiàn)的題型為方程根存在性的證明與不等式的證明，只要讓學(xué)生多練習(xí)、多總結(jié)、多找其中的規(guī)律，就能夠解決這類(lèi)問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 孫學(xué)敏.微分中值定理的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009，28（10）：61-63.

[3] 高遵海，吳黨松.多個(gè)函數(shù)的微分中值定理[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，15（1）：33-35.