王本鋒,陳小宏,耿建華

(1.同濟(jì)大學(xué)海洋地質(zhì)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,海洋與地球科學(xué)學(xué)院,高等研究院,上海200092;2.中國(guó)石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京102249)

因障礙物、禁采區(qū)及海洋拖纜羽狀漂移等各種因素的影響,采集的地震數(shù)據(jù)沿空間方向不規(guī)則,該不規(guī)則性會(huì)影響自由表面多次波去除、AVO分析、反演及偏移等處理結(jié)果的精度,因此有必要對(duì)采集到的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行插值重建[1]。插值重建方法可以大致歸納為4類[2-4]:基于稀疏變換的插值重建方法[5];基于預(yù)測(cè)濾波的插值重建方法[6];基于波動(dòng)方程的插值方法[7]和基于降秩的插值方法[8-10]。

隨著壓縮感知理論的問(wèn)世[11],基于稀疏變換的插值重建方法,特別是基于稀疏Curvelet變換的插值方法得到廣泛關(guān)注[12-13]。高精度的凸集投影(POCS)方法[2-3,14-15]是基于稀疏變換的重要插值方法之一,該方法常用于圖像重構(gòu)[16],1991年,MENKE[17]首次將其引入地球物理領(lǐng)域的插值重建方面。目前,國(guó)內(nèi)專家學(xué)者研究了基于壓縮感知策略的地震數(shù)據(jù)插值重建問(wèn)題[18-21]。大多數(shù)插值重建方法屬于迭代方法的范疇[12-13,22-23],因此建立一個(gè)合理的質(zhì)量控制準(zhǔn)則(QCC)成為高效地震數(shù)據(jù)插值重建的關(guān)鍵,質(zhì)量控制準(zhǔn)則可在保證插值精度的同時(shí),適時(shí)地結(jié)束迭代,達(dá)到提高插值重建計(jì)算效率的目的。GAO等[24]給出了兩種不同的質(zhì)量控制準(zhǔn)則來(lái)監(jiān)測(cè)插值迭代的收斂過(guò)程:第一種方法利用了完整的數(shù)據(jù)體,僅適用于插值重建理論方法研究;第二種方法利用了相鄰的迭代更新解,但容易陷入局部極值,影響插值重建的計(jì)算精度[25]。

本文基于迭代硬閾值方法及投影算子推導(dǎo)了精確高效POCS方法,在此基礎(chǔ)上,提出了一種新的質(zhì)量控制準(zhǔn)則,該質(zhì)量控制準(zhǔn)則僅利用了觀測(cè)數(shù)據(jù)的信息,具有更好的適應(yīng)性。基于稀疏Curvelet變換及POCS插值重建方法,利用兩套模擬數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該質(zhì)量控制準(zhǔn)則的有效性及計(jì)算的高效性。

1 方法原理

1.1 POCS插值方法

空間方向不規(guī)則的觀測(cè)地震數(shù)據(jù)dobs可以近似表征為:

(1)

式中:R為對(duì)角型采樣算子;d0為需重建的完整數(shù)據(jù)體。由于受到觀測(cè)地震數(shù)據(jù)頻帶有限及數(shù)據(jù)缺失等因素的影響,方程(1)的求解是不適定的,因此基于壓縮感知理論,利用稀疏變換及稀疏約束構(gòu)建目標(biāo)泛函為:

(2)

式中:x為Curvelet系數(shù)向量;CT為Curvelet逆變換(C為Curvelet變換);λ為正則化因子,用于權(quán)衡Curvelet系數(shù)稀疏性與擬合殘差。方程(2)可以由迭代硬閾值方法進(jìn)行迭代求解[26-27]:

(3)

式中:xk為Curvelet域內(nèi)第k次的更新解;Tλk為硬閾值函數(shù);λk為閾值[3]。地震數(shù)據(jù)插值重建的目的是得到數(shù)據(jù)域重建結(jié)果,因此將變換域的更新結(jié)果轉(zhuǎn)換到數(shù)據(jù)域得:

(4)

插值迭代收斂之前,在觀測(cè)位置處dk+1的值偏離觀測(cè)數(shù)據(jù)dobs,為了提高插值重建的效率,將dk+1投影到觀測(cè)平面{d|dobs=Rd}上,得:

(5)

(6)

實(shí)際上POCS插值方法是一個(gè)兩步法:稀疏變換域內(nèi)更新解以及數(shù)據(jù)域內(nèi)置入觀測(cè)數(shù)據(jù)。該方法具有較高的插值重建精度及計(jì)算效率。

1.2 新型質(zhì)量控制準(zhǔn)則

由于POCS插值方法是一種迭代方法,有必要建立一個(gè)合理的質(zhì)量控制準(zhǔn)則來(lái)適時(shí)地終止迭代,進(jìn)而提高插值重建的計(jì)算效率。GAO等[24]給出了兩種質(zhì)量控制準(zhǔn)則:

(9)

圖1 地震數(shù)據(jù)位置集合分解示意

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

首先,利用兩套模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文提出的質(zhì)量控制準(zhǔn)則的可行性及有效性;其次,利用一套實(shí)際資料進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的質(zhì)量控制準(zhǔn)則能夠在保持插值精度的同時(shí),提高插值計(jì)算效率的有效性。

2.1 模擬算例

圖2a為層狀介質(zhì)模型對(duì)應(yīng)的模擬數(shù)據(jù)體(模擬數(shù)據(jù)1),包含201道,每道1001個(gè)采樣點(diǎn),空間采樣率與時(shí)間采樣率分別為12.5m和2ms。圖2b為利用改進(jìn)的Jittered欠采樣方法進(jìn)行50%地震道缺失得到的不規(guī)則采樣數(shù)據(jù)。采用基于稀疏Curvelet變換的POCS插值方法進(jìn)行插值重建,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),最大迭代次數(shù)設(shè)置為50次,利用不同的質(zhì)量控制準(zhǔn)則J1,J2,J3,并進(jìn)行歸一化,得到的收斂曲線如圖3所示。J1為理論的質(zhì)量控制準(zhǔn)則,可以作為參考解,合理且逐漸下降至收斂,其收斂性可以保證插值方法具有較高的精度。J2為利用相鄰迭代更新解定義的質(zhì)量控制準(zhǔn)則,較大地偏離參考解,可能使插值迭代陷入局部極小值,進(jìn)而影響插值重建結(jié)果的精度。然而,J3利用觀測(cè)位置Ω1處的信息定義質(zhì)量控制準(zhǔn)則,其與參考解J1具有較好的一致性,具有更廣的實(shí)際應(yīng)用前景。圖3驗(yàn)證了質(zhì)量控制準(zhǔn)則J3的可行性與有效性,即當(dāng)J3滿足預(yù)先設(shè)定的允許誤差時(shí),插值迭代可以適時(shí)地終止,在保證插值精度的同時(shí)提高插值計(jì)算效率。

圖4a為利用基于稀疏Curvelet變換的POCS插值重建方法得到的插值結(jié)果,可以看出,其與原始數(shù)據(jù)具有較高的一致性。圖4b為插值結(jié)果與原始數(shù)據(jù)之間的重構(gòu)誤差,可見(jiàn),圖上除了有微弱的邊界效應(yīng)外,殘差較小。該邊界效應(yīng)是由邊界處數(shù)據(jù)的不規(guī)則性產(chǎn)生,可以通過(guò)擴(kuò)邊的方式降低這種邊界效應(yīng),但會(huì)增加計(jì)算量,具體量化分析留待后續(xù)研究。圖3和圖4驗(yàn)證了基于稀疏變換的POCS插值方法的有效性,且提出的質(zhì)量控制準(zhǔn)則與參考值的一致性較好。

圖2 完整數(shù)據(jù)體(a)與不規(guī)則采樣數(shù)據(jù)體(b)

圖3 不同質(zhì)量控制準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的歸一化收斂曲線(模擬數(shù)據(jù)1)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的質(zhì)量控制準(zhǔn)則的有效性,將其應(yīng)用于含有干涉及弱反射的模擬數(shù)據(jù)(模擬數(shù)據(jù)2)中,圖5a和圖5b分別為完整數(shù)據(jù)體及不規(guī)則采樣數(shù)據(jù)體,其中圖5b缺失40%數(shù)據(jù)。利用不同的質(zhì)量控制準(zhǔn)則得到的歸一化收斂曲線如圖6所示,其中最大迭代次數(shù)為50次。圖6與圖3相似,均顯示出本文提出的質(zhì)量控制準(zhǔn)則J3與理論解J1具有較好的一致性,但J2與理論解J1差別較大。圖6進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出的質(zhì)量控制準(zhǔn)則J3的可行性與有效性,其與理論值J1具有較好的一致性,同時(shí)也指出了J2的缺點(diǎn)。插值重建結(jié)果如圖7a所示,其與原始完整數(shù)據(jù)體具有較好的一致性,且殘差較小,可以忽略不計(jì)(圖7b),插值重建結(jié)果與插值殘差驗(yàn)證了基于稀疏變換的POCS插值方法的有效性。

上述兩個(gè)模擬算例驗(yàn)證了本文提出的質(zhì)量控制準(zhǔn)則J3的有效性與可行性,其與理論值J1具有較好的一致性,但又與J1不同,J3僅利用了觀測(cè)數(shù)據(jù)的信息,在實(shí)際數(shù)據(jù)插值重建中具有更好的靈活性,應(yīng)用范圍更廣泛,在保證插值重建精度的同時(shí),提高了插值重建計(jì)算效率。

2.2 實(shí)際數(shù)據(jù)算例

對(duì)不規(guī)則實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行插值重建,理論質(zhì)量控制準(zhǔn)則J1不適用,因?yàn)镴1利用了完整數(shù)據(jù)體的信息,但是本文提出的質(zhì)量控制準(zhǔn)則J3是一個(gè)較好的選擇,而且與J1具有相似的性態(tài)。對(duì)于不規(guī)則缺失實(shí)際數(shù)據(jù)插值重建,下面僅比較質(zhì)量控制準(zhǔn)則J2和J3的應(yīng)用效果,進(jìn)一步驗(yàn)證質(zhì)量控制準(zhǔn)則J3的優(yōu)勢(shì)。

圖8a為利用改進(jìn)的Jittered欠采樣方法得到的不規(guī)則實(shí)際數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)的不規(guī)則性會(huì)影響自由表面多次波去除、偏移與反演的精度。為了插值重建完整的數(shù)據(jù)體,利用基于稀疏Curvelet變換的POCS插值方法得到的重構(gòu)數(shù)據(jù)體如圖8b所示,數(shù)據(jù)插值中最大迭代次數(shù)為50。

圖4 插值重建結(jié)果(a)與重建誤差(b)

圖5 完整數(shù)據(jù)體(a)與40%缺失不規(guī)則采樣數(shù)據(jù)體(b)

圖6 不同質(zhì)量控制準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的歸一化收斂曲線(模擬數(shù)據(jù)2)

由圖8b可看出,插值重建后地震數(shù)據(jù)的橫向連續(xù)性得到提高,該重建的地震數(shù)據(jù)可以作為后續(xù)地震數(shù)據(jù)處理的完整數(shù)據(jù)體。質(zhì)量控制準(zhǔn)則J2和J3對(duì)應(yīng)的歸一化收斂曲線如圖8c所示,可以看出,J3對(duì)應(yīng)的收斂曲線緩慢下降,具有一定的合理性,然而J2可能會(huì)使插值迭代陷入局部極值。為了利用J3進(jìn)一步提高插值重建的計(jì)算效率,當(dāng)滿足預(yù)先設(shè)定的容許殘差(J3<0.005)時(shí),插值迭代被適時(shí)終止,插值結(jié)果如圖8d所示。此時(shí),迭代次數(shù)為30次(如圖8c中縱向虛線所示),可以看出,相對(duì)50次迭代而言,計(jì)算效率提高了40%,但沒(méi)有明顯的降低插值重建精度。實(shí)際上,圖8b與圖8d具有較好的一致性,從而驗(yàn)證了本文提出的新型質(zhì)量控制準(zhǔn)則J3的有效性,在保證插值重建精度的同時(shí),可以有效地提高插值重建的計(jì)算效率。從圖8b和8d中還可以看出,插值結(jié)果中有方向各異的微弱假象,該假象由稀疏變換域系數(shù)截?cái)嘁?因此需研究更多的插值重建策略,進(jìn)一步衰減假象、提高插值重建的精度。

圖7 插值結(jié)果(a)與插值誤差(b)

圖8 實(shí)際數(shù)據(jù)插值重建結(jié)果a 不規(guī)則實(shí)際數(shù)據(jù); b 迭代50次后插值重建結(jié)果; c 質(zhì)量控制準(zhǔn)則J2和J3對(duì)應(yīng)的歸一化收斂曲線; d 當(dāng)J3<0.005時(shí)的插值重建結(jié)果

3 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

本文基于POCS插值重建方法推導(dǎo)過(guò)程,提出了一種新型質(zhì)量控制準(zhǔn)則J3來(lái)監(jiān)測(cè)插值重建過(guò)程,可以適時(shí)地終止插值迭代過(guò)程,在保證插值重建精度的同時(shí),進(jìn)一步提高插值重建的計(jì)算效率。闡述并對(duì)比分析了不同類型的質(zhì)量控制準(zhǔn)則,提出的質(zhì)量控制準(zhǔn)則J3與理論值J1具有較好的一致性,而J3僅利用了觀測(cè)數(shù)據(jù)的信息,在實(shí)際地震數(shù)據(jù)插值重建監(jiān)測(cè)過(guò)程中具有更好的靈活性與適用性,應(yīng)用范圍更廣。模擬與實(shí)際數(shù)據(jù)處理驗(yàn)證了新型質(zhì)量控制準(zhǔn)則J3的有效性。