辛悅夷，李奇達

(1.東北大學信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110819；2.東北大學流程工業(yè)綜合自動化國家重點實驗室，遼寧 沈陽 110819)

0 引言

隨著現代工業(yè)的不斷發(fā)展，工廠中的控制回路越來越多。一個控制系統由許多回路組成。這些控制回路數量龐大，而且在運行一段時間后，由于運行過程中操作條件的改變、過程的非線性和機器設備故障等原因，會使得控制系統性能下降。因此，對控制系統進行性能評價，并對控制器進行優(yōu)化非常必要。

單輸入單輸出(single in single out,SISO)回路則是系統中典型的控制回路。Harris提出的最小方差算法能夠估計回路的最小方差基準值[1]。該方法只需知道控制系統的運行數據和被控過程的時延知識，不要求掌握控制過程的模型，因此在工業(yè)上得到了廣泛的應用。同時，利用極點配置技術來矯正線性系統的動態(tài)響應特性，是現代控制領域研究較多的問題之一。開環(huán)周期系統能夠用一組合適的狀態(tài)反饋，實現閉環(huán)單值性矩陣特征值的任意配置。本設計討論了具有時變狀態(tài)或者輸入維數的線性離散周期系統的極點配置問題，并利用存在于狀態(tài)反饋增益?zhèn)€數中的自由度，實現了魯棒極點配置。利用狀態(tài)觀測器，將所測量到的輸出量和控制量重構出全部狀態(tài)。本設計中采用預報觀測器，利用輸入量及模型參數進行預報。觀測器的極點配置使狀態(tài)重構具有較快的跟蹤速度。利用Ackermann公式計算出狀態(tài)反饋控制規(guī)律L和觀測器增益矩陣K。采用Z變換，計算出狀態(tài)觀測器模型，從而完成系統設計。

1 控制系統性能評價

1.1 控制系統性能評價步驟

對控制系統進行性能評價，可以分為以下步驟[2]。

①采用相關性分析法得出系統時延d。

將最小方差估計值與輸出方差實際值相除，獲得系統的性能評價指標。

1.2 單輸入單輸出控制系統最小方差準則

SISO控制系統框圖[3]如圖1所示。

圖1 SISO控制系統框圖

由圖1可知，系統輸出為：

(1)

將擾動傳遞函數采用丟番圖方程展開，此時系統輸出可改寫為：

Fat+Lat-d

(2)

由于白噪聲是相互獨立的，所以對等式兩邊同時取方差；可以看出，當且僅當L=0時，系統的輸出方差達到最小值Var(Yt)=Yar(Fat)。此時，可得單回路最小方差控制規(guī)律為：

(3)

此時，系統輸出為Yt=Fat。由于F與控制器的傳遞函數Q無關，因此Fat不隨控制器參數的變化而變化，也就是最小方差控制下單變量控制系統的輸出。根據最小方差控制性能評價思想，定義經典的Harris性能指標為：

(4)

(5)

1.3 SISO控制系統性能評價算法研究

由圖1可得輸出表示式為：

(6)

可將等式右邊第二項表示為一個階次為m的自回歸模型，則式(6)可表示為：

Yt=Fat+φ1Yt-d+φ2Yt-d-1+…+φmYt-d-m+1=

(7)

記錄下系統的閉環(huán)輸出數據，并將其表示為矩陣形式：

Y=Fat+XΦ

(8)

其中：

Φ=[φ1φ2…φm]T

由最小二乘法，可得參數估計值為：

(9)

則系統的最小方差估計值可表示為：

(10)

系統的輸出方差實際值為：

(11)

則系統的性能評估指標[4]為：

(12)

2 直流電機的物理模型、參數及設計要求

2.1 物理模型

本設計的被控對象所采用的是直流電機，實現閉環(huán)調速控制器的設計。其物理模型[5]如圖2所示。

圖2 直流電機物理模型

雙閉環(huán)控制電流調速系統的特點是電機的轉速和電流分別由兩個獨立的調節(jié)器控制，且轉速調節(jié)器的輸出就是電流調節(jié)器的給定。因此電流環(huán)能夠隨轉速的偏差調節(jié)電機電樞的電流。當轉速低于給定轉速時，轉速調節(jié)器的積分作用使輸出增加，即電流給定上升，并通過電流環(huán)調節(jié)使電機電流增大，從而使電機獲得加速轉矩，電機轉速上升。當實際轉速高于給定轉速時，轉速調節(jié)器的輸出減小，即給定電流減小，并通過電流環(huán)調節(jié)使電機電流下降，電機因為電磁轉矩減小而減速。當轉速調節(jié)器飽和輸出達到限幅值時，電流環(huán)以最大電流限制實現電機的加速，使電機的啟動時間最短。

調速系統原理框圖[6]如圖3所示。

圖3 調速系統原理框圖

2.2 電機參數

電機參數如下。

①電機型號：DJ15。

②額定參數：PN=185 W,UN=220 V,IN=1.2 A,n=1 500 rad/min,λ=1。

③電樞電阻R=25.714 3 Ω，電樞電感L=0.734 7 s。

④電機飛輪慣量：GD2=0.10 N/m2。

⑤電樞回路電磁時間常數TL=0.032 8 s，系統的機電時間常數Tm=0.08 s，電動機電勢時間常數Ce=0.114 7 s，轉矩常數Cm=1.095 3 N·m/A。

⑥電流反饋系數：β=4.615 V/A。

⑦轉速反饋系數：α=0.04 V/(r/min)。

2.3 設計要求

設計控制器，使得系統的單位階躍響應性能指標為：

①調節(jié)時間小于0.2 s；

②系統超調量小于2%；

③無穩(wěn)態(tài)誤差。

3 直流電機模型建立及特性測試

直流電機轉矩和電樞電流的關系為：Tr=Cmi。電樞旋轉產生反電動勢e與旋轉運動角速度ω的關系為：e=Kεω=Cen。根據牛頓第二定律，可得運動平衡方程式[7]為：

(13)

式中：b為電機摩擦系數，此處忽略不計。

根據回路電壓法，電機電樞回路方程式為：

(14)

(15)

式中：m為一個旋轉體上的一個質點的質量，為質量G和重力加速度g之比；R和D分別為旋轉體的半徑和直徑。

電機電樞回路電壓平衡和電機運動平衡的一組微分方程式[8]為：

(16)

(17)

設系統的狀態(tài)變量為x1=i,x2=n。以輸入電壓u為輸入、轉速n為輸出，可得狀態(tài)空間表達式為：

(18)

代入系統參數，可得：

當設置給定電壓是220 V時，系統階躍響應曲線如圖4所示。

圖4 系統階躍響應曲線

由圖4可以得出：最大峰值轉速為2 012 rad/min，穩(wěn)態(tài)值為1 920 rad/min，所以原系統的超調量為4.79，調節(jié)時間Ts=0.237 s。

對系統進行能控性判斷與能觀測性判斷：

由此可知，系統是完全能控能觀測的。因此，求出原系統在空載的情況下超調量為4.96%，調節(jié)時間(2%的誤差帶)Ts=0.228 6 s，系統的穩(wěn)態(tài)誤差Ess為0.1%。

從以上數據計算結果可得，系統并不滿足設計指標。所以，有必要設計一個狀態(tài)觀測器來修正原系統，使新系統指標達到所要求的設計指標。

4 基于狀態(tài)空間模型的直流電機控制器的設計

4.1 期望配置極點的確定與狀態(tài)觀測器的設計

根據上述設計指標要求，選擇調節(jié)時間(2%的誤

x1,2=-22.45±18.074

z1,2=-0.035 25±j0.146 92

4.2 建立離散的狀態(tài)空間模型

使用MATLAB語言，將連續(xù)狀態(tài)空間模型轉化為離散的狀態(tài)空間模型。使用[F G] =c2d(A,B,0.1)命令，可得：

由z1,2求出αc(z)=z2+0.049 4z+0.011 11，分別利用如下公式求出反饋控制率矩陣L、狀態(tài)觀測器反饋增益矩陣K、前饋增益矩陣Lr：

L=[0 … 1] [GFG…Fn-1G]-1αc(F)

(19)

(20)

(21)

將以上各式代入控制器的模型表達式中：

同時，利用Z變換求出x1(z),x2(z)，結果分別為：

x1(z)=[-0.001 4x2(z)+0.012 5uz)-0.000 3(y(z)-

x2(z)=[37.698x1(z)+7.707 4u(z)-0.089 1(y(z)-

u(z)=0.538 3x1(z)-0.006 0u(z)+0.108 7r(z)

根據上述參量之間的關系，建立Simulink仿真框圖，整理成傳遞函數的形式，如圖5所示。

圖5 傳遞函數形式的仿真框圖

當給定階躍信號為1、H(1)=1及加上增益時系統階躍響應曲線如圖6所示。

圖6 系統階躍響應曲線

由圖6可得出：最大峰值轉速為1 955 rad/min，額定轉速為1 918 rad/min，所以超調量為1.93%，滿足設計要求。系統到穩(wěn)態(tài)值的時間為0.31 s，所以調節(jié)時間滿足設計要求。穩(wěn)態(tài)轉速為1 918.16 rad/min，額定轉速為1 918 rad/min，所以穩(wěn)態(tài)誤差Ess<0.01%，滿足設計要求。

由以上分析可知：三項指標均滿足設計要求，說明極點配置合理。與原系統相比，新系統的超調量更小，響應時間更快，系統穩(wěn)定性更好。

5 基于傳遞函數的電動機控制器設計

5.1 設計原理

基于傳遞函數模型設計控制器。采用傳遞函數的多項式計算來代替狀態(tài)空間模型的矩陣形式計算。在上述討論中，采用的方法是前饋與反饋相結合的跟蹤系統控制結構[9]。首先，根據被控對象的狀態(tài)空間模型，采用極點配置的方法分別設計觀測器和控制規(guī)律[10]。然后，根據分離性原理，組成控制器。最后，將其寫成傳遞函數的形式，得到由前饋控制器和反饋控制器組成的復合控制器。

5.2 計算R(z)和S(z)

5.3 建立極點配置復合控制器模型

極點配置復合控制器模型如圖7所示。

圖7 極點配置復合控制器模型

當給定信號為220、H(1)=8.718時，仿真結果如圖8所示。

圖8 系統階躍響應曲線

5.4 分析

根據上述討論的結果仿真分析得知，前饋控制器與反饋控制器建立的模型和基于狀態(tài)空間模型設計得到的結果基本相同。這就說明基于傳遞函數模型和基于狀態(tài)空間模型設計得到的控制器具有一致性。

6 結束語

本文首先對控制系統進行性能評價，通過時間序列分析技術找出反饋不變項，作為性能評價的基準值，從而得出性能評價指標。本設計中采用兩種方法對直流電動機的模型進行設計閉環(huán)調速系統控制器，分別為基于狀態(tài)空間模型極點配置的控制器設計和基于傳遞函數模型的復合控制器的設計。通過MATLAB仿真并對兩種設計方法進行比較，可知在控制性能上兩種方案能夠達到完全一致的效果，滿足設計要求。隨著現代工業(yè)的不斷發(fā)展，工廠中的控制回路越來越多。在實際的工業(yè)過程中，工況會隨著時間的推移而發(fā)生變化，此時，原控制器已無法滿足當前系統的控制要求，會使得系統的控制性能大幅度下降，不僅導致產品質量隨之下降，還可能造成安全事故。因此，對控制系統進行性能評估與優(yōu)化的研究具有非常重要的意義。