王 博， 張春麗,2， 祝彥知

(1.鄭州大學 水利與環(huán)境學院，河南 鄭州 450001； 2.中原工學院 信息商務學院，河南 鄭州 450007； 3.中原工學院 建筑工程學院，河南 鄭州 450007)

0 引言

在實際工程中，移動荷載并非直接作用在地基表面，而是通過路面將荷載分布到地基表面．路基路面動力學問題一直受到國內(nèi)外學者的關注,文獻[1-3]用解析法、文獻[4-5]利用半解析方法、文獻[6]利用模型試驗與數(shù)值仿真方法、文獻[7]利用有限元軟件研究了路基路面動力響應問題．文獻[8]通過現(xiàn)場測試揭示了行車荷載下瀝青路面和地基的動力影響規(guī)律．文獻[9]研究了橫觀各向同性地基上無限板的穩(wěn)態(tài)振動，并用數(shù)值結(jié)果表明，采用各向同性介質(zhì)的動力學模型，不能準確描述具有明顯各向異性特性地基的動力性能，需要建立更符合實際情況的各向異性地基模型來研究移動荷載作用下路基路面的動力響應．文獻[10-12]研究了正交各向異性地基及覆無限大板的平面應變問題的動力響應．對移動荷載作用下地基板的動力響應問題，目前研究工作主要集中在對各向同性或橫觀各向同性地基的動力研究，以及正交各向異性地基平面應變問題研究，但動荷載作用下正交各向異性無限大板的空間動力響應鮮見報道．

筆者建立正交各向異性彈性地基上覆無限大彈性板的路基路面三維空間力學模型，研究在車輛荷載作用下板和地基的動力響應．對移動矩形諧振荷載作用下公路路面板動力穩(wěn)態(tài)問題進行了算例分析，研究了土體參數(shù)對板位移的影響規(guī)律．

1 直角坐標系下的振動方程

1.1 力學模型

車輛移動荷載函數(shù)一般能通過傅里葉級數(shù)展開為若干個簡諧荷載之和.筆者把車輛荷載簡化為勻速移動均布矩形簡諧荷載，用Kirchhoff小變形無限大彈性薄板來模擬路面，用彈性半空間來模擬路面以下的土體．

假設薄板受橫向荷載q(x1,y1,t)=

以速度c沿x1軸正向移動，則在板底必有地基反力p(x1,y1,t)，根據(jù)作用力與反作用力定律，在地基表面同樣有作用力p(x1,y1,t)，且方向相反，如圖1所示．

1.2 坐標變換

圖1 半空間上覆無限大彈性板的力學模型Fig.1 Mechanics model of elastic plate on half space

(1)

各變量在移動坐標系下可以表述為：

Ψ(x1-ct,y1,z1,t)=Ψ(x,y,z)eiωt;

(2a)

(2b)

(2c)

1.3 基本方程

筆者僅分析穩(wěn)態(tài)動力響應問題，彈性地基上彈性地基板在動力荷載作用下的運動微分方程:

(3)

對于正交各向異性彈性地基上作用動荷載的空間問題，有方程:

(4)

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

(5e)

(5f)

式中：ux、uy、uz分別表示沿移動坐標系x、y、z方向的位移；σx、σy、σz、τyz、τzx、τxy為土體應力分量；c11、c12、c13、c22、c23、c33、c44、c55、c66為正交各向異性地基的9個相互獨立的彈性常數(shù)．

2 振動方程的求解

2.1 邊界條件

彈性地基半空間表面邊界條件為：

(6a)

(6b)

對于簡諧荷載，所有分量均有因子eiωt，因此為了書寫方便，在求解時先略去因子eiωt．當板置于地基上并與之共同工作時，板底面與地基表面的垂直位移相同，同時板與地基光滑接觸[13],則有應力和變形協(xié)調(diào)邊界條件：

σz(x,y,0,t)=-p(x,y)；

(6c)

τzx(x,y,0,t)=0；

(6d)

τyz(x,y,0,t)=0；

(6e)

uz(x,y,0,t)=w(x,y,t).

(6f)

2.2 求解方程

對坐標x、y的Fourier變換定義如下：

(7a)

相應的逆變換為：

(7b)

式中：ξ、η為Fourier變換參數(shù)．

對板的動力方程式(3)做關于x、y的Fourier變換，得到

(8)

式中：L=D(ξ2+η2)2+m(-c2ξ2+2ωcξ-ω2)．

對彈性半空間體的動力方程式(4)同樣做Fourier變換，并改寫成矩陣形式:

(9)

式中：A11=-c55；A22=-c44；A33=-c33；B13=-iξ(c13+c55)；B23=-iη(c23+c44)；D11=c11ξ2+c66η2+ρ(-c2ξ2+2ωξc-ω2)；D12=ξη(c12+c66)；D22=c66ξ2+c22η2+ρ(-c2ξ2+2ωξc-ω2)；D33=c55ξ2+c44η2+ρ(-c2ξ2+2ωξc-ω2)．

設方程(9)的解為：

(10)

把式(10)帶入方程(9)得特征方程：

a1λ6+a2λ4+a3λ2+a4=0，

(11)

特征方程(11)為復系數(shù)一元六次方程，其根為±λ1,±λ2,±λ3，(Re[λj]≥0,j=1,2,3)，可表示為:

(12a)

(12b)

(12c)

對于z≥0的正交各向異性半空間的動力分析問題，當z→∞時，ux、uy、uz均應趨于零,則矩陣方程(9)的解為：

(13a)

(13b)

(13c)

利用應力、應變和位移之間的關系，可以得到應力變量的表達式：

(13d)

(13e)

對邊界條件式(6c)～(6f)做關于x、y的Fourier變換,可以求得：

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)

將式(14a)～(14c)代入式(13d)～(13e)，并令線性方程組系數(shù)為：

(15)

則待定系數(shù)Fj(j=1、2、3)為:

(16)

式中：Δ=p3q2r1+p1q3r2+p2q1r3-p2q3r1-p3q1r2-p1q2r3．

將式(16)代入式(13c),得到地基的豎向位移為:

(q2r1-q1r2)e-λ3z].

(17)

將式(8)和式(17)帶入位移邊界條件(14d)，推出地基反力即接觸應力的大小為：

(18)

板撓度為：

(19)

對薄板作用的橫向荷載做關于x、y的Fourier變換，可以求得：

(20)

對式(13)、(18)、(19)、(20)施加關于x和y的Fourier逆變換，就可以得到移動諧振荷載作用下正交各向異性介質(zhì)在直角坐標系下響應的積分形式解．由于文章篇幅有限，僅給出板位移的積分表達式：

(21)

3 算例分析

算例模型如圖1所示，給出移動諧振荷載作用下某公路路面板位移影響數(shù)值結(jié)果．作用在板上的荷載半長度b=0.075 m，l=0.075 m，峰值q0=100 kPa，荷載頻率f=16 Hz，移動速度c=35 m/s．板彈性模量3.0×1010Pa，泊松比0.15，板厚0.25 m，密度2 400 kg/m3．土體彈性參數(shù)Ex=50 MPa，μxy=0.25，Gyz=20 MPa，Gzx=24 MPa，Gxy=15 MPa，ρ=1 815 kg/m3．引入描述土體正交各向異性參數(shù)之間的比例系數(shù)km(m=1、2、3、4)，令Ey=k1Ex，Ez=k2Ex，μxz=k3μxy，μyz=k4μxy．當km=1時，土體為各向同性．

μij本身變化不大，它對動力響應的影響可以忽略不計[13]，取k3=1.2，k4=1.6．彈性系數(shù)c11～c55和Ei、μij、Gij之間的關系見文獻[14]．

圖2和圖3分別為k2=0.8，僅改變k1時的板位移沿x方向的波形圖(y=0)和y方向的波形圖(x=0),圖4和圖5分別給出k1=1.2，僅改變k2時的板位移在x方向的波形圖(y=0)和在y方向的波形圖(x=0),其中km=1對應的圖形表示各向同性土體時的板變形．

圖2 不同土體Ey時板位移在x方向的波形(y=0)Fig.2 Plate deformation curves in the direction of x due to different Ey(y=0)

圖3 不同土體Ey時板位移在y方向的波形(x=0)Fig.3 Plate deformation curves in the direction of y due to different Ey(x=0)

圖4 不同土體Ez時板位移在x方向的波形(y=0)Fig.4 Plate deformation curves in the direction of x due to different Ez(y=0)

圖5 不同土體Ez時板位移在y方向的波形(x=0)Fig.5 Plate deformation curves in the direction of y due to different Ez(x=0)

從圖2～5可以看出,土體的各向異性對板沿x和y方向的位移都有較大影響.在x方向的波形中，負的最大位移均出現(xiàn)在荷載作用范圍外的左側(cè)，曲線不對稱；在y方向的波形中，板位移曲線關于y=0對稱.隨著k1即Ey的增加，板位移最大值略有增加，各向同性時的最小，k1=1.2和k1=2時的曲線在離荷載作用中心點約2 m范圍內(nèi)非常接近.隨著k2即Ez的增加，板位移的最大值卻明顯減小，各向同性時的值僅大于k2=2的值.離荷載中心點較遠處的板位移曲線有明顯的振動，但是振幅較小并趨于平緩，且在某些范圍內(nèi)有負值出現(xiàn)．如果板的變形過大，可以適當增加土體z向的彈性模量Ez，或者減小y向的彈性模量Ey．

4 結(jié)論

筆者研究了移動諧振荷載作用下正交各向異性地基上覆無限大板的空間動力響應問題，得到了動力響應的積分形式解．對移動諧振荷載作用下公路路面板動力穩(wěn)態(tài)問題進行了算例分析并進行了參數(shù)分析，研究了土體參數(shù)對板位移影響規(guī)律．數(shù)值分析結(jié)果表明：(1)考慮土體的正交各向異性更能準確描述路基路面相互作用的動力響應；(2)Ey對板變形影響很小，而Ez對板變形的影響卻很大，要綜合考慮各種因素設計合適的地基彈性模量．