孫佳佳， 張玉潔， 熊暢

(北京航空航天大學(xué) 物理科學(xué)與核能工程學(xué)院, 北京 100083)

底夸克偶素(bottomonium)是由正反底夸克(bottom)對(duì)組成的束縛態(tài)，ηb作為 S 波自旋單態(tài)的底夸克偶素，是能量最低的底夸克偶素。而對(duì)于底夸克偶素系統(tǒng)，由于底夸克質(zhì)量mb≈4.7 GeV遠(yuǎn)大于量子色動(dòng)力學(xué)(Quantum Chromodynamics，QCD)特征能標(biāo)，從而強(qiáng)耦合系數(shù)αs≈0.2，因此可以認(rèn)為底夸克對(duì)的湮滅過(guò)程可以用微擾量子色動(dòng)力學(xué)(Perturbative Quantum Chromodynamics,PQCD)來(lái)描述，另外在底夸克偶素質(zhì)心系中，底夸克的速度平方v2≈0.1，因此可以認(rèn)為底夸克對(duì)和底夸克偶素之間的強(qiáng)子化過(guò)程可以用非相對(duì)論量子色動(dòng)力學(xué)(Non-Relativistic Quantum Chromodynamics，NRQCD)[1]來(lái)描述。在NRQCD因子化方案中，重夸克偶素的產(chǎn)生和衰變可以展開(kāi)成長(zhǎng)程部分的矩陣元和短程部分的系數(shù)，長(zhǎng)程部分的矩陣元可以按照重夸克偶素質(zhì)心系中重夸克的速度平方v2來(lái)標(biāo)度，而短程部分的系數(shù)可以按照αs來(lái)標(biāo)度。由于底夸克偶素系統(tǒng)中αs≈0.2和v2≈0.1，所以在底夸克偶素衰變中按照αs和v2的雙重展開(kāi)中微擾展開(kāi)和相對(duì)論展開(kāi)收斂行為都比較好，高階修正會(huì)很小，理論上領(lǐng)頭階或者次領(lǐng)頭階的預(yù)言將會(huì)靠近真實(shí)的物理結(jié)果，從而ηb提供了良好的檢驗(yàn)PQCD和NRQCD的平臺(tái)。

1 ηb衰變到和色八重態(tài)機(jī)制

(1)

按速度標(biāo)度律，對(duì)于色八重態(tài)矩陣元有

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圖 的費(fèi)曼圖

圖的費(fèi)曼圖

(3)

(4)

(5)

從而可以得到分支比為

(6)

圖3 歸一化后相對(duì)的對(duì)于膠子能量的分布Fig.3 Distribution of gluon energy of normalized

本文討論了Υ和ηb到D介子的衰變。c夸克碎裂到D介子的幾率選擇為[12-13]

(7)

Br[Υ→γ*→D*±+X]=2f(c→D*+)×

(8)

大約70%的Br[Υ→D*±+X]來(lái)源于色單態(tài)的單光子衰變部分貢獻(xiàn)。即使將色單態(tài)三膠子衰變部分取為 0，本文也可從實(shí)驗(yàn)值得到色八重態(tài)部分貢獻(xiàn)的Br[Υ→D*±+X]大約是0.7%，而理論預(yù)言的色八重態(tài)的貢獻(xiàn)為

(9)

(10)

(11)

σ(e+e-→μ+μ-)=4πα2/(3s)

(12)

σ(e+e-→D+D*-)∝1/s4

(13)

σ(e+e-→D+D*-)∝1/s3

(14)

σ(e+e-→D+D*-)∝1/s3.5±0.5

(15)

文獻(xiàn)[8]中給出：

Br(Υ→γ*→μ+μ-)=(2.48±0.05)%

(16)

可得

(17)

還可通過(guò)碎裂函數(shù)另外估計(jì)遍舉分支比，參考文獻(xiàn)[12-13]給出了c→D的碎裂函數(shù)，幾率選擇文獻(xiàn)[12-13]中給出的：

(18)

碎裂函數(shù)選擇單參數(shù)無(wú)橫動(dòng)量依賴的Kartvelishvili碎裂函數(shù)[12-13]：

Fc→D(z)=

(19)

式中：z=(ED+pD)/(Ec+pc)，E和p分別為能量和動(dòng)量，下標(biāo)D和c分別表示D介子和c夸克。因?yàn)閙c≈mD≈1.5 GeV，遠(yuǎn)小于mb≈4.7 GeV，所以可取z=ED/Ec。在文獻(xiàn)[12]中給出αD為

(20)

(21)

(22)

這種方法得到的理論預(yù)言與通過(guò)正負(fù)電子對(duì)撞中數(shù)據(jù)給出的理論預(yù)言數(shù)量級(jí)一致，而且符合很好，相對(duì)差異小于1/4，因此在后續(xù)分析中，類似的估計(jì)遍舉衰變過(guò)程的分支比時(shí)，本文將選取δS=0.13。

(23)

可以和色單態(tài)部分的分支比互相比擬。

3 ηb 到的衰變

(24)

Br[ηb→D*+D*-]遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于文獻(xiàn)[9]中給出的 10-8，但是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[10]中給出的10-3

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需要指出的是，碎裂函數(shù)本是用來(lái)計(jì)算單舉末態(tài)，此處利用碎裂函數(shù)來(lái)計(jì)算遍舉過(guò)程的分支比是非常簡(jiǎn)略的估計(jì)，一方面是因?yàn)槁?lián)合碎裂過(guò)程中沒(méi)有考慮粲夸克對(duì)產(chǎn)生時(shí)是聯(lián)合產(chǎn)生的，另外一方面忽略了強(qiáng)子化的動(dòng)力學(xué)機(jī)制。這里利用截?cái)鄟?lái)限制末態(tài)為遍舉末態(tài)只是一個(gè)嘗試，碎裂函數(shù)對(duì)于遍舉分支比只能給出數(shù)量級(jí)的估計(jì)，而不能代替完整的結(jié)果。

4 結(jié) 論

相關(guān)預(yù)言可以通過(guò) BelleⅡ的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，從而得到更多強(qiáng)子化的信息。