姚春賢

(江蘇省蘇州市西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué),江蘇 蘇州 215000)

電路的分析聯(lián)系著理論教學(xué)和實(shí)驗(yàn)兩大物理主線,且其教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際有著密切的聯(lián)系,在高中物理教學(xué)中有著舉足輕重的地位．非平衡電橋在實(shí)際工程和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用較廣,如測(cè)量溫度、壓力、形變等[1-3],已成為中學(xué)物理競(jìng)賽、高考及高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)的熱點(diǎn)問題．為了更有效地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用非平衡電橋法解決實(shí)際問題,培養(yǎng)其高層次的實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)和創(chuàng)新實(shí)踐能力,本文將對(duì)戴維南定理、基爾霍夫定律及△-Y變換法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹,并將其應(yīng)用于含有非平衡電橋的復(fù)雜電路問題中．通過實(shí)例演練和對(duì)比,總結(jié)出一套行之有效的求解方法,希望能夠?yàn)閺V大師生提供一些參考．

1 戴維南定理

戴維南定理的推導(dǎo)和證明一般高中都不涉及(大學(xué)教材都會(huì)詳細(xì)講解[4]),為了便于學(xué)生理解,本論文將通過具體的實(shí)例給出戴維南定理的內(nèi)容．在圖1(a)電路中,E=10 V,r=1 Ω,R1=1 Ω,R2=2 Ω,R3=3 Ω,問R4上的電壓為多少?對(duì)于這種只需計(jì)算復(fù)雜電路的一個(gè)支路上的電壓或電流時(shí),可以將這條支路畫出,而把其他部分看作是一個(gè)由理想電源(E0)和內(nèi)阻(R0)串聯(lián)的電源來(lái)等效代替．E0為有源端口網(wǎng)絡(luò)的開路電壓,即將R4斷開后A、B兩端的電壓,R0為去除端口網(wǎng)絡(luò)中所有電源(將理想電壓源短路,理想電流源開路)后的等效輸入電阻,這就是戴維南定理．利用戴維南定理,如圖1(a)所示的電路即可簡(jiǎn)化為圖1(b)的形式,求等效電源的過程其實(shí)就是求等效電動(dòng)勢(shì)和等效內(nèi)阻的過程,其中

(1)

(2)

(a)原始電路圖

對(duì)于戴維南定理的使用條件及注意事項(xiàng)可參考文獻(xiàn)[4]．

2 基爾霍夫定律

基爾霍夫定律包括基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律．

基爾霍夫電流定律又稱為基爾霍夫第一定律,簡(jiǎn)記為KCL,是電流的連續(xù)性在電路上的體現(xiàn),其物理背景是電荷守恒定理．即在電路中任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)上,任一時(shí)刻流入節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流之和,方程為

(3)

其中,n是與所求節(jié)點(diǎn)相連的支路數(shù),ik是第k個(gè)進(jìn)入或離開該節(jié)點(diǎn)的電流．

基爾霍夫電壓定律又稱為基爾霍夫第二定律,簡(jiǎn)記為KVL,是電場(chǎng)為位場(chǎng)時(shí)電位的單值性在電路上的體現(xiàn),其物理背景是能量守恒定理．即沿著閉合回路所有元件兩端的電勢(shì)差(電壓)的代數(shù)和等于0,方程為

(4)

其中,m是這個(gè)閉合回路的元件數(shù)目,uk是該回路中第k個(gè)元件兩端的電壓．

3 △-Y變換法

圖2(a)和圖2(b)分別為△網(wǎng)絡(luò)和Y網(wǎng)絡(luò),△網(wǎng)絡(luò)中的3個(gè)電阻分別為R12、R23和R31,Y網(wǎng)絡(luò)中的3個(gè)電阻分別為R1、R2和R3,兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的電壓及分別從3個(gè)節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3)流入的電流如圖2所示,根據(jù)完全等效的原理，即

i1△=i1Y,i2△=i2Y,i3△=i3Y,

(5)

u12△=u12Y,u23△=u23Y,u31△=u31Y,

(6)

(a) 三角形聯(lián)接電路圖 (b) 星形聯(lián)接電路圖

可導(dǎo)出△-Y變換公式即

(7)

特別的,當(dāng)構(gòu)成△或Y電路的3個(gè)電阻相等時(shí),

(8)

△-Y變換的推導(dǎo)和證明詳細(xì)講解見文獻(xiàn)[4]．對(duì)于△-Y變換的使用條件及注意事項(xiàng)可參考文獻(xiàn)[5]的實(shí)例練習(xí)．

4 實(shí)例

計(jì)算如圖3所示電路中經(jīng)過電阻R9兩端的電流I9．

圖3 包含非平衡電橋的復(fù)雜電路

對(duì)于單一的非平衡橋式電路可直接通過戴維南定理、基爾霍夫定律或△-Y變換法進(jìn)行求解,具體求解過程可參考文獻(xiàn)[6]．

仔細(xì)觀察圖3可知,該電路并非單一的非平衡電橋電路,而是包含了非平衡電橋的復(fù)雜電路(圖3中右側(cè)的虛線框內(nèi)的部分為非平衡電橋),因此直接用戴維南定理、基爾霍夫定律或△-Y變換法進(jìn)行求解比較困難,本文將戴維南定理與基爾霍夫定律或△-Y變換法相結(jié)合用于求解本題,其求解過程相對(duì)簡(jiǎn)單,且便于師生理解．

4.1 直接用戴維南定理求解

根據(jù)上文中講述的戴維南定理及使用條件,首先對(duì)圖3所示電路中的局部電路1進(jìn)行一次戴維南等效,而其余部分保持不變,經(jīng)等效變換后可得到如圖4所示的電路．

圖4 對(duì)局部電路進(jìn)行戴維南等效后的電路圖

其中,Req為局部電路1(圖3所示電路中左側(cè)虛線框內(nèi)的電路)的等效電阻,Eeq為等效電壓源．

經(jīng)簡(jiǎn)化后,發(fā)現(xiàn)要求出流經(jīng)電阻R9兩端的電流,其電路結(jié)構(gòu)仍然比較復(fù)雜,需對(duì)電路進(jìn)行第二次戴維南等效,分別畫出求解開路電壓和等效電阻的電路圖,如圖5和圖6所示．

圖5 求解開路電壓的等效電路圖

圖6 求解等效電阻的等效電路圖

仔細(xì)觀察圖5和圖6,可知根據(jù)電路圖5不難求出開路電壓,但是在圖6中仍然包含非平衡橋式電路(圖6虛線框內(nèi)的結(jié)構(gòu)),因此仍然需要利用前文中講述的△-Y變換法求解其等效電阻．

通過上述討論可知,在此題的求解中,如果單獨(dú)使用戴維南定理對(duì)其進(jìn)行分析,其求解過程比較復(fù)雜而且計(jì)算量較大,本論文不做詳細(xì)計(jì)算,讀者可進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．

4.2 戴維南定理和△-Y變換法相結(jié)合進(jìn)行求解

首先對(duì)圖3所示電路中的局部電路1進(jìn)行戴維南等效,而其余部分保持不變可得到如圖7所示的電路．

圖7 對(duì)局部電路1進(jìn)行戴維南等效后的電路圖

仔細(xì)觀察該電路圖,發(fā)現(xiàn)其中的非平衡電橋電路中包含了由對(duì)稱電阻構(gòu)成的三角形電路(圖7中虛線框內(nèi)的電路結(jié)構(gòu)),因此可直接對(duì)虛線框內(nèi)的電路結(jié)構(gòu)進(jìn)行△-Y變換,變換后可得如圖8所示的電路結(jié)構(gòu)圖．

圖8 經(jīng)△-Y變換后的等效電路圖

繼續(xù)對(duì)圖8進(jìn)行串/并聯(lián)等效可得如圖9所示的等效電路．

圖9 經(jīng)串/并聯(lián)等效后的電路圖

圖9中Ra,Rb和Rc分別為3個(gè)分支的等效電阻,Ia,Ib和Ic為流經(jīng)電阻Ra,Rb和Rc的電流,其電流方向如圖9所示．根據(jù)圖9電路結(jié)構(gòu),很容易求解出電流Ib和Ic,其計(jì)算結(jié)果過程和計(jì)算結(jié)果如下.

(9)

(10)

(11)

將圖9中所標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù)代入方程 (9)～(11),可得Ia=1.5 A,Ib=1.125 A,Ic=0.375 A．根據(jù)圖3可知,I9=Ib-Ic=0.75 A．通過比較4.1和4.2中的兩種解法,可知戴維南定理和△-Y變換法相結(jié)合的方法對(duì)于求解含有非平衡電橋的復(fù)雜電路更加簡(jiǎn)便和容易．

4.3 戴維南定理和基爾霍夫定律相結(jié)合進(jìn)行求解

這種解法的第1步跟4.2節(jié)中的解法一致,通過對(duì)電路中的局部電路1進(jìn)行戴維南等效,而其余部分保持不變可得到如圖10所示的電路．

圖10 對(duì)局部電路1進(jìn)行戴維南等效后的電路圖

然后利用基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律對(duì)該電路進(jìn)行分析,在圖10所示的電路中I1、I5、I6、I7、I8和I9分別為流過電阻Req、R5、R6、R7、R8和R9上的電流,其電流方向如圖10所示．

選取如圖10所示的節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3,并利用基爾霍夫電流定律分別對(duì)節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3列KCL方程,其方程組1的表達(dá)式如下.

節(jié)點(diǎn)1:I1-I5-I6=0.

(12)

節(jié)點(diǎn)2:I5-I7-I9=0.

(13)

節(jié)點(diǎn)3:I6+I9-I8=0.

(14)

選取如圖10所示的回路1、回路2和回路3(3個(gè)回路的方向均為順時(shí)針方向,如圖10所示),并利用基爾霍夫電壓定律分別對(duì)回路1、回路2和回路3列KVL方程,其方程組2的表達(dá)式如下.

回路1:I6R6+I9R9-I5R5=0.

(15)

回路2:I9R9+I8R8-I7R7=0.

(16)

回路3:I1Req+I5R5+I7R7-Eeq=0.

(17)

將題目中所有已知數(shù)據(jù)代入方程組1和方程組2,并聯(lián)立方程組求解,可得，I9=0.75 A．

通過比較4.1、4.2和4.3中的3種解法,可知將戴維南定理與基爾霍夫定律或△-Y變換法相結(jié)合用于求解本題,其求解過程相對(duì)簡(jiǎn)單,且便于師生理解．

5 結(jié)論

非平衡電橋是電路理論教學(xué)環(huán)節(jié)中比較重要的一個(gè)環(huán)節(jié),針對(duì)高中物理教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和中學(xué)生的認(rèn)知能力,本論文首先給出了戴維南定理、基爾霍夫定律和△-Y變換法的具體內(nèi)容,并以實(shí)例的形式將戴維南定理與基爾霍夫定律或△-Y變換法相結(jié)合用于求解含有非平衡電橋的復(fù)雜電路,通過分析對(duì)比,讓學(xué)生熟練掌握和應(yīng)用戴維南定理、基爾霍夫定律和△-Y變換法在復(fù)雜電路中的應(yīng)用,并得出了適宜中學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握的求解方法．近兩年來(lái),在本校的教學(xué)實(shí)踐表明,本方法得到了廣大師生的一致好評(píng)．