☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 賀鋅菠

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉成龍

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 蔣紅珠

2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科23題是一個(gè)具有數(shù)學(xué)探究?jī)r(jià)值的多元函數(shù)最值問題：從試題背景、解法和推廣進(jìn)行多角度思考可引發(fā)如下探究.

一、試題與評(píng)注

試題（2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科23題，下文簡(jiǎn)稱23題）設(shè)x，y，z∈R，且x+y+z=1.

（Ⅰ）求（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；

（Ⅱ）若（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥成立，證明：a≤-3或a≥-1.

評(píng)注：試題形式優(yōu)美、構(gòu)思巧妙、富含美感、不偏不怪、解法多樣、可一般化，具有一定的難度、深度和廣度，是一個(gè)值得研究的好素材.

二、試題背景

1.教材背景

高考試題背景源于教材又高于教材，是對(duì)教材的進(jìn)一步提煉.本題的原型來源于人教A版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》［1］選修4-5第10頁課后習(xí)題第11題：

已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥

該習(xí)題學(xué)生可以運(yùn)用基本不等式或借助作差法進(jìn)行解答.23題更改了參數(shù)的限制條件，由正實(shí)數(shù)擴(kuò)充為實(shí)數(shù)，在教材習(xí)題基礎(chǔ)上進(jìn)行了改編，設(shè)置了一些重要不等式背景.命題者立足教材，使得試題背景公平，體現(xiàn)了“源于教材，高于教材”的命題理念，對(duì)引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教材、研究教材、抑制“題海戰(zhàn)術(shù)”有益［2］.

為了大量生產(chǎn)殼聚糖酶以滿足其商業(yè)化需求，培養(yǎng)基配方以及發(fā)酵工藝條件的優(yōu)化非常重要。為優(yōu)化發(fā)酵條件，Zhou 等對(duì)碳源、氮源、金屬離子、pH值、溫度等因素進(jìn)行了經(jīng)典的單因素研究。這些多重生長(zhǎng)參數(shù)間的交互作用使我們很難控制發(fā)酵結(jié)果。響應(yīng)面方法學(xué)(RSM)是一種非常有用的統(tǒng)計(jì)學(xué)技術(shù)，可用于優(yōu)化復(fù)雜的化學(xué)、生物和食品的加工過程，在微生物酶生產(chǎn)的研究中也得到了廣泛關(guān)注，2012年，Zhang等人報(bào)道了利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法優(yōu)化殼聚糖酶的生產(chǎn)，結(jié)果顯示采用Aspergillus sp. QD-2發(fā)酵生產(chǎn)殼聚糖酶，經(jīng)響應(yīng)面法優(yōu)化，殼聚糖酶活性從26.5 U/mL提高到了85.8 U/mL 。

2.重要不等式背景

該題含有多個(gè)重要不等式背景，分析如下：

（2）|m|2·|n|2≥（m·n）2背景.構(gòu)造向量，運(yùn)用|m|2·|n|2≥（m·n）2可以快速推導(dǎo)柯西不等式及變式，并且借助|m|2·|n|2≥（m·n）2可以將23題推廣到更一般的情形，比如：推廣到n維向量空間、歐式空間.

（3）權(quán)方和不等式背景.權(quán)方和不等式是柯西不等式的推廣形式，對(duì)認(rèn)識(shí)、解答和推廣23題有指導(dǎo)作用.

（4）排序不等式背景.待求目標(biāo)（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2中x-1，y+1，z+1的地位平等，剛好為x-1，y+1，z+1排序提供了依據(jù)，而（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2視為順序和.

3.點(diǎn)到平面距離背景

（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2可視為空間兩點(diǎn)（x，y，z），（1，-1，-1）間距離的平方，而點(diǎn)（x，y，z）位于平面x+y+z=1上，（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為點(diǎn)（1，-1，-1）到平面x+y+z=1距離的平方.

三、試題解法

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.R.Halmos）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)家存在的主要理由是解問題，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解”.試題的解法包括一題多解、多題一解、錯(cuò)解分析等.其中，從一題多解入手，一題多解是指對(duì)一道試題進(jìn)行多種不同角度地分析與探究，進(jìn)而得到多種解法，這既能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能培養(yǎng)思維的發(fā)散性、選擇性、靈活性、深刻性.下文主要研究（Ⅰ）的解法.

解法1：（距離模型法）x+y+z=1表示平面，故d=為平面內(nèi)的點(diǎn)A（x，y，z）與點(diǎn)B（1，-1，-1）之間的距離.又點(diǎn)B到平面x+y+z=1的距離，所以dmin=d′=.故，即（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為.

評(píng)注：解法1充分利用幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為空間中點(diǎn)到平面的距離.

解法2：（判別式法）因?yàn)閤+y+z=1，消去x得（y+z）2+（y+1）2+（z+1）2=2（y2+z2+yz+y+z+1），設(shè)y2+z2+yz+y+z+1=t，化簡(jiǎn)得y2+（z+1）y+z2+z+1-t=0，此方程有解.故Δ1=（z+1）2-4（z2+z+1-t）≥0，即3z2+2z+3-4t≤0，易得Δ2=4-12（3-4t）≥0，解得t≥，故（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2=2t≥.

評(píng)注：解法2將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，利用判別式進(jìn)行求解.

解法3：（利用均值不等式）［（x-1）+（y+1）+（z+1）］2=（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2+2［（x-1）（y+1）+（y+1）（z+1）+（z+1）（x-1）］≤（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2+［（x-1）2+（y+1）2+（y+1）2+（z+1）2+（z+1）2+（x-1）2］=3［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］.由已知得（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)“=”成立.（下文不再敘述取等條件）

評(píng)注：通過配湊，運(yùn)用均值不等式巧妙地完成求解，簡(jiǎn)潔巧妙.

解法4：（利用柯西不等式）由柯西不等式：［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］（12+12+12）≥［（x-1）+（y+1）+（z+1）］2，因?yàn)閤+y+z=1，故（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥

評(píng)注：配湊出柯西不等式的結(jié)構(gòu)是完成求解的關(guān)鍵.

解法5：（構(gòu)造向量）設(shè)m=（x-1，y+1，z+1），n=（1，1，1），則|m|=由|m|2·|n|2≥（m·n）2，得［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］·3≥（x+y+z+1）2，因?yàn)閤+y+z=1，所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥

評(píng)注：解法5的關(guān)鍵在于構(gòu)造向量，再運(yùn)用|m|2·|n|2≥（m·n）2進(jìn)行求解.

四、試題推廣

數(shù)學(xué)推廣是指在一定范圍內(nèi)或一定層次上對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、法則進(jìn)行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立.［3］把一個(gè)數(shù)學(xué)命題的某些特殊條件或結(jié)論一般化，從而得到更為普遍的結(jié)論（命題），這個(gè)過程就稱為數(shù)學(xué)問題（命題）的推廣.在推廣命題時(shí)，可將命題的條件加強(qiáng)、削弱或減少；將條件或結(jié)論中的數(shù)量、形式或關(guān)系普遍化；將命題中的某些結(jié)論加強(qiáng)或削弱等.對(duì)問題進(jìn)行推廣可以培養(yǎng)學(xué)生探究意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí).下文對(duì)23題進(jìn)行推廣.

分析1：?jiǎn)栴}條件“x+y+z=1”呈現(xiàn)的是高度對(duì)稱的3元關(guān)系，很自然想到4，5，6，…，n元關(guān)系下，會(huì)有相應(yīng)的結(jié)論嗎？

推廣1：設(shè)xi∈R，i=1，2，…，n，其中n＞1，n∈N+，且

評(píng)注：推廣1可利用柯西不等式、構(gòu)造向量等方法加以證明.

分析2：待證目標(biāo)“（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2”呈現(xiàn)的是2次關(guān)系，很自然想到3，4，5，6，…，n次關(guān)系下，會(huì)有相應(yīng)的結(jié)論嗎？

推廣2：設(shè)x，y，z∈R，k，p∈N+，且xk+yk+zk=1，則xpk+ypk+zpk≥

評(píng)注：從指數(shù)上進(jìn)行了推廣，可利用權(quán)方和不等式證明.

分析3：推廣1與推廣2分別從“元”和“次數(shù)”的角度進(jìn)行了推廣.下面從“元”和“次數(shù)”上同時(shí)進(jìn)行推廣.

推廣3：設(shè)xi∈R，i=1，2，…，n，其中n＞1，k，n，p∈N+，且

評(píng)注：可利用權(quán)方和不等式證明.