龍思慧，丁 勇

（北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044）

1 概述

城市軌道交通售票系統(tǒng)通常由自動(dòng)售票機(jī)、人工客服窗口、人工售票窗口組成平行排隊(duì)的多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)，乘客到達(dá)后可以排在任何一個(gè)隊(duì)列中。其中，人工客服窗口可進(jìn)行購(gòu)票、票卡充值、票務(wù)故障處理、兌換零錢(qián)等綜合業(yè)務(wù)，而人工售票窗口只出售單程票。節(jié)假日平峰期可考慮減少自動(dòng)售票機(jī)開(kāi)放數(shù)量，降低設(shè)備運(yùn)營(yíng)成本。人工售票窗口主要根據(jù)客流情況動(dòng)態(tài)設(shè)置，客流較小的時(shí)段可不設(shè)置，但高峰期或突發(fā)大客流期間，可開(kāi)放更多人工售票窗口滿(mǎn)足乘客購(gòu)票需求。城市軌道交通售票排隊(duì)系統(tǒng)示意圖如圖1所示。

圖1 城市軌道交通售票排隊(duì)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Queueing system

節(jié)假日期間，城市軌道交通車(chē)站購(gòu)票客流會(huì)激增，客流在時(shí)間上分布不均衡且波動(dòng)性較大。與通勤高峰客流不同，節(jié)假日大客流中包含相當(dāng)多不熟悉購(gòu)票操作的外地游客，增加了售票組織的難度，而且車(chē)站全日各時(shí)段不同類(lèi)型售票設(shè)備的開(kāi)放方案與企業(yè)提供的運(yùn)輸服務(wù)水平及運(yùn)營(yíng)成本有著密切關(guān)系。因此，通過(guò)尋求服務(wù)水平與運(yùn)營(yíng)成本間的平衡點(diǎn)，合理安排節(jié)假日期間不同時(shí)段售票設(shè)備的開(kāi)放數(shù)量，對(duì)于提升城市軌道交通運(yùn)營(yíng)組織水平具有重要意義。

國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家積極開(kāi)展城市軌道交通車(chē)站節(jié)假日售票組織方面的研究。張微[1]系統(tǒng)分析了影響用戶(hù)使用城市軌道交通自動(dòng)售票機(jī)速率的因素；任建華[2]探討了鐵路車(chē)站售票組織應(yīng)急響應(yīng)啟動(dòng)的條件與時(shí)機(jī)；張伯敏[3]應(yīng)用排隊(duì)論理論探討鐵路車(chē)站售票窗口和自動(dòng)售票機(jī)設(shè)置優(yōu)化問(wèn)題；丁蕾等[4]基于排隊(duì)論建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型并預(yù)測(cè)站點(diǎn)購(gòu)票客流及自動(dòng)售票機(jī)的需求量。對(duì)于排隊(duì)問(wèn)題的研究，Roubos等[5]運(yùn)用排隊(duì)論中的M/M/n模型對(duì)銀行營(yíng)業(yè)網(wǎng)點(diǎn)的服務(wù)能力決策進(jìn)行了研究；蔣陽(yáng)升等[6]將高峰時(shí)段城市軌道交通通道客流描述成排隊(duì)系統(tǒng)，構(gòu)建了排隊(duì)優(yōu)化模型計(jì)算城市軌道交通通道寬度；李維崢等[7]綜合考慮企業(yè)營(yíng)業(yè)費(fèi)用及顧客由于等待產(chǎn)生的損失費(fèi)用2個(gè)因素，建立以費(fèi)用總和最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型，從而求得合理的收費(fèi)窗口數(shù)；李怡娜等[8]對(duì)高速鐵路客運(yùn)站的票務(wù)設(shè)備開(kāi)放配置影響因素進(jìn)行分析，提出票務(wù)設(shè)備功能開(kāi)放配置優(yōu)化模型。由此可見(jiàn)，既有研究成果為解決高峰期售票組織問(wèn)題提供了理論指導(dǎo)，但還不能完全適應(yīng)節(jié)假日客流及售票系統(tǒng)的特征。為此，分析節(jié)假日城市軌道交通購(gòu)票客流及售票系統(tǒng)特征，以全日各時(shí)段各類(lèi)型售票設(shè)備開(kāi)放數(shù)量為研究對(duì)象，以一定服務(wù)水平作為約束，平衡乘客等待時(shí)間費(fèi)用與運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用，構(gòu)建售票系統(tǒng)總費(fèi)用最小的售票組織優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)相應(yīng)算法進(jìn)行模型求解，并通過(guò)案例驗(yàn)證模型與算法的可行性與有效性。

2 城市軌道交通車(chē)站節(jié)假日售票組織優(yōu)化模型構(gòu)建

2.1 建模思路

根據(jù)城市軌道交通車(chē)站實(shí)際運(yùn)營(yíng)狀況，全日每個(gè)時(shí)段都固定開(kāi)放1個(gè)人工客服窗口，構(gòu)建節(jié)假日車(chē)站售票組織優(yōu)化模型，計(jì)算自動(dòng)售票機(jī)與人工售票窗口數(shù)量，達(dá)到售票系統(tǒng)總費(fèi)用最小。城市軌道交通車(chē)站提高售票服務(wù)水平(如增加售票設(shè)備數(shù)量等)會(huì)降低乘客等待時(shí)間費(fèi)用，但同時(shí)會(huì)增加車(chē)站運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用。售票系統(tǒng)總費(fèi)用與運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用、乘客等待時(shí)間費(fèi)用關(guān)系示意圖如圖2所示。

圖2 售票系統(tǒng)總費(fèi)用與運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用、乘客等待時(shí)間費(fèi)用關(guān)系示意圖Fig.2 Relationship of the operating cost, waiting cost and the total cost

只有服務(wù)水平在最優(yōu)點(diǎn)處，售票系統(tǒng)總費(fèi)用才能最小。乘客等待時(shí)間費(fèi)用和運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用都是服務(wù)水平的函數(shù)，其中前者是服務(wù)水平的減函數(shù)，后者是服務(wù)水平的增函數(shù)。當(dāng)售票系統(tǒng)總費(fèi)用最低時(shí)，服務(wù)水平與運(yùn)營(yíng)成本達(dá)到綜合最優(yōu)。因此，應(yīng)綜合考慮乘客等待時(shí)間費(fèi)用和運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用，實(shí)現(xiàn)售票系統(tǒng)總費(fèi)用最低。

2.2 模型構(gòu)建

假設(shè)在進(jìn)行購(gòu)票設(shè)備選擇時(shí)，乘客考慮的因素只有窗口前排隊(duì)等待時(shí)間；一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)售票系統(tǒng)的乘客數(shù)服從泊松分布；售票服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。將運(yùn)營(yíng)時(shí)間以1 h為間隔劃分為n個(gè)運(yùn)營(yíng)時(shí)段，考慮該時(shí)段不同類(lèi)型售票設(shè)備的服務(wù)率與服務(wù)強(qiáng)度、售票設(shè)備前排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)、站廳對(duì)于售票設(shè)備數(shù)量的限制、工作人員數(shù)量等，通過(guò)約束上述條件使得售票服務(wù)滿(mǎn)足一定的服務(wù)水平。

以售票設(shè)備的運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用與乘客等待時(shí)間費(fèi)用之和最小為目標(biāo)函數(shù)，以服務(wù)強(qiáng)度、售票設(shè)備前排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)及售票設(shè)備數(shù)量為約束條件，建立節(jié)假日車(chē)站售票組織優(yōu)化模型如下。

式中：Z(Ca，Cb)為售票系統(tǒng)總費(fèi)用，其中Ca為開(kāi)放自動(dòng)售票機(jī)的數(shù)量，Cb為開(kāi)放人工售票窗口的數(shù)量；θa，θb分別為開(kāi)放單位自動(dòng)售票機(jī)、人工售票窗口的費(fèi)用；ω表示乘客等待時(shí)間費(fèi)用與運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用的轉(zhuǎn)換關(guān)系；Lqk(Ck) =f(Ck)，表示開(kāi)放Ck個(gè)售票設(shè)備期望排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)，Ck為售票設(shè)備開(kāi)放數(shù)量的因變量，f(Ck)由售票系統(tǒng)排隊(duì)方式?jīng)Q定，k=a，b；xi為是否開(kāi)放人工售票窗口的0-1決策變量，xi= 0表示在開(kāi)放自動(dòng)售票機(jī)能滿(mǎn)足購(gòu)票客流需求的情況下，不開(kāi)放人工售票窗口，反之開(kāi)放人工售票窗口，即當(dāng)時(shí)，xi= 0，當(dāng)時(shí)，xi= 1，其中，λa為平均每小時(shí)到達(dá)自動(dòng)售票機(jī)的乘客數(shù)，μa為該自動(dòng)售票機(jī)平均每小時(shí)可以服務(wù)的乘客數(shù)，ρa(bǔ)max為自動(dòng)售票機(jī)最大服務(wù)強(qiáng)度參數(shù)；ρb為人工售票窗口服務(wù)強(qiáng)度，其中λb為平均每小時(shí)到達(dá)人工售票窗口的乘客數(shù)，μb為人工售票窗口平均每小時(shí)可以服務(wù)的乘客數(shù)；ρbmax為服務(wù)強(qiáng)度上限；ρbmin為服務(wù)強(qiáng)度下限。

公式 ⑵ 表示人工服務(wù)強(qiáng)度約束；公式 ⑶ 表示排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)約束；公式 ⑷ 表示售票設(shè)備數(shù)量約束。

2.3 模型求解

在節(jié)假日車(chē)站售票組織優(yōu)化模型中，只有系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)和不同類(lèi)型售票設(shè)備開(kāi)放數(shù)量為變量，并且系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)為售票設(shè)備開(kāi)放數(shù)量的因變量，售票設(shè)備數(shù)量只能取正整數(shù)，設(shè)售票設(shè)備開(kāi)放數(shù)量集合為U，結(jié)合公式 ⑵ 至公式 ⑷，解集合U表示為

由于目標(biāo)函數(shù)為非連續(xù)變量的函數(shù)，不能采用經(jīng)典的微分法求最優(yōu)解，基于WinQSB計(jì)算模型總費(fèi)用，采用邊際分析法得出售票設(shè)備開(kāi)放數(shù)量最優(yōu)解。

采用邊際分析法，，應(yīng)滿(mǎn)足經(jīng)代入?yún)?shù)，得到以下公式

根據(jù)邊際分析法計(jì)算最優(yōu)解，，通常會(huì)出現(xiàn)以下2種情況：①若和均屬于解集合U，則最優(yōu)解和由公式⑹確定；②反之，若存在或不屬于解集合U，則最優(yōu)解和由來(lái)確定。

3 案例分析

小寨站是西安城市軌道交通2號(hào)線(xiàn)的一個(gè)車(chē)站，處于小寨商圈核心地帶。車(chē)站北邊售票處8臺(tái)自動(dòng)售票機(jī)構(gòu)成平行排隊(duì)的8個(gè)M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS排隊(duì)系統(tǒng)，人工客服窗口為1個(gè)M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS排隊(duì)系統(tǒng)，人工售票窗口為1個(gè)M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS排隊(duì)系統(tǒng)。小寨站售票系統(tǒng)排隊(duì)模型如圖3所示。

圖3 小寨站售票系統(tǒng)排隊(duì)模型Fig.3 Queueing model of ticketing system on Xiaozhai Station

3.1 模型求解

（1）乘客時(shí)間價(jià)值。乘客時(shí)間價(jià)值在此采用收入法進(jìn)行估算，估算公式為

式中：VOT為乘客單位小時(shí)內(nèi)的時(shí)間價(jià)值；INT為人均年收入；T為年工作小時(shí)量。

根據(jù)西安市乘客月可支配收入結(jié)構(gòu)，計(jì)算出人均年收入為50 913.6元，乘客年工作小時(shí)量為1 992 h，則旅客時(shí)間價(jià)值VOT= 50 913.6 / 1 992≈25.6元/ h。

（2）運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用。主要包括員工工資、機(jī)器折舊費(fèi)、耗損費(fèi)用等。通過(guò)實(shí)地調(diào)研，推算出站內(nèi)自動(dòng)售票機(jī)、人工售票窗口運(yùn)營(yíng)成本分別為15.2元/h和43.7元/h。

（3）參數(shù)取值。通過(guò)對(duì)小寨站北邊售票處2016年節(jié)假日乘客購(gòu)票情況的調(diào)研，根據(jù)小寨站運(yùn)營(yíng)情況、高峰小時(shí)購(gòu)票乘客人數(shù)、客流分布特點(diǎn)及站廳容量限制，確定服務(wù)指標(biāo)為：ρa(bǔ)max= 0.99，ρbmin= 0.70，ρbmax= 0.80，Lqamax= 10，Lqbmax= 30，Camax= 12，Cbmax= 2。其中，為滿(mǎn)足高峰小時(shí)乘客數(shù)，車(chē)站需在現(xiàn)狀8臺(tái)自動(dòng)售票機(jī)的基礎(chǔ)上增加4臺(tái)自動(dòng)售票機(jī)以縮短乘客等待時(shí)間。根據(jù)對(duì)人工客服窗口處乘客數(shù)量及購(gòu)票需求進(jìn)行調(diào)查，可得全日各時(shí)段需要在人工客服窗口購(gòu)票乘客數(shù)量的平均值為65人。

（4）乘客平均到達(dá)率。對(duì)運(yùn)行時(shí)段6 ∶ 30—23 ∶ 30進(jìn)行小寨站購(gòu)票客流調(diào)研，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得出全日各時(shí)段乘客平均到達(dá)率(減去接受人工客服窗口服務(wù)乘客數(shù)65人后的售票系統(tǒng)總的到達(dá)率)。乘客平均到達(dá)率如表1所示。

表1 乘客平均到達(dá)率 人/ hTab.1 Average arrival rate of passengers

（5）售票設(shè)備平均服務(wù)率。通過(guò)對(duì)不同售票設(shè)備進(jìn)行客流調(diào)研可得自動(dòng)售票機(jī)、人工售票窗口平均服務(wù)時(shí)間分別為33.2 s /人、10.6 s /人，即單位時(shí)間(1 h)可以服務(wù)的乘客數(shù)分別為98人、355人，取μa= 98人/ h；μb= 355人/ h。

3.2 優(yōu)化結(jié)果分析

在實(shí)地調(diào)研數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，計(jì)算得出各時(shí)段不同類(lèi)型售票設(shè)備開(kāi)放數(shù)量的優(yōu)化方案。售票組織優(yōu)化方案如圖4所示。

圖4 售票組織優(yōu)化方案Fig.4 Optimized scheme of ticketing organization

從圖4可以看出，售票設(shè)備開(kāi)放數(shù)量由現(xiàn)狀各時(shí)段固定開(kāi)放8臺(tái)自動(dòng)售票機(jī)變?yōu)楦鶕?jù)不同時(shí)段客流變化特征進(jìn)行調(diào)整，其中每一時(shí)段需固定開(kāi)放1個(gè)人工客服窗口。在客流量較少的時(shí)段，如6 ∶ 30— 7 ∶ 30，售票系統(tǒng)總費(fèi)用最小的方案為開(kāi)放4臺(tái)自動(dòng)售票機(jī)，相較現(xiàn)狀減少開(kāi)放4臺(tái)自動(dòng)售票機(jī)，降低了運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用?？土髁枯^大的時(shí)段，15 ∶ 30—16 ∶ 30是小寨站客流高峰時(shí)段，在該時(shí)段開(kāi)放12臺(tái)自動(dòng)售票機(jī)及2個(gè)人工售票窗口，較現(xiàn)狀需增加4臺(tái)自動(dòng)售票機(jī)，可以有效減少排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)，提升乘客購(gòu)票服務(wù)質(zhì)量。通過(guò)測(cè)算，應(yīng)用節(jié)假日售票組織優(yōu)化模型計(jì)算得到的車(chē)站全日不同時(shí)段各類(lèi)型售票設(shè)備開(kāi)放數(shù)量的優(yōu)化方案，售票系統(tǒng)總費(fèi)用較現(xiàn)狀降低約10%，乘客購(gòu)票平均等待時(shí)間降低約30%，在有效縮短乘客等待時(shí)間的基礎(chǔ)上，提高了售票系統(tǒng)總體效益。

4 結(jié)束語(yǔ)

隨著城市軌道交通的發(fā)展，車(chē)站客流不斷增長(zhǎng)，尤其是節(jié)假日期間購(gòu)票客流會(huì)激增，應(yīng)合理安排節(jié)假日期間不同時(shí)段售票設(shè)備的開(kāi)放數(shù)量。售票組織優(yōu)化模型能夠適應(yīng)不同時(shí)段客流的變化，緩解高峰時(shí)段乘客排隊(duì)購(gòu)票壓力，節(jié)省運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)用，計(jì)算結(jié)果對(duì)車(chē)站節(jié)假日期間的售票組織具有一定參考借鑒意義。該研究目前主要考慮了地鐵售票設(shè)備開(kāi)放數(shù)量對(duì)售票排隊(duì)系統(tǒng)的影響，下一步研究應(yīng)結(jié)合地鐵列車(chē)運(yùn)行圖、限流設(shè)施、售票系統(tǒng)位置等因素進(jìn)行乘客購(gòu)票的預(yù)測(cè)和量化，以更加精確地描述售票排隊(duì)系統(tǒng)。另外，還需要對(duì)乘客的售票設(shè)備選擇行為進(jìn)行深入研究，分析售票組織的瓶頸，從而得到更為精細(xì)的城市軌道交通售票組織優(yōu)化模型和售票設(shè)備配置方案。