趙東亞, 高守禮, 梁 浩, 趙 通

(中國石油大學(xué)(華東)化學(xué)工程學(xué)院,山東青島 266580)

動力定位(dynamic positioning,DP)技術(shù)是利用主動推進(jìn)器來克服環(huán)境因素如風(fēng)、浪、流等干擾,保持海洋平臺的位置和航向,最終實現(xiàn)平臺以固定的位姿狀態(tài)保持在海面某一位置或精確地跟蹤某一給定軌跡。在海上鉆井平臺、機(jī)器人研究、科學(xué)考察等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[1-2]。由于在大多數(shù)情況下海上鉆井平臺的速度很難測量,根據(jù)噪聲污染的位置和航向信號設(shè)計狀態(tài)觀測器估計速度信號具有實際意義?；跔顟B(tài)觀測器的輸出反饋控制器設(shè)計是海洋平臺動力定位控制的關(guān)鍵問題。最初的動力定位系統(tǒng)采用傳統(tǒng)的PID控制器,通過低通或陷波濾波器級聯(lián)抑制誤差產(chǎn)生。從20世紀(jì)70年代中期,基于最優(yōu)控制和卡爾曼濾波器理論,Balchenetal等[3]提出了先進(jìn)控制的概念。Fossen等[4-5]使用反步法進(jìn)行非線性觀測器設(shè)計,并應(yīng)用于船舶動力定位的輸出反饋控制。Balchen等[6]提出改進(jìn)的LQG控制算法,后被擴(kuò)展到基于模型的控制器設(shè)計,能夠?qū)崿F(xiàn)定點和軌跡追蹤控制[7]。Tannuri等[8-9]將滑?？刂评碚搼?yīng)用于欠驅(qū)動船舶動力定位系統(tǒng)軌跡跟蹤控制,并通過實驗進(jìn)行驗證。Ashrafiuon等[10]進(jìn)行實驗分析,驗證了動力定位系統(tǒng)滑?？刂频挠行院蛢?yōu)越性。Kim等[11]針對船舶動力定位控制,提出了魯棒非線性觀測器。杜佳璐等[12-14]應(yīng)用串級理論設(shè)計了一種高增益觀測器-控制器設(shè)計方案,能夠?qū)崿F(xiàn)船舶動力定位的輸出反饋控制。然而這些方法均為漸近穩(wěn)定,需要高增益以增加控制系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)魯棒性,高增益控制往往會引起控制器輸出飽和?；Ｓ^測器自身具備很強(qiáng)的魯棒特性,對系統(tǒng)不確定性和外部環(huán)境干擾具有較強(qiáng)的抑制能力,對低頻信號進(jìn)行估計,對高頻信號進(jìn)行濾波,可實現(xiàn)對半潛式海洋平臺狀態(tài)的有限時間估計[15-16]。筆者提出一種基于滑模觀測器的輸出反饋終端滑?？刂频脑O(shè)計方法,可實現(xiàn)海洋平臺的有限時間的觀測與穩(wěn)定控制,獲得較快的收斂速度和較強(qiáng)的魯棒性,同時避免控制器飽和。

1 問題描述

(1)

(2)

其中

τ∈R3×1.

式中,J(ψ)為雅可比矩陣;M,D∈R3×3分別代表慣性矩陣和線性阻尼矩陣;τ和R分別為縱蕩、橫蕩方向的控制力及艏搖方向的控制力矩;d∈R3×1為風(fēng)、浪、流干擾及未建模動力學(xué)特性。

圖1 半潛式海洋鉆井平臺動力定位系統(tǒng)Fig.1 Dynamic positioning system of semi-submersible offshore drilling platform

圖2 平臺地球坐標(biāo)系和平臺坐標(biāo)系Fig.2 Earth coordinate system and platform coordinate system

假設(shè)d有界,滿足

‖d(t)‖0.

(3)

式中,d0為干擾和不確定性的上界。

平臺的橫搖與縱搖運動均是零均值且振幅有限。通常的平臺都是穩(wěn)心穩(wěn)定的,這意味著在搖晃和傾斜中存在恢復(fù)力矩。假設(shè)平臺足夠穩(wěn)心穩(wěn)定,雅可比矩陣可用于描述運動方程,即

(4)

(5)

(6)

J(ψ)對于所有ψ均是非奇異的。

(7)

由式(1)可知,v可以表示為

(8)

對式(8)進(jìn)行求導(dǎo),可得

(9)

聯(lián)立式(2)和(9),整理得到

(10)

為了對式(10)進(jìn)行簡化,令

P(η)=MJ-1(ψ),

式(10)可以簡化為

(11)

2 滑模觀測器設(shè)計及穩(wěn)定性證明

由式(11)可得

(12)

則x1=η,

其中

假設(shè)1:d代表外部干擾,且有‖d‖≤d0,d0>0為正常數(shù),即d有界。

假設(shè)2:因為M可逆、J可逆,那么P=MJ-1可逆。

假設(shè)3:系統(tǒng)狀態(tài)x2有界,即‖x2‖≤r,0

式(12)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為

(13)

設(shè)計滑模觀測器為

(14)

其中

令

則由式(13)和(14)做差可得觀測誤差為

(15)

其中

證明:(1)選取第一個Lyapunov函數(shù)。

(16)

對時間求導(dǎo)數(shù)可得

(17)

(18)

選取第二個Lyapunov函數(shù):

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

3 輸出反饋終端滑?？刂破髟O(shè)計

定義系統(tǒng)的誤差信號e及其微分為

(25)

其中

式中,xd、yd、ψd分別為縱蕩、橫蕩、艏搖方向的期望值。

跟蹤誤差及其微分的估計值為

(26)

設(shè)計估計滑模函數(shù)為

(27)

其中

一般情況下,p2是正奇數(shù)且滿足條件:

(28)

終端滑模控制律τ(t)設(shè)計為

τ(t)=τ0+τ1.

(29)

其中

式中,μ和ξ均為控制器參數(shù)。

為了實現(xiàn)有限時間穩(wěn)定,設(shè)計了不連續(xù)的控制律τ1,然而,不連續(xù)的控制可能會產(chǎn)生較大的抖振。為了避免抖振,采用邊界層方法代替不連續(xù)控制,新的控制律τ1可以重新設(shè)計為

(30)

式中,δ為所取邊界層。

證明:選取Lyapunov函數(shù)為

(31)

(32)

代入τ0可得

(33)

代入τ1可得

(34)

(35)

其中

4 仿真驗證及分析

為驗證所設(shè)計輸出反饋終端滑模控制器的有效性,以某半潛式海洋平臺為研究對象,對定位過程進(jìn)行仿真研究。該控制對象參數(shù)來源于文獻(xiàn)[20]和[21],其質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣分別為

(36)

(37)

海洋鉆井平臺的動力定位系統(tǒng)工作時,來自海上復(fù)雜環(huán)境風(fēng)、浪、流的干擾集中在一起發(fā)生作用,仿真研究中包括與真實工況一致的高頻(high frequency)干擾和低頻(low frequency)干擾。研究兩種情況:一種是基于滑模觀測器的設(shè)定點跟蹤控制,另一種是基于滑模觀測器的期望軌跡跟蹤控制。在這兩種情況下,基于干擾和未建模特性的假設(shè)下將分別測試TSMC和SMC控制算法。

外界環(huán)境干擾和集中不確定性d為

(38)

4.1 定位控制

(39)

圖3、4給出了α=1/3時滑模觀測器對3個方向上位置和速度狀態(tài)估計追蹤曲線。由圖可知,在較短時間內(nèi)觀測器狀態(tài)估計信號能追蹤并保持在實際信號上。當(dāng)脈沖干擾f發(fā)生時,觀測器也能迅速跟蹤到系統(tǒng)的實際狀態(tài)。

圖3 滑模觀測器(x,y,ψ) 方向上位置估計Fig.3 Position estimation curves of sliding mode observer in (x,y,ψ) direction

圖4 滑模觀測器(x,y,ψ) 方向上速度估計Fig.4 Velocity estimation curves of sliding mode observer in (x,y,ψ) direction

圖5為滑模觀測器位置信號觀測誤差曲線。由圖5可知,觀測系統(tǒng)迅速響應(yīng),在t≈1 s,位置狀態(tài)估計信號能追蹤并保持到實際位置上,各方向觀測誤差均被限定在[-10-3,10-3]內(nèi),對位置信號狀態(tài)估計效果很好。圖6為滑模觀測器速度信號觀測誤差曲線。由圖6可知,觀測系統(tǒng)迅速響應(yīng),在t≈1.7 s,速度狀態(tài)估計信號能到達(dá)并保持到實際速度上,各方向觀測誤差均被限定在[-0.05,0.05]內(nèi),對速度信號狀態(tài)估計效果很好。

圖5 滑模觀測器位置信號觀測誤差Fig.5 Observation error curve of sliding mode observer position signal

圖6 滑模觀測器速度信號觀測誤差Fig.6 Observation error curve of sliding mode observer velocity signal

圖7 滑?？刂破鞫c位置追蹤Fig.7 Position tracking of sliding mode controller for fixed point

圖8 滑?？刂破鞫c速度追蹤Fig.8 Velocity tracking of sliding mode controller for fixed point

圖9分別為縱蕩、橫蕩方向的控制力和艏搖方向的控制力矩曲線。采用邊界層方法使得各控制力矩均光滑且有界。當(dāng)α=1時初始有嚴(yán)重超調(diào)現(xiàn)象。

圖9 滑?？刂破鞫c控制輸入Fig.9 Input curve of sliding mode controller for fixed point tracking

4.2 軌跡跟蹤控制

為了簡化問題,僅給出滑?？刂破鞯男阅芮€。仿真結(jié)果如圖10～13所示。

圖10 x方向軌跡位置追蹤Fig.10 Position tracking for trajectory tracking in x direction

圖12 滑?？刂破鬈壽E速度追蹤Fig.12 Velocity tracking of sliding mode controller for trajectory tracking

圖13 滑?？刂破鬈壽E控制輸入Fig.13 Input curve of sliding mode controller for trajectory tracking

5 結(jié) 論

(1)提出的新輸出反饋終端滑?？刂破髟O(shè)計方法中充分考慮了外部環(huán)境因素如風(fēng)、浪、流等干擾及未建模特性的影響,所設(shè)計滑模觀測器能夠提供船舶速度估計,并提供高頻波頻運動的濾波。

(2)利用非線性觀測器對非線性干擾進(jìn)行處理是必要的,與高增益觀測器相比,可以避免輸出飽和情況。

(3)基于滑模理論設(shè)計的輸出反饋終端滑?？刂破髂軌虮ＷC系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定,收斂到期望值附近。

(4)隨著終端滑模指數(shù)項α增大,控制系統(tǒng)性能呈現(xiàn)逐漸變差的趨勢,而且系統(tǒng)魯棒性有所下降,控制力矩也隨之增大。MATLAB仿真驗證了所設(shè)計的輸出反饋終端滑?？刂破?能夠?qū)崿F(xiàn)半潛式海洋平臺精準(zhǔn)的動力定位和軌跡追蹤控制,具備較強(qiáng)的抵抗外界干擾的能力。