吳健飛，劉勤明，呂文元，葉春明

(上海理工大學 管理學院, 上海 200093)

1 引 言

隨著現(xiàn)代化工業(yè)技術的蓬勃發(fā)展，機械設備的可靠性和維護水平已成為保證系統(tǒng)正常運行的必要條件.在實際生產過程中，隨著設備使用時間的增加，設備的性能在不斷衰退，若不進行有效的維護，設備可能會失效或者發(fā)生故障，從而會影響企業(yè)的生產效益.所以在設備的健康狀態(tài)嚴重之前，對設備進行實時的處理，可以避免一些成本高昂的維修，降低設備的維護成本，提高設備的利用率.

設備的健康預測是有效實施維護策略的關鍵，由于數(shù)據(jù)監(jiān)測和計算機技術的進步，關于設備健康預測理論的研究引起了國內外學者的關注[1-3].其中，基于馬爾可夫鏈的預測方法顯得尤為突出.例如：Du Ying等人將隱馬爾可夫模型(HMM)應用到潤滑油的壽命預測中，在該方法中，假設狀態(tài)的駐留時間服從指數(shù)分布，但這與實際并不相符[4].針對HMM中的不足，許多學者又研究了基于隱半馬爾可夫模型(HSMM)的預測和診斷，HSMM模型沒有HMM模型中不符合實際的假設，因此對實際問題具有更強的建模和分析能力.像Akram Khaleghei將HSMM模型用于部分觀測的故障系統(tǒng)的壽命預測中，并利用EM算法估計出HSMM中的參數(shù)[5].Dong等人使用隱半馬爾可夫模型(HSMM)進行機械故障診斷和故障預測，結果表明其故障識別率比HMM提高了，且基于HSMM的剩余壽命預測模型效果也較好[6，7].Wang等人針對設備運行狀態(tài)識別與故障預測問題，提出一種基于時變轉移概率的隱半Markov模型，并通過滾動軸承的實驗，證明了基于該模型的設備健康預測方法比傳統(tǒng)的隱半Markov模型方法更加有效[8].

然而目前的研究大都是基于樣本數(shù)據(jù)準確的情況下對設備進行的健康預測[9-12]，而關于在數(shù)據(jù)不確定情況下的設備健康預測文獻較少，或在數(shù)據(jù)不確定情況下對設備進行健康預測的研究很難得到令人滿意的結果[13-17].不確定數(shù)據(jù)是指在工程實際中由于噪聲、擾動、非理性測量儀器以及人為等因素導致數(shù)據(jù)在產生過程中出現(xiàn)異常的情況.

不確定的數(shù)據(jù)會導致樣本數(shù)據(jù)的不準確，不僅增加了分析數(shù)據(jù)的難度，而且會導致數(shù)據(jù)挖掘結果產生偏差，不能準確的對設備進行健康預測.因此，針對數(shù)據(jù)不確定的情況，本文基于馬爾可夫模型，首先利用DS證據(jù)理論構建狀態(tài)識別框架.其次，用區(qū)間數(shù)來表示不確定的數(shù)據(jù)，并利用區(qū)間數(shù)之間的距離和相似度作為產生BPA的證據(jù)，為了使預測結果更加準確，采用Pignistic概率轉換將BPA轉化為基礎狀態(tài)的概率分布.最后，通過一個案例研究驗證了提出方法的有效性.

2 DS-MM理論框架

2.1 DS證據(jù)理論

設θ為一有限集，2θ為θ上的冪集，m是2θ到[0,1]上的函數(shù)，若滿足：

m(φ)=0，∑A?2θm(A)=1

(1)

稱m為θ上的基本概率分配函數(shù)，?A∈2θ，m(A)稱為A的基本概率賦值，反映了對A的信任程度.如果A的基本概率賦值m(A)>0，則把A稱為θ的一個焦元.θ通常也稱為識別框架，表示在條件E下所有可能結論的基礎命題的有限集，θ的一個子集A，即2θ中的元素，可以理解為一個命題.

2.2 Markov鏈

隨機序列Xn在任一時刻n，它可以處在狀態(tài)O1,O2,…,ON，且它在l+k時刻所處的狀態(tài)為ql+k的概率，只與它在l時刻的狀態(tài)ql有關，而與l時刻以前所處狀態(tài)無關，即：

P(Xl+k=ql+k|Xl=ql,X1=q1)=P(Xl+k=ql+k|Xl=ql)

(2)

其中q1,q2,…,ql,ql+k∈(O1,O2,…,ON)，則稱Xn為Markov鏈.

并且稱Pij(l,l+k)=P(ql+k=Oj|ql=Oi)為k步轉移概率，其中1≤i,j≤N，l,k為正整數(shù).當Pij(l,l+k)與l無關時，稱這個Markov鏈為齊次Markov鏈，此時Pij(l,l+k)=Pij(k).當k=1時，Pij(1)表示單步轉移概率，簡稱為轉移概率.

3 基于DS-MM的設備健康預測

3.1 識別框架確立

根據(jù)相同設備的歷史運行狀況可以建立狀態(tài)識別框架θ={θ1,θ2,…,θn}，其中θ1,θ2,…,θn表示設備的n個基礎狀態(tài).識別框架θ的冪集為2θ，令2θ中的每個元素分別代表設備運行中的一個狀態(tài)，則設備的狀態(tài)相應的在原來的n個基礎狀態(tài)上增加了，然后根據(jù)實際情況可以確定每個狀態(tài)對應的數(shù)據(jù)范圍.

3.2 基本概率賦值計算

另外，若A=[a1,a2]，B=[b1,b2]分別表示兩個區(qū)間數(shù)，則它們之間距離的平方為：

(3)

其中，D(A,B)表示區(qū)間數(shù)A和B之間的距離.雖然采集到的數(shù)據(jù)很多是確定的，但是仍可以用區(qū)間數(shù)來表示，例如10可以表示成[10,10].因為每個狀態(tài)都有對應的數(shù)據(jù)范圍，基于公式(3)，計算采集到的數(shù)據(jù)和狀態(tài)之間的距離.然后基于區(qū)間數(shù)之間的距離計算區(qū)間數(shù)之間的相似度.區(qū)間數(shù)之間的相似度定義為：若X=[x1,x2]和Y=[y1,y2]分別表示兩個區(qū)間數(shù)，則這兩個區(qū)間數(shù)的相似度為：

(4)

最后，標準化計算出的區(qū)間數(shù)相似度就得到采集數(shù)據(jù)的基本概率賦值，具體計算過程見圖1.

圖1 基于區(qū)間數(shù)的BPA計算過程Fig.1 BPA calculation process based on interval number

通過一個例子來說明整個計算過程：若狀態(tài)E對應的數(shù)據(jù)范圍為[0,5]，狀態(tài)F對應的數(shù)據(jù)范圍為(5,10]，給定一個區(qū)間數(shù)C=[3,6]，則區(qū)間C的基本概率賦值見表1.

3.3 轉移概率計算

獲得每個采集數(shù)據(jù)的基本概率賦值后，計算各個狀態(tài)之間的轉移概率，如下：

(5)

其中m(i)t表示狀態(tài)i在第t個時間點的基本概率賦值，n表示馬爾可夫鏈的長度.所以狀態(tài)轉移概率矩陣P=[Pij].在這里，狀態(tài)之間的轉移是指識別框架中的所有狀態(tài).

3.4 健康預測計算

利用得到的狀態(tài)轉移概率矩陣P和采集到的最后一個時間點上數(shù)據(jù)的基本概率賦值m，可以計算出下一個時間點上數(shù)據(jù)的BPA，即：

m預測=m·P

(6)

其中m=m(i)，i∈2θ表示采集到的最后一個時間點上數(shù)據(jù)的基本概率賦值.

雖然得到了下一個時間點上數(shù)據(jù)的基本概率賦值，但有時想通過基本概率賦值直接進行預測還是不容易的.為了更準確的進行健康預測，本文采用Pignistic概率轉換將識別框架中所有狀態(tài)的基本概率賦值轉化為基礎狀態(tài)的概率分布.Pignistic概率轉換是為了重新分配系統(tǒng)已獲得的各命題的信度值，以得到更可靠的決策依據(jù).通常使用的分配方式是平均分配法，即認為每個元素出現(xiàn)的概率相同，因此多元素命題的BPA值被平均分配到所包含的元素中：

(7)

m(A)為A的基本概率賦值，|A|表示A中元素的個數(shù).得到了基礎狀態(tài)的概率分布即可知道下一時間點設備狀態(tài).

4 案例分析

通過機械設備的健康預測來驗證所提出方法的有效性.機械設備在運行使用過程中會經歷不同狀態(tài)的演化，假設這個演化過程服從馬爾可夫過程，并且設備的狀態(tài)可以用下面三個狀態(tài)來表示：健康狀態(tài){0}，退化狀態(tài){1}，失效狀態(tài){2}.表2是在一段時間內通過傳感器從設備上采集到的20個數(shù)據(jù)，其中在第3、6、13、16個時間時由于傳感器的波動導致采集的數(shù)據(jù)是不確定的，我們用區(qū)間數(shù)來表示這些不確定的數(shù)據(jù).

表2 一段時間內采集到的數(shù)據(jù)Table 2 Data collected over a period of time

根據(jù)相同設備的歷史信息可以得到三個基礎狀態(tài)對應的數(shù)據(jù)范圍，見表3.

表3 3個狀態(tài)下對 應的數(shù)據(jù)范圍Table 3 Corresponding data range in three states

4.1 DS證據(jù)理論確定狀態(tài)識別框架

考慮到在某時間點采集到的數(shù)據(jù)不能表示設備以概率1處于某個狀態(tài)，即數(shù)據(jù)18可能表示設備以概率0.4處于健康狀態(tài){0}，以概率0.6處于退化狀態(tài){1}.所以通過歷史信息得到的3個狀態(tài)的據(jù)范圍并不很合理.利用DS證據(jù)理論解決該問題.

因為采集到的所有數(shù)據(jù)都可以表示設備處于3個基礎狀態(tài)：健康狀態(tài){0}，退化狀態(tài){1}，失效狀態(tài){2}.所以可以構建識別框架θ={0，1，2}，得到θ的子集為{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，φ，在一個證據(jù)識別框架中這些子集分別代表一個狀態(tài)，這些狀態(tài)及對應的數(shù)據(jù)范圍見表4.

表4 識別框架中的狀態(tài)及這些狀態(tài)對應的數(shù)據(jù)范圍Table 4 Identify the states of the frame and the range of data corresponding to those states

考慮到在實際情況中，設備不可能既處于健康狀態(tài)0又處于失效狀態(tài)2，所以狀態(tài){0,2}沒有對應的數(shù)據(jù)范圍，同理，狀態(tài){0,1,2}和φ也是.所以最后的有效狀態(tài)為{0}，{0,1}，{1}，{1,2}，{2}.在狀態(tài)和對應的數(shù)據(jù)范圍確定之后，可以得到20個采樣時間點的狀態(tài)分布，見圖2.

圖2 20個采樣數(shù)據(jù)點的狀態(tài)分布Fig.2 State distribution of 20 sampling data points

4.2 計算采集數(shù)據(jù)的BPA

根據(jù)圖1的計算過程，可以獲得20個數(shù)據(jù)的基本概率賦值.以第6個采樣時間點上的數(shù)據(jù)為例來表示計算過程.因為第6個時間點上的數(shù)據(jù)是不確定的，用區(qū)間數(shù)來表示.識別框架中有效狀態(tài)對應的數(shù)據(jù)范圍也用區(qū)間數(shù)的形式表示，所以第6個時間點上的數(shù)據(jù)和有效狀態(tài)對應的數(shù)據(jù)范圍之間的距離可以利用公式(3)計算出來；然后根據(jù)公式(4)，可以計算區(qū)間數(shù)之間的相似度；最后標準化相似度就可以得到第6個時間點上的數(shù)據(jù)的BPA.結果見表5.

表5 第6個時間點上的數(shù)據(jù)的BPATable 5 BPA of data at sixth time points

對剩下的其余所有時間點上的數(shù)據(jù)重復上述過程，可以獲得每個時間點上的數(shù)據(jù)的基本概率賦值，見表6.

表6 20個時間點上數(shù)據(jù)的BPA Table 6 BPA of data at 20 time points

4.3 獲得狀態(tài)轉移概率矩陣

由表6可以看出每個數(shù)據(jù)的BPA都不為0.所以公式(5)可以推導為：

(8)

4.4 結果分析

通過上述獲得的第20個時間點的BPA和狀態(tài)轉移概率矩陣，利用公式(6)可以計算第21個時間點的BPA：

m(21)=m(20)·P=(0.0922 0.1288 0.1487 0.3472 0.2831)

然后利用公式(7)將第21個時間點的BPA轉化為基礎狀態(tài)的概率分布，即：

BetP({0})=0.0922+0.1288/2=0.1566

BetP({1})=0.1288/2+0.1487+0.3472/2=0.3867

BetP({2})=0.3472/2+0.2831=0.4567

最后得到P({0},{1},{2})=(0.1566,0.3867,0.4567).所以在第21個時間點上設備最可能處于失效狀態(tài).在實際中，相同設備在第21個時間上的確已經失效，這與預測結果相符合.

由于第3、6、13、16個時間點上的數(shù)據(jù)是不確定的，我們利用matlab軟件隨機生成4個數(shù)據(jù)，然后基于本文的方法得到狀態(tài)轉移概率矩陣：

利用公式(6)可以計算第21個時間點的BPA:

m(21)=m(20)·P=(0.0803 0.1221 0.1938 0.3571 0.2427)

然后利用公式(7)得到P({0},{1},{2})=(0.1414,0.4334,0.4213).最后結果表明設備更可能處于健康狀態(tài)1，這與實際情況不符合，所以利用區(qū)間數(shù)來處理不確定數(shù)據(jù)能更精確的預測設備的健康狀態(tài).

另外，為了驗證本文所提方法的改進性，我們利用文獻[15]中的方法來進行比較.首先采用拉依達準則法剔除樣本數(shù)據(jù)中不確定的數(shù)據(jù).拉依達準則如下：有在線監(jiān)測數(shù)據(jù)序列X={x(1),x(2),…,x(n)}，若采樣點x(i)滿足公式(9)，則認為x(i)為不確定數(shù)據(jù)應剔除.

|x(i)-x|>3σ

(9)

5 結 論

本文提出了一種針對數(shù)據(jù)不確定下如何處理設備健康預測的新方法.提出的DS-MM框架能夠有效對設備的健康狀態(tài)進行預測.考慮到區(qū)間數(shù)的性質，利用區(qū)間數(shù)來表示不確定的數(shù)據(jù)，并基于區(qū)間數(shù)之間的距離和相似度來作為產生BPA的證據(jù)，為了使預測結果更加可靠，利用Pignistic概率轉換將BPA轉化為基礎狀態(tài)的概率分布.最后，通過設備健康預測的案例分析驗證了該方法的有效性.

本文的新方法能夠有效解決機械設備健康預測中存在的數(shù)據(jù)不確定情況.但是本文僅給出了基于DS-MM模型的設備健康預測，而設備健康預測的目的是進行設備維修決策，因此下一步是根據(jù)預測結果進行設備預測維修決策的研究.