肖慶雨， 周加喜， 徐道臨, 2， 王 凱

(1．湖南大學 機械與運載工程學院，長沙 410082； 2．汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

隨著隔振技術(shù)在高精密工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，以及對低頻隔振性能的要求越來越高，新的低頻或超低頻隔振方法成為研究難點和熱點。傳統(tǒng)的線性隔振技術(shù)對于低頻振動，往往無法平衡系統(tǒng)穩(wěn)定性與隔振效果間的矛盾。準零剛度隔振方法是一種非線性隔振方法，其利用正負剛度元件并聯(lián)組合獲得高靜剛度和低動剛度，可同時降低隔振系統(tǒng)的靜位移和自振頻率，從而實現(xiàn)低頻甚至超低頻隔振。

近年來，諸多學者對準零剛度隔振技術(shù)展開了深入的研究，有力地推動了準零剛度隔振技術(shù)的發(fā)展。Alabuzhev等[1]首次較為全面地對準零剛度隔振系統(tǒng)的理論進行了闡述，并提出了若干設(shè)計方法。Carrella等[2]利用3根彈簧組合給出了準零剛度隔振器的分析模型，研究了其靜力學特性及隔振性能。徐道臨等[3]通過實驗驗證了此類準零剛度隔振器的低頻隔振性能。Kovacic等[4]利用預壓非線性彈簧替代線性彈簧，解決了系統(tǒng)動剛度在偏離平衡位置后急劇變化的問題。Zhou等[5]用磁力彈簧替代機械彈簧來獲得高靜剛度低動剛度性能，從而實現(xiàn)低頻隔振。Huang等[6]開展了沖擊激勵下基于歐拉梁負剛度結(jié)構(gòu)的隔振系統(tǒng)的理論與實驗研究。Shan等[7]將兩個相排斥的磁環(huán)與氣動彈簧組合，設(shè)計了具有高靜低動特性的小型氣動隔振裝置。Zheng等[8]將互斥磁環(huán)與彈簧組合設(shè)計了一種高靜低動剛度隔振器。Hao等[9]分析了典型準零剛度隔振系統(tǒng)的隔振特性。王毅等[10]針對重載低頻隔振難題，設(shè)計了一種緊湊的滾球型準零剛度隔振器。

然而，現(xiàn)有的準零剛度隔振方法大多關(guān)注單向隔振，關(guān)于六自由度準零剛度隔振的研究還比較少見。Sun等[11]利用四個類剪鉸裝置對稱組合實現(xiàn)了其在三個平動方向上的準零剛度特性。Platus[12]利用屈曲歐拉梁與螺旋彈簧構(gòu)造了一種六自由度低頻隔振系統(tǒng)。Wu等[13]將剪鉸裝置作為Stewart平臺的支撐，設(shè)計了一種六自由度準零剛度隔振平臺。

本文基于凸輪-滾珠-簧片梁負剛度機構(gòu)設(shè)計了一種緊湊的準零剛度壓桿，并將其應(yīng)用于八桿隔振平臺[14]，提出一種新型的六自由度準零剛度隔振平臺，并對其靜力學和動力學特性進行分析，評估其隔振性能。通過與相應(yīng)的線性平臺進行對比，驗證其優(yōu)異的低頻隔振性能。

1 準零剛度壓桿

如圖1所示的準零剛度壓桿，主要由具有負剛度的凸輪-滾珠-簧片梁機構(gòu)和正剛度元件軸向彈簧并聯(lián)組成。1-球鉸；2-細長內(nèi)桿；3-直線軸承；4-5-6-圓柱外套筒；7-可調(diào)節(jié)式圓柱內(nèi)套筒；8-軸向彈簧；9-半開口式圓柱套筒；10-環(huán)形套；11-簧片梁；12-萬向滾珠；13-螺栓；14-半球環(huán)形凸輪。當壓桿在平衡位置附近振動時，凸輪偏離靜平衡位置，帶有滾珠的簧片梁在軸向產(chǎn)生負剛度，從而減小整個系統(tǒng)的軸向剛度，當產(chǎn)生的負剛度與軸向彈簧的正剛度相等時，平衡位置的剛度為零，由此可推出壓桿的零剛度參數(shù)條件。

(a)

(b)

準零剛度壓桿的靜力分析圖如圖2所示。靜載P作用下，壓桿處于靜平衡位置，即凸輪圓心與滾珠圓心在同一水平線上，其受力分析如圖2(a)。此時，軸向彈簧的預壓量為Δx=P/kv,其中kv為軸向彈簧的剛度。當壓桿在外載f(x)作用下，凸輪偏離靜平衡位置向下移動x，此時壓桿受力分析如圖2(b)所示，細長內(nèi)桿與簧片梁各自的受力分析可見圖2(c)。通過靜力學分析，可得外載f(x)對x的關(guān)系表達式

(1)

式中，EI為簧片梁的彎曲剛度，L為簧片梁的跨距長度，r1和r2分別是萬向滾珠和半球環(huán)形凸輪的半徑，δ為簧片梁未發(fā)生形變時半球環(huán)形凸輪和萬向滾珠兩圓心之間的距離。

(a)(b)

(c)

(2)

(3)

(4)

將零剛度參數(shù)條件分別代入式(2)和(3)，可得準零剛度壓桿的無量綱回復力和剛度

(5)

(6)

圖3 準零剛度壓桿在不同值下的無量綱剛度曲線

為便于后續(xù)準零剛度隔振平臺的力學分析，將式在平衡位置處進行泰勒展開，并近似表示為

(7)

2 六自由度準零剛度隔振平臺

為解決多向低頻隔振的難題，基于八根準零剛度壓桿組合設(shè)計了一種新型六自由度準零剛度隔振平臺，如圖4所示。其中，1-被隔振質(zhì)量，2-支撐平臺，3-準零剛度壓桿，4-基礎(chǔ)平臺。八根準零壓桿兩兩組合且關(guān)于平臺中心軸(z軸)對稱布置，且每根壓桿與中心軸間的夾角均為φ,其中各壓桿投影后與坐標軸x或y之間的夾角記為β。由壓桿連接的支撐平臺及固定其上的負載(被隔振設(shè)備)可以沿六個自由度平動和轉(zhuǎn)動，而基礎(chǔ)平臺則用于隔振平臺的支撐與固定。較六壓桿平臺，八壓桿平臺穩(wěn)定性與承載能力更強。

(a)

(b)

2.1 靜力學特性分析

考慮在準零剛度隔振平臺上支撐平臺中心同時施加外載荷(Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz)T，設(shè)支撐平臺中心產(chǎn)生位移為(x,y,z,θx,θy,θz)T，則支撐平臺上四鉸點A、B、C、D的位移量為

ΔxA=x,ΔyA=y+rθz,ΔzA=z-rθy

ΔxB=x-rθz,ΔyB=y,ΔzB=z+rθx

ΔxC=x,ΔyC=y-rθz,ΔzC=z+rθy

ΔxD=x+rθz,ΔyD=y,ΔzD=z-rθx

(8)

根據(jù)準零剛度隔振平臺各鉸點上的位移量，可計算出平臺中各壓桿的軸向變形量，鑒于壓桿變形量相對壓桿桿長小得多，可近似表示為

Δl1=-xsinφcosβ+ysinφsinβ+zcosφ-

θyrcosφ+θzrsinφsinβ

Δl2=-xsinφcosβ-ysinφsinβ+zcosφ-

θyrcosφ-θzrsinφsinβ

Δl3=-xsinφsinβ-ysinφcosβ+zcosφ+

θxrcosφ+θzrsinφsinβ

Δl4=xsinφsinβ-ysinφcosβ+zcosφ+

θxrcosφ-θzrsinφsinβ

Δl5=xsinφcosβ-ysinφsinβ+zcosφ+

θyrcosφ+θzrsinφsinβ

Δl6=xsinφcosβ+ysinφsinβ+zcosφ+

θyrcosφ-θzrsinφsinβ

Δl7=xsinφsinβ+ysinφcosβ+zcosφ-

θxrcosφ+θzrsinφsinβ

Δl8=-xsinφsinβ+ysinφcosβ+zcosφ-

θxrcosφ-θzrsinφsinβ

(9)

本文僅考慮微幅振動，即平臺各壓桿中的凸輪與滾珠始終保持接觸，則壓桿內(nèi)力表達式可寫成

(10)

式中，γ=kvγ/(r1+r2)2。對準零隔振平臺進行靜力學分析可得

Fx=4γa[a3(c4+s4)x3+6a3c2s2xy2+3ab2(c2+s2)xz2-

6a2bc2srθxxy+3a2bs3rθyx2+3a2bc2srθyy2+

(11)

Fy=4γa[a3(c4+s4)y3+6a3c2s2x2y+3ab2(c2+s2)yz2+

6a2bc2srθyxy-3a2bc2srθxx2-3a2bs3rθxy2-

(12)

Fz=4γb2[2b2z3+3a2(c2+s2)x2z+3a2(c2+s2)y2z-

6absrθxyz+6absrθyxz-6a2c2r2θxθzx-

(13)

Mx=-4γbr(a3s3y3+3a3c2sx2y+3ab2syz2-

3a2bc2rθxx2-3a2bs2rθxy2-3b3rθxz2+

(14)

My=4γbr(a3s3x3+3a3c2sxy2+3ab2sxz2+3a2bs2rθyx2+

3a2bc2rθyy2+3b3rθyz2-6a2bc2rθzyz+

(15)

Mz=4γa2c2r2[3a2(c2+s2)θzx2+3a2(c2+s2)θzy2+

6b2θzz2-6b2θxxz-6b2θyyz-

(16)

式中，a=sinφ，b=cosφ，c=sinβ，s=cosβ。

2.2 動力學特性分析

考慮在準零剛度隔振平臺六個方向上同時施加簡諧激勵，并考慮阻尼影響，引入線性黏性阻尼，令系數(shù)為ci,i=1～6，其動力學方程可表示為

(17)

式中，

u={x,y,z,θx,θy,θz}T

M=diag[m,m,m,Ix,Iy,Iy],K=0

C=diag[c1,c2,c3,c4,c5,c6],F=Ft-FR

Ft={Fxo,Fyo,Fzo,Mxo,Myo,Mzo}Tcoswot

FR={Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz}T

(18)

引入無量綱項

(19)

故準零隔振平臺的動力學方程可寫為下面的無量綱形式

(20)

其中

ζ=diag{ζ1,ζ2,ζ3,ζ4,ζ5,ζ6},

(21)

3 數(shù)值仿真與討論

準零剛度隔振平臺的無量綱參數(shù)如下所示

(22)

其中，準零剛度隔振平臺平動自由度上的激勵力幅值均取為被隔振重量的1/10。

3.1 隔振平臺的剛度

平面

平面

平面

平面

平面

平面

平面

(d) θyθx平面

(e) θzθx

3.2 力傳遞率

一般利用力傳遞率評估系統(tǒng)的隔振性能，其定義為傳遞到基礎(chǔ)的力的幅值與激振力的幅值的比值。但鑒于準零剛度系統(tǒng)響應(yīng)的復雜性，通常用傳遞力和激勵力時間歷程的均方根的比值來定義力傳遞率，即：

(23)

利用龍格-庫塔方法求解隔振平臺的動力學方程得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的時間歷程，進而計算力傳遞率。通過向后掃頻分析，可得傳遞率隨激勵頻率變化的曲線，如圖所示。為體現(xiàn)準零剛度平臺隔振性能的優(yōu)越性，將其與線性隔振平臺進行對比。圖中實線和虛線分別為準零剛度和線性隔振平臺在各自由度上的力傳遞率曲線。其中，線性隔振平臺是指由八根撤除了負剛度機構(gòu)僅由軸向彈簧支撐的壓桿組合而成的平臺。

由圖7可知，準零剛度隔振平臺在各自由度上的力傳遞率峰值均低于線性隔振平臺，且準零剛度隔振平臺的下跳頻率均未超過線性隔振平臺的固有頻率。當激勵頻率超過下跳頻率后，準零剛度平臺開始發(fā)揮隔振作用，其力傳遞率遠小于線性隔振平臺，尤其在線性平臺共振區(qū)域附近；準零剛度隔振平臺的有效隔振區(qū)域明顯寬于線性隔振平臺，且隔振效果顯著提升。由此可見，準零剛度隔振平臺的隔振性能明顯優(yōu)于相應(yīng)的線性隔振平臺。相應(yīng)線性系統(tǒng)平動x與轉(zhuǎn)動θy，平動y與轉(zhuǎn)動θx存在彈性耦合，因此兩個平動(x,y)和兩個轉(zhuǎn)動(θx，θy)四個自由度上的力學傳遞率出現(xiàn)兩個峰值。注意θy自由度上的力傳遞率TMy在Ω稍大于0.5處有一個很小的峰值，與x自由度上的力傳遞率TFx的第一個峰值相對應(yīng)。

(a) TFx

(b) TMx

(c) TFy

(d) TMy

(e) TFz

(f) TMz

3.3 傾角φ對平臺隔振性能的影響

結(jié)合準零剛度隔振平臺載荷-位移關(guān)系式(11)～(16)發(fā)現(xiàn)，傾角φ對平臺剛度及承載能力影響較大。圖8和圖9描述了傾角φ對準零剛度隔振平臺隔振性能的影響。從圖8可以看出，隨著傾角φ的變化，準零剛度平臺不同自由度上的力傳遞率曲線在下跳頻率前所受影響不盡相同。在所選三組傾角φ值中，傾角φ的越大，x，y平動方向和z轉(zhuǎn)動方向上的力傳遞率峰值越大，而x，y轉(zhuǎn)動方向和z平動方向上的傳遞率峰值越小。由圖8可知，隨傾角φ的增大，下跳頻率在x，y平動方向和z轉(zhuǎn)動方向上先急劇增大再緩慢減小，而在x，y轉(zhuǎn)動方向和z平動方向上則是先緩慢減小再急劇減小。下跳頻率越小，準零剛度隔振平臺的起始隔振頻率越低，其隔振頻帶越寬，低頻隔振效果越好。鑒于此，傾角φ越大，平臺隔振性能越好。但增大傾角φ會減弱平臺承載能力。因此，為提升平臺的隔振性能，應(yīng)根據(jù)實際承載情況設(shè)計合理的傾角φ。

(a) TFx

(b) TMx

(c) TFy

(d) TMy

(e) TFz

(f) TMz

(a) Ωdx

(b) Ωdθx

(c) Ωdy

(d) Ωdθy

(e) Ωdz

(f) Ωdθz

4 結(jié) 論

針對多向低頻隔振，本文設(shè)計了一種含凸輪-滾珠-簧片梁負剛度機構(gòu)的準零剛度壓桿，通過靜力分析推導了靜平衡位置處的零剛度參數(shù)條件；基于該準零剛度壓桿，提出了一種八壓桿準零剛度隔振平臺，并對其靜、動力學特性及隔振性能進行了分析。得出以下結(jié)論：

(1) 準零剛度隔振平臺在各自由度上的隔振性能均優(yōu)于相應(yīng)的線性隔振平臺，起始隔振頻率和低頻區(qū)域內(nèi)的傳遞率均顯著低于線性隔振平臺，實現(xiàn)了六自由度低頻隔振。

(2) 壓桿傾角φ對準零隔振平臺的隔振性能有較大影響，合理設(shè)計傾角φ可同時保證承載能力和提高隔振性能。