丁傳俊， 張相炎， 劉 寧

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

多股螺旋彈簧(簡(jiǎn)稱多股簧)是由多股鋼絲擰成鋼索卷制而成的圓柱螺旋彈簧(見(jiàn)圖1)。和普通單股彈簧相比，多股簧抗沖擊性能好、吸振能力強(qiáng)、具有較大的剛度和非線性阻尼、壽命長(zhǎng)，常被用作小口徑自動(dòng)武器的緩沖復(fù)進(jìn)簧。

由于構(gòu)成彈簧的各股鋼絲之間存在著復(fù)雜的接觸(擠壓)和摩擦，多股簧在加載過(guò)程中具有明顯的非線性剛度和遲滯特性。為描述這兩種復(fù)雜的特性，王時(shí)龍等[1]和閔建軍等[2]分別建立了多股簧的靜態(tài)分段折線模型，但剛度上的突變難以真實(shí)地反映系統(tǒng)的加載和卸載特性；Zhao等[3]提出了多股簧的動(dòng)態(tài)修正Bouc-Wen模型，該模型作為光滑曲線模型，認(rèn)為恢復(fù)力不僅與加載位移有關(guān)，還與加載路徑有關(guān)。由于光滑曲線模型的恢復(fù)力與相對(duì)位移的光滑過(guò)渡關(guān)系比較符合實(shí)際，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛥?shù)可以構(gòu)造出不同能耗、漸硬或漸軟特性的遲滯模型，因此適合于多股簧建模。

Bouc-Wen模型及其修正模型的參數(shù)識(shí)別問(wèn)題可以歸結(jié)為優(yōu)化問(wèn)題，即通過(guò)定義一個(gè)關(guān)于系統(tǒng)模型的成本函數(shù)，利用優(yōu)化方法來(lái)識(shí)別多股簧響應(yīng)模型的參數(shù)。但傳統(tǒng)的優(yōu)化方法往往需要設(shè)定合適的初始值，或者需要計(jì)算成本函數(shù)的海森矩陣，因此限制了這類方法的應(yīng)用，而基于種群進(jìn)化的差分進(jìn)化算法(Differential Evolution, DE)[4-5]可以很好地彌補(bǔ)經(jīng)典優(yōu)化方法的不足，進(jìn)而受到了廣泛的關(guān)注，具體的應(yīng)用情況可以參考文獻(xiàn)[6-7]。

圖1 多股螺旋彈簧

近些年來(lái)，基于反向?qū)W習(xí)(Opposition-based Learning, OBL)的差分進(jìn)化算法(ODE)[8]及其改進(jìn)算法因具有較好的收斂速度和精度而受到廣泛的關(guān)注和研究。理論和試驗(yàn)已經(jīng)證明通過(guò)同時(shí)考慮當(dāng)前解及其反向解可以有效地使種群向全局最優(yōu)空間逼近。其中，Wang等[9]通過(guò)對(duì)求解邊界進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，提出了廣義反向算法(GODE)并論證了算法收斂性；通過(guò)論證準(zhǔn)反向點(diǎn)、普通反向點(diǎn)與全局最優(yōu)解的距離，Rahnamayan等[10]提出了準(zhǔn)反向差分進(jìn)化算法(QODE)；基于QODE，Ergezer等[11]提出了準(zhǔn)反射反向差分進(jìn)化算法(QRODE)；考慮到多數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解并不位于求解區(qū)域的中心，Xu等[12]提出了當(dāng)前最優(yōu)反向差分進(jìn)化算法(COODE)；Rahnamayan等[13]通過(guò)使用當(dāng)前種群的中心點(diǎn)代替上述COODE中的當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn)，提出了中心反向差分進(jìn)化算法(CODE)；基于種群的迭代特性，Seif等[14]提出了基于迭代過(guò)程綜合特性的綜合反向差分進(jìn)化算法(Comprehensive ODE)；為了進(jìn)一步提高差分進(jìn)化算法的局部搜索能力，Kushida等[15]和Wu等[16]分別提出了帶指導(dǎo)矢量的AODE算法和帶柯西校正算子的FODE算法。

為了解決當(dāng)前多股簧動(dòng)態(tài)模型參數(shù)識(shí)別過(guò)程中操作過(guò)程復(fù)雜、待識(shí)別參數(shù)多和求解精度低等問(wèn)題，本文提出了多股簧參數(shù)識(shí)別的改進(jìn)反向差分進(jìn)化算法。該方法在沒(méi)有最優(yōu)解先驗(yàn)知識(shí)的情況下，通過(guò)使用適度占優(yōu)個(gè)體的加權(quán)平均值作為反向計(jì)算的對(duì)稱點(diǎn)，能夠克服當(dāng)前ODE及其改進(jìn)算法中的隱含缺陷，有利于提高解的收斂速度；在變異計(jì)算過(guò)程中，使用正弦混沌映射產(chǎn)生縮放(變異)因子矩陣可以大幅度地提高種群的多樣性。通過(guò)對(duì)某自動(dòng)武器的復(fù)進(jìn)簧進(jìn)行動(dòng)態(tài)加載試驗(yàn)并對(duì)含有量測(cè)噪聲的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性和有效性；同時(shí)本文還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前算法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的噪聲不敏感，即使添加7%的人工噪聲仍能獲得滿意的結(jié)果。

1 改進(jìn)的反向差分進(jìn)化算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)DE算法

標(biāo)準(zhǔn)DE在種群初始化之后，經(jīng)過(guò)變異、雜交和選擇的多次循環(huán)操作，直到達(dá)到預(yù)定的迭代終止條件。在迭代過(guò)程中，種群大小NP、變異因子F和雜交概率Cr保持不變。四個(gè)操作過(guò)程簡(jiǎn)述如下。

(1) 初始化。設(shè)D為個(gè)體的維數(shù)，g為進(jìn)化代數(shù)，則第i個(gè)體(目標(biāo)向量)可以表示為：xi(g)=[xi,1(g),xi,2(g),…,xi,3(g)]，個(gè)體每一維上的取值可以表示為

xi,j(g)=Lj+randi,j(0,1)(Uj-Lj)

(1)

其中，1≤i≤NP，1≤g≤Gmax，Lj、Uj為第j維上的取值范圍，randi,j(0,1)為介于0和1之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

(2) 變異。以“DE/rand/1”變異策略為例來(lái)說(shuō)明變異操作(更多的策略可以參考文獻(xiàn)[4])，則變異向量為

vi(g)=xr1(g)+F(xr2(g)-xr3(g))

(2)

其中，r1、r2、r3為介于1和NP之間的互不相同的隨機(jī)整數(shù)。變異后的個(gè)體有可能落在搜索邊界之外，此時(shí)需采用隨機(jī)方法重新生成。

(3) 雜交。以Binomial雜交為例，生成試驗(yàn)向量

(3)

其中，jrand為介于1和D之間的隨機(jī)整數(shù)。

(4) 選擇?；谝粚?duì)一的競(jìng)爭(zhēng)生存策略，從xi(g)和ui(g)中選擇最優(yōu)者保留到下一代。對(duì)于最小化優(yōu)化問(wèn)題min{f(x)}，選擇機(jī)制可描述為

(4)

1.2 基于正弦迭代混沌系統(tǒng)的縮放因子

縮放因子對(duì)種群的多樣性和算法的開(kāi)發(fā)、探索能力至關(guān)重要。為了提高種群的多樣性，多種隨機(jī)化縮放因子策略被提出，比如，Salehinejad等[17]提出縮放因子的矢量隨機(jī)化策略(Vectorized Random Mutation Factor)；Chelliah等[18]提出了基于Logistic映射的混沌隨機(jī)縮放因子策略；Kumar等[19]基于Levy Flight的分布特性，提出使用隨機(jī)Levy Flight行走步長(zhǎng)作為縮放因子的方案也收到了較好的效果。

正弦混沌隨機(jī)序列[20]是一個(gè)在[0,1]區(qū)間內(nèi)波動(dòng)的變量，它具有隨機(jī)性、遍歷性、非周期性以及對(duì)初值的極度敏感性，因此適合于產(chǎn)生(0,1)范圍內(nèi)的不重復(fù)偽隨機(jī)數(shù)。將混沌隨機(jī)序列應(yīng)用于種群初始化和優(yōu)化搜索時(shí)，可以避免算法陷入局部最優(yōu)解?；谡业煦缦到y(tǒng)的縮放因子為

(5)

其中，1

1.3 基于適度占優(yōu)個(gè)體加權(quán)平均的反向差分進(jìn)化算法(WODE)

定義1基于反向?qū)W習(xí)的優(yōu)化(Opposition-based Optimization)：反向?qū)W習(xí)(Opposition-based Learning, OBL)的主要思路是同時(shí)評(píng)估當(dāng)前解和反向解，并選擇較好的解作為下一代的個(gè)體。假設(shè)實(shí)數(shù)x∈[a,b]，則其反向點(diǎn)可以被定義為

x*=a+b-x

(6)

將反向點(diǎn)概念推廣到D維搜索空間，設(shè)當(dāng)前解為x=[x1,x2,…,xD]，則其反向解x*=[x*1,x*2,…,x*D]可以被定義為：

x*j=aj+bj-xj

(7)

其中，xj∈[aj,bj]，j∈{1,2,…,D}。對(duì)于當(dāng)前最小化優(yōu)化問(wèn)題，若反向解的適度值f(x*)≤f(x)，則x被x*取代，并稱此過(guò)程為基于反向的優(yōu)化。

定義2適度占優(yōu)(Fitness Improvement)：在DE的選擇操作中，若f(ui(g))≤f(xi(g))成立，則稱個(gè)體適度占優(yōu)[21]，且適度占優(yōu)量Δf=f(xi(g))-f(ui(g))，適度占優(yōu)量的大小表明個(gè)體經(jīng)過(guò)變異和交叉后的進(jìn)化程度。

定義3基于適度占優(yōu)個(gè)體加權(quán)平均的反向?qū)W習(xí)策略(Opposition-based Learning using weighted average of fitness improvement individuals, WOBL)：設(shè)當(dāng)前迭代過(guò)程中適度占優(yōu)個(gè)體數(shù)量為N，則權(quán)重公式和反向?qū)W習(xí)的對(duì)稱點(diǎn)(加權(quán)中心點(diǎn))為

(8)

其中，i=1,2,…,N，N為適度占優(yōu)個(gè)體的數(shù)量。

在迭代后期，適度占優(yōu)個(gè)體的數(shù)量可能會(huì)小于3個(gè)，則此時(shí)的權(quán)重公式和反向?qū)W習(xí)的對(duì)稱點(diǎn)可以用下式替代計(jì)算

(9)

總之，基于適度占優(yōu)個(gè)體加權(quán)平均的反向點(diǎn)

x*j=2xw-xj

(10)

從式(6)和式(7)中可以看出，在標(biāo)準(zhǔn)ODE算法中，當(dāng)前解和其反向解之間的對(duì)稱點(diǎn)是求解區(qū)域邊界的幾何中心(如圖2(a)所示)。對(duì)于大多數(shù)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)全局最優(yōu)解一般均位于函數(shù)定義域的幾何中心，因此反向?qū)W習(xí)策略產(chǎn)生的反向解將會(huì)圍繞這個(gè)幾何中心，從而加快算法的搜索過(guò)程。

(a) 標(biāo)準(zhǔn)反向點(diǎn)

(b) 加權(quán)反向點(diǎn)

但面對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，由于缺乏關(guān)于最優(yōu)解的先驗(yàn)知識(shí)，全域最優(yōu)解一般會(huì)偏離最初定義的幾何中心(圖2(b))，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)OBL產(chǎn)生的反向解將會(huì)遠(yuǎn)離全局最優(yōu)解，導(dǎo)致算法進(jìn)行多次無(wú)效的搜索，從而降低反向?qū)W習(xí)的效用和算法的收斂速度。而基于適度占優(yōu)個(gè)體加權(quán)平均的反向?qū)W習(xí)策略(WOBL)，通過(guò)改變對(duì)稱點(diǎn)的選擇方式能夠克服ODE算法中隱含的缺陷，并加快搜索全局最優(yōu)解的進(jìn)程。基于以上描述，下面給出改進(jìn)ODE算法的流程,見(jiàn)表1。

1.4 基于適度占優(yōu)個(gè)體加權(quán)平均的反向差分進(jìn)化算法(WODE)的數(shù)值證明

本文所確定的WODE算法其收斂性可以通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)證明。下面通過(guò)建立三維球體尋優(yōu)問(wèn)題，分別假設(shè)球體中心點(diǎn)處于對(duì)稱尋優(yōu)空間和非對(duì)稱尋優(yōu)空間來(lái)驗(yàn)證WODE的成功率。三維空間球體尋優(yōu)問(wèn)題如下

(11)

對(duì)稱尋優(yōu)空間和非對(duì)稱尋優(yōu)空間分別為

(x,y,z)∈

(12)

可以看出在對(duì)稱尋優(yōu)空間中，球體的中心點(diǎn)位于尋優(yōu)空間的中點(diǎn)上，而對(duì)于非對(duì)稱尋優(yōu)空間，球體的中心處于尋優(yōu)空間的邊緣；計(jì)算時(shí)設(shè)定種群維度為5D和6D，對(duì)比算法有標(biāo)準(zhǔn)ODE算法、GODE算法，每種情況獨(dú)立計(jì)算10 000次。

計(jì)算結(jié)果如表2所示，可以看出在非對(duì)稱區(qū)間的尋優(yōu)過(guò)程中，由于缺乏關(guān)于尋優(yōu)空間的先驗(yàn)信息，當(dāng)全局最優(yōu)解偏離尋優(yōu)區(qū)間較遠(yuǎn)時(shí)，WODE比其他兩種算法更具有優(yōu)勢(shì)，而在其他情況下這種優(yōu)勢(shì)就不太能夠

表1 WODE算法的基本流程

表2 ODE、GODE和WODE的成功率

凸顯出來(lái)。這一情況也同樣適用于多股簧的參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，因?yàn)檠芯咳藛T事先并不清楚多股簧非線性剛度系數(shù)、放大因子、遲滯三參數(shù)的尋優(yōu)區(qū)間，而使用WODE算法可以提高求解過(guò)程的穩(wěn)健性，更能迅速地找到最優(yōu)解。

2 多股簧非線性響應(yīng)模型及其參數(shù)辨識(shí)

2.1 標(biāo)準(zhǔn)化Bouc-Wen遲滯模型

Ikhouane等[22]認(rèn)為經(jīng)典Bouc-Wen模型存在冗余參數(shù)，并提出精簡(jiǎn)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化Bouc-Wen遲滯模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(13)

式中：F(t)為彈簧的恢復(fù)力；x、t分別為位移和時(shí)間；κx、κω分別為屈服后剛度系數(shù)和遲滯部分初始剛度；ω(t)為純遲滯分量，對(duì)于任意的x和t，都有|ω(t)|≤1；ρ、σ、n為控制純遲滯分量ω曲線形狀的遲滯三參數(shù)。Ikhouane進(jìn)一步指出標(biāo)準(zhǔn)化Bouc-Wen模型只有在滿足σ≥0.5時(shí)才有物理意義，而且在實(shí)際應(yīng)用中，若n<1則會(huì)使微分方程的右端出現(xiàn)無(wú)限大的量，從而導(dǎo)致計(jì)算發(fā)散。

2.2 修正的標(biāo)準(zhǔn)化Bouc-Wen遲滯模型

為了獲得遲滯模型的非對(duì)稱曲線，Zhao等提出使用非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)化模型中的線性屈服后剛度系數(shù)和遲滯部分初始剛度，兩者均用多項(xiàng)式表示

(14)

式中：FE和FA分別是恢復(fù)力的非線性彈性部分和非線性放大部分；kEi和kAi分別是非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子，N是多項(xiàng)式的階數(shù)，一般取2階或3階。

從而得到可以描述多股簧動(dòng)態(tài)響應(yīng)的修正標(biāo)準(zhǔn)化Bouc-Wen遲滯模型

(15)

2.3 目標(biāo)函數(shù)及計(jì)算參數(shù)初始化

當(dāng)前算法采用三階剛度系數(shù)，則多股簧系統(tǒng)待求解參數(shù)向量p為

p=[kE0,kE1,kE2,kE3,kA0,kA1,kA2,kA3,ρ,σ,n]T

(16)

(17)

(18)

因?yàn)椴糠帜Ｐ蛥?shù)有界限約束(σ≥0.5、n≥1)，所以設(shè)置初始參數(shù)的上、下界為

(19)

設(shè)置種群大小為NP=5D，交叉率Cr=0.5，最大允許迭代次數(shù)Gmax=500，迭代終止條件為成本函數(shù)的最大最小值之差小于1.0×10-6。改進(jìn)算法的計(jì)算框架采用Rahnamayan等中所介紹的抗噪聲ODE框架，反向操作的跳轉(zhuǎn)率Jr=0.3。

3 多股簧力學(xué)實(shí)驗(yàn)、計(jì)算結(jié)果對(duì)比及其分析

3.1 多股簧力學(xué)實(shí)驗(yàn)

算法需要實(shí)測(cè)位移、恢復(fù)力數(shù)據(jù)作為輸入?yún)?shù)，當(dāng)前動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)裝置為瑞士w+b公司生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)疲勞試驗(yàn)機(jī)，試驗(yàn)裝置如圖3所示。兩根性質(zhì)相同的多股簧被安裝在上、下夾持件之間，并穿過(guò)各自的導(dǎo)桿以防止在加載過(guò)程中彎曲；下夾持件在試驗(yàn)過(guò)程中保持固定，上夾持件通過(guò)試驗(yàn)機(jī)夾頭施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)信號(hào)x(t)=Asin(ωt)。多股簧的變形量為上夾頭的位移，恢復(fù)力通過(guò)下夾頭下的傳感器測(cè)得。圖4即為不同加載幅值下，加載頻率為0.5 Hz時(shí)測(cè)得的復(fù)進(jìn)簧力/位移數(shù)據(jù)。

圖3 多股簧動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)裝置

圖4 實(shí)測(cè)的多股簧響應(yīng)

3.2 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果對(duì)比和分析

設(shè)置位移(幅值40 mm)、恢復(fù)力輸入為多股簧動(dòng)態(tài)試驗(yàn)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，設(shè)置速度輸入為位移向前差分計(jì)算的結(jié)果，然后即可采用當(dāng)前改進(jìn)的ODE算法來(lái)識(shí)別多股簧模型參數(shù)。為了對(duì)比當(dāng)前算法的性能，本文選擇標(biāo)準(zhǔn)DE算法、ODE算法及其8種改進(jìn)算法、三步法、VRF-DE算法作為對(duì)等比較算法，基本計(jì)算參數(shù)和當(dāng)前算法保持一致，其他計(jì)算參數(shù)可以參考對(duì)應(yīng)的參考文獻(xiàn)。每種算法均獨(dú)立運(yùn)行50次，最大允許迭代次數(shù)Gmax=500。

為了評(píng)估算法的性能，本文使用參數(shù)識(shí)別結(jié)果仿真出來(lái)的恢復(fù)力和試驗(yàn)結(jié)果來(lái)計(jì)算恢復(fù)力的均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)

(20)

算法的成功率SR是另一個(gè)重要的評(píng)價(jià)指標(biāo)，是指算法成功求解該函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的次數(shù)與總運(yùn)行次數(shù)的比值。

幾種算法的RMSE、迭代次數(shù)、運(yùn)行耗時(shí)(以上均取成功收斂結(jié)果的平均值)、成功率如表3所示；可以看出在固定迭代次數(shù)下，本文的改進(jìn)算法不僅用時(shí)最短而且成功率最高；其次是帶指導(dǎo)矢量的AODE算法，這說(shuō)明解的歷史收斂方向可以用來(lái)指引候選解向全局最優(yōu)解過(guò)渡；帶Cauchy校正算子的FODE算法、GODE算法和標(biāo)準(zhǔn)ODE算法性能相當(dāng)，它們?cè)诔晒β屎偷螖?shù)上均優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)DE算法，這說(shuō)明反向?qū)W習(xí)策略對(duì)提高算法的收斂速度是有利的。

其他5種反向?qū)W習(xí)算法均表現(xiàn)不佳，這說(shuō)明它們的反向?qū)W習(xí)策略對(duì)于當(dāng)前求解問(wèn)題的效用較小。文獻(xiàn)[3]所介紹的三步法雖然成功率最高，但在求解前需要采用解析算法求出未知參數(shù)初值，不僅效率較低，而且參數(shù)的精度也較低。使用矢量隨機(jī)縮放因子的VRF-DE在求解當(dāng)前問(wèn)題上表現(xiàn)較差，在規(guī)定的迭代次數(shù)范圍內(nèi)，其計(jì)算成功率為0，出現(xiàn)這種情況的原因可能在于該算法定義了不適當(dāng)?shù)目s放因子產(chǎn)生區(qū)間(F∈rand(0.5,1.5))。

表3DE(及其變種)、ODE(及其變種)和三步法的對(duì)比

Tab.3ComparisonofDE(anditsvariant),ODE(anditsvariants)andthree-stageidentificationmethod

算法RMSE/N迭代次數(shù)耗時(shí)/sSR本文算法1.771 3124.89123.2792%DE1.771 2286.73202.8066%ODE1.771 2203.11216.9174%GODE1.771 2229.14206.4570%QODE1.771 2242.18150.6264%QRODE1.771 4243.75145.3224%COODE1.771 4249.80196.5638%CODE1.773 1302.64144.9424%復(fù)合ODE算法1.771 2249.31165.0754%AODE1.771 2219.25239.6888%FODE1.771 7269.90243.8776%三步法2.745 5-130.56100%VRF-DE3.150 9500.0-0%

圖5 ODE及其變種的性能對(duì)比

圖6為多股簧非線性模型11個(gè)參數(shù)的估計(jì)結(jié)果，從圖中可以看出，遲滯三參數(shù)中的σ和n收斂速度較慢，而非線性剛度和非線性放大因子等參數(shù)大約只需要四十次迭代即趨于收斂，這說(shuō)明和其他參數(shù)相比，σ和n更容易陷入局部最優(yōu)。當(dāng)前改進(jìn)ODE算法能夠獲得較好效果的原因是：在種群進(jìn)化過(guò)程中，全局最優(yōu)解xbest≠(Lj+Uj)/2，此時(shí)的反向?qū)W習(xí)會(huì)使反向個(gè)體偏離全局最優(yōu)解。相反，使用本文的加權(quán)方案時(shí)，最優(yōu)解xbest≈xw，由此產(chǎn)生的反向個(gè)體一般會(huì)分布在全局最優(yōu)解附近，從而提高反向?qū)W習(xí)的效率，加強(qiáng)算法的全局搜索能力。與此同時(shí)，通過(guò)利用正弦混沌序列產(chǎn)生的縮放因子有利于提高種群的多樣性，增強(qiáng)算法的局部搜索能力，因此算法在收斂性、穩(wěn)定性方面優(yōu)于其他對(duì)比算法。

(a) 遲滯部分參數(shù)估計(jì)曲線

(b) 非線性剛度系數(shù)估計(jì)曲線

(c) 非線性放大因子估計(jì)曲線

當(dāng)然和其他幾種成功率比較低的算法相比，當(dāng)前算法的平均RMSE高出了0.000 1 N，出現(xiàn)這種情況的原因是：在迭代后期個(gè)體之間的差異比較小，而使用當(dāng)前種群的加權(quán)平均值作為反向計(jì)算的對(duì)稱點(diǎn)，這在一定程度上“模糊化”了對(duì)稱點(diǎn)的最優(yōu)特性，并導(dǎo)致“進(jìn)化”后期反向?qū)W習(xí)的效能下降，使“進(jìn)化”過(guò)程提前達(dá)到迭代終止條件而退出。因此，本研究的下一步著眼點(diǎn)是迭代過(guò)程中反向?qū)W習(xí)策略的自適應(yīng)機(jī)制。

3.3 測(cè)量噪聲對(duì)參數(shù)識(shí)別精度的影響

為了分析噪聲對(duì)參數(shù)辨識(shí)過(guò)程的影響，本文對(duì)實(shí)測(cè)恢復(fù)力數(shù)據(jù)添加不同強(qiáng)度級(jí)別的噪聲，噪聲等級(jí)C分別為取為0.01、0.03、0.05、0.07，帶噪聲數(shù)據(jù)的生成表達(dá)式為

Fc=F0+CArRn

(21)

式中:Rn為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)向量；Ar為試驗(yàn)數(shù)據(jù)F0的幅值，由下式給出

(22)

將含有噪聲的數(shù)據(jù)代入WODE，辨識(shí)結(jié)果圖7所示。從圖7(c)、(d)中可以看出，即使在量測(cè)噪聲較高的情況下，本文算法辨識(shí)的結(jié)果依然能夠較為精確地匹配試驗(yàn)數(shù)據(jù)；但是隨著噪聲等級(jí)的增加，辨識(shí)出來(lái)的力/位移曲線的光滑性變差，特別是在位移換向之后的加載過(guò)程中。本文算法識(shí)別的參數(shù)如表4所示，可以看出遲滯部分參數(shù)中的σ和n隨著噪聲等級(jí)的增加有增大的趨勢(shì)，但這兩個(gè)參數(shù)的增長(zhǎng)率都在15%左右(C=0.05)，而非遲滯部分參數(shù)基本不變(為了表述的簡(jiǎn)潔性，表4已將kEi和kAi按照x的升冪寫(xiě)成向量形式kE和kA)，這說(shuō)明當(dāng)前改進(jìn)ODE方法對(duì)試驗(yàn)噪聲的不敏感性。

(a) C=0.01

(b) C=0.03

(c) C=0.05

(d) C=0.07

噪聲級(jí)別CWODEρσnkEkA00.477 715.927 91.112 0[-41.584 5,2.162 9,0.004 0,0.000 1][43.411 0,0.343 3,-0.006 2,-3.362 8×10-5]0.010.464 517.796 41.141 0[-41.642 6,2.163 3,0.004 0,0.000 1][43.402 0,0.337 6,-0.006 1,-2.941 2×10-5]0.030.527 016.991 31.145 4[-41.779 6,2.135 8,0.004 4,0.000 2][43.569 2,0.343 8,-0.006 8,-3.742 0×10-5]0.050.426 218.407 11.221 8[-41.260 4,2.175 7,0.003 7,0.000 1][43.403 0,0.330 3,-0.005 8,-2.395 4×10-5]0.070.480 615.369 51.271 9[-42.183 2,2.166 8,0.004 2,0.000 1][43.556 6,0.388 3,-0.005 9,-7.066 6×10-5]

4 結(jié) 論

基于反向?qū)W習(xí)策略的ODE通過(guò)同時(shí)評(píng)價(jià)當(dāng)前解及其反向解可以加快算法的收斂速度。在此基礎(chǔ)上，本文通過(guò)引入基于適度占優(yōu)個(gè)體加權(quán)平均的反向?qū)W習(xí)策略，并與基于混沌序列的縮放因子相結(jié)合，提出了改進(jìn)ODE算法。該算法通過(guò)改變反向?qū)W習(xí)策略中對(duì)稱點(diǎn)的選擇方式，可以有效克服標(biāo)準(zhǔn)ODE算法在種群進(jìn)化前期，反向點(diǎn)偏離全局最優(yōu)解的弊端。通過(guò)使用該算法優(yōu)化多股簧動(dòng)態(tài)響應(yīng)模型的目標(biāo)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)該算法能在較少的迭代次數(shù)內(nèi)得到全局最優(yōu)解。更進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新算法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)中的噪聲不敏感，即使添加7%的人工噪聲仍能獲得滿意的結(jié)果。