王秀振， 錢永久， 瞿 浩

(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031)

對(duì)全面研究輸出反應(yīng)量受輸入隨機(jī)變量的不確定性影響，一般用靈敏性表示。眾多學(xué)者對(duì)靈敏性進(jìn)行了研究，Ratto等[1]將SDP(State Dependent Parameter)模型應(yīng)用到基于方差的靈敏性測(cè)度分析中，提高了分析效率，這對(duì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型進(jìn)行靈敏性測(cè)度分析來說，可以大大降低抽樣的樣本數(shù)量；鐘祖良等[2]對(duì)隧道的圍巖壓力相關(guān)的計(jì)算參數(shù)進(jìn)行了敏感度分析，分析了各個(gè)計(jì)算參數(shù)對(duì)隧道圍巖壓力的具體影響規(guī)律；李思等[3]對(duì)比熱容、圍巖導(dǎo)熱系數(shù)和賦存溫度3個(gè)因素進(jìn)行了對(duì)寒區(qū)隧道溫度場(chǎng)影響的敏感性分析，發(fā)現(xiàn)3個(gè)因素的影響有明顯的差異；葉繼紅等[4]在考慮了局部損傷對(duì)整體結(jié)構(gòu)的影響的基礎(chǔ)上，對(duì)結(jié)構(gòu)冗余特性進(jìn)行了響應(yīng)敏感性研究，提出了以整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能對(duì)構(gòu)件材料的敏感性極值這一冗余度評(píng)價(jià)的指標(biāo)，對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能敏感性的冗余度進(jìn)行了評(píng)價(jià)。

全局靈敏性分析和局部靈敏性分析是靈敏性分析的兩種類型，其中全局靈敏性分析，又稱為重要性分析，可以從輸入隨機(jī)變量可能取值的范圍，來全面衡量輸入隨機(jī)變量對(duì)輸出反應(yīng)量的影響情況[5]，這相對(duì)于局部靈敏性分析只能考慮輸入隨機(jī)變量取某些值時(shí)對(duì)輸出反應(yīng)量的影響，具有優(yōu)勢(shì)[6]。

重要性分析的方法有方差重要性分析、信息熵重要性分析[7]和矩獨(dú)立重要性分析[8]等，本文采用核密度估計(jì)作為信息熵重要性分析的求解方法，以型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，對(duì)影響結(jié)構(gòu)地震需求的輸入隨機(jī)變量抽樣后，進(jìn)行信息熵重要性分析，并用方差重要性分析方法進(jìn)行了對(duì)比，以驗(yàn)證其有效性。

1 信息熵重要性分析方法

1.1 信息熵的概念

變量的不確定性可以通過熵來度量，變量的不確定性越大則熵越大[9]。設(shè)離散型輸入隨機(jī)變量X的概率空間為

(1)

我們把X的所有取值的自信息的期望稱為X的平均自信息量，通常稱為信息熵(Information Entropy，IE)，簡(jiǎn)稱熵(Entropy)，記為H(X)，即

(2)

對(duì)于連續(xù)性的輸入隨機(jī)變量X，假設(shè)X的概率密度函數(shù)為fx(x)，熵可以定義為

(3)

式中:E(·)表示數(shù)學(xué)期望；樣本xk依據(jù)X的概率密度函數(shù)生成；DX表示輸入隨機(jī)變量的變化范圍。

假設(shè)一個(gè)結(jié)構(gòu)受多個(gè)輸入隨機(jī)變量的影響，輸出反應(yīng)量為

Y=g(X)

(4)

式中，X=(X1,X2,…,Xn)為輸入隨機(jī)變量。

根據(jù)信息熵理論，Y的熵可以定義為

(5)

式中:fY(y)是Y的概率密度函數(shù)；DY是Y的變化范圍。

1.2 信息熵重要性分析指標(biāo)的定義

對(duì)于式(4)的輸出反應(yīng)量Y=g(X)，如果輸入隨機(jī)變量X的值取為其實(shí)現(xiàn)值xi，這時(shí)Y的概率密度函數(shù)表示為fY|Xi=xi(y)。由于這時(shí)Xi已經(jīng)消除了不確定性，所以輸入隨機(jī)變量Xi對(duì)輸出反應(yīng)量Y的信息熵效應(yīng)定義是[10]

εi=|HY-HY|Xi=xi|

(6)

式中:HY是式(5)中輸出反應(yīng)量Y的原始熵，HY|Xi=xi是輸出反應(yīng)量Y的條件熵，定義如下

(7)

式(6)中定義的εi是輸入隨機(jī)變量Xi取其實(shí)現(xiàn)值xi時(shí)對(duì)輸出反應(yīng)量Y的效應(yīng)。Xi對(duì)輸出反應(yīng)量Y的平均效應(yīng)為

(8)

式中:E(·)表示數(shù)學(xué)期望，DXi表示輸入隨機(jī)變量Xi的變化范圍，xij(j=1,2,…,N0)表示樣本，依據(jù)Xi的密度函數(shù)生成，HY|Xi=xij表示Xi取xij(j=1,2,…,N0)條件下的條件熵。

1.3 信息熵重要性分析指標(biāo)的性質(zhì)

1.4 信息熵重要性分析指標(biāo)的求解方法

對(duì)于給定數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn，通過核密度估計(jì)，可以估計(jì)出該總體的概率密度函數(shù)[16]

(9)

式(9)是加權(quán)平均的形式，核函數(shù)(Kernal Function)K(·)是一個(gè)權(quán)函數(shù)，估計(jì)f(y)在點(diǎn)y的值時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)和利用的程度由核函數(shù)的值域和形狀控制，核密度估計(jì)的優(yōu)劣決定于核函數(shù)K(y)和帶寬h的選取。常用的核函數(shù)如表1所示。

對(duì)于四次方核函數(shù)和Epanechikov核函數(shù)，不但只有離y的距離小于帶寬h的點(diǎn)才起作用，而且起作用的數(shù)據(jù)的權(quán)重隨著與y的距離減小而變大。

表1 常用核函數(shù)

1.5 計(jì)算流程

步驟1 首先采用低偏差的Sobol序列進(jìn)行抽樣，根據(jù)各個(gè)輸入隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度抽取N個(gè)樣本，用矩陣A表示為

(10)

步驟2 通過有限元軟件OpenSees，將矩陣A中隨機(jī)變量的樣本值輸入有限元模型，得到輸出反應(yīng)量Y的N個(gè)樣本值yk(k=1,2,…,N)。

(11)

步驟5 類似于步驟2和3估計(jì)輸出反應(yīng)量Y的條件熵HY|Xi=xij。

2 工程實(shí)例1

某7層3跨的型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)，底層層高4 200 mm，標(biāo)準(zhǔn)層層高3 600 mm，如圖1所示。樓板厚度120 mm，柱距6 000 mm，鋼筋采用HRB335級(jí)鋼，混凝土保護(hù)層厚度為25 mm，型鋼強(qiáng)度等級(jí)為Q345，采用焊接H型鋼，600×600柱中型鋼為H400×400×11×18，500×500柱中型鋼為H300×300×10×15，梁中型鋼為H140×440×10×16，采用C40混凝土，梁柱截面配筋情況如表2所示，輸入隨機(jī)變量的詳細(xì)信息見表3。

(a) 平面圖

(b) 立面圖

本例選取El Centro地震動(dòng)記錄(RSN6)，來自美國(guó)太平洋地震工程研究中心PEER中的強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫，雙向作用(篇幅所限，僅列出結(jié)構(gòu)橫向的相關(guān)數(shù)據(jù))。

圖2給出了樣本量為1 024時(shí)，4種地震需求與對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量樣本值之間的散點(diǎn)圖，可以看出，最大層間位移角需求和頂點(diǎn)位移需求大致與結(jié)構(gòu)質(zhì)量成正相關(guān)的關(guān)系，基底剪力需求和最大樓層加速度需求與阻尼比大致呈先正相關(guān)后反相關(guān)的關(guān)系，4種地震需求與其他各個(gè)輸入隨機(jī)變量的關(guān)系不再一一列出。

表2 輸入隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

表3 截面信息

(a) 頂點(diǎn)位移需求(b) 最大層間位移角需求(c) 基底剪力需求(d) 最大樓層加速度需求

圖2 地震需求-結(jié)構(gòu)質(zhì)量關(guān)系

Fig.2 Seismic demand-structure quality relationship

本文得到了不同樣本數(shù)條件下的各個(gè)輸入隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的4種結(jié)構(gòu)地震需求的重要性測(cè)度指標(biāo)，如圖3和圖4所示，從圖可知，在樣本數(shù)為384以下時(shí)，各個(gè)輸入隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的4種結(jié)構(gòu)地震需求的重要性測(cè)度指標(biāo)上下波動(dòng)較大，樣本數(shù)達(dá)到384時(shí)，各個(gè)輸入隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的重要性測(cè)度指標(biāo)的值基本不變，并且各個(gè)輸入隨機(jī)變量的重要性排序[20]不發(fā)生變化，可見本文的抽樣方法需要的樣本數(shù)量較少。

2.1 信息熵重要性測(cè)度指標(biāo)

由圖3可以看出，DA、Ms和fc對(duì)結(jié)構(gòu)地震需求影響較大，其余輸入隨機(jī)變量的影響較小。

對(duì)于這4種結(jié)構(gòu)地震需求而言，當(dāng)樣本數(shù)不小于384時(shí)，各個(gè)輸入隨機(jī)變量的信息熵重要性測(cè)度指標(biāo)值變化較小，重要性排序基本不變。

(a) 頂點(diǎn)位移需求(b) 最大層間位移角需求(c) 基底剪力需求(d) 最大樓層加速度需求

圖3 信息熵重要性測(cè)度指標(biāo)

Fig.3 Information entropy importance measure index

2.2 方差重要性測(cè)度指標(biāo)

輸入隨機(jī)變量的方差重要性測(cè)度指標(biāo)如圖4所示，由于篇幅所限，不再詳細(xì)介紹方差重要性測(cè)度指標(biāo)的求解過程，見參考文獻(xiàn)[20]。

由圖4可知，當(dāng)樣本數(shù)達(dá)到384時(shí)，各個(gè)輸入隨機(jī)變量的重要性排序基本不變，方差重要性測(cè)度指標(biāo)值的變化也很小。

(a) 頂點(diǎn)位移需求(b) 最大層間位移角需求(c) 基底剪力需求(d) 最大樓層加速度需求

圖4 方差重要性測(cè)度指標(biāo)

Fig.4 Variance importance measure index

2.3 兩種指標(biāo)對(duì)比

信息熵重要性測(cè)度分析方法得到的各個(gè)輸入隨機(jī)變量的重要性測(cè)度指標(biāo)，與方差重要性測(cè)度分析方法的結(jié)果列于圖5。由圖5可以看出，采用2種分析方法得到的輸入隨機(jī)變量的重要性排序基本一致，即使是有差別的，也是重要性測(cè)度指標(biāo)的值非常小的情況下出現(xiàn)的；信息熵重要性測(cè)度指標(biāo)與方差重要性測(cè)度指標(biāo)2者的值不完全相同，這是由于兩種方法分析指標(biāo)的含義不同。

(a) 頂點(diǎn)位移需求(b) 最大層間位移角需求(c) 基底剪力需求(d) 最大樓層加速度需求

圖5 重要性測(cè)度指標(biāo)對(duì)比

Fig.5 Comparison of importance measure index

3 工程實(shí)例2

某型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)，與工程實(shí)例1中的結(jié)構(gòu)類似，只是截面鋼筋的配置以及地震動(dòng)作用方式和選取的地震動(dòng)記錄不同，截面配筋如表4所示，選取的地震動(dòng)記錄如表5所示，PGA統(tǒng)一調(diào)整為0.6g，作用于結(jié)構(gòu)縱向。

表4 截面信息

表5 地震動(dòng)記錄

基底剪力和最大層間位移角兩種地震需求的重要性指標(biāo)如圖6所示。

(a) 基底剪力需求(IE)(b) 最大層間位移角需求(IE)(c) 基底剪力需求(VAR)(d) 最大層間位移角需求(VAR)

圖6 重要性測(cè)度指標(biāo)對(duì)比

Fig.6 Comparison of importance measure index

從圖6可知，選取的7條地震動(dòng)記錄的重要性指標(biāo)有一定的差異；對(duì)于多數(shù)地震動(dòng)記錄的基底剪力需求，fys的重要性測(cè)度指標(biāo)最大，Es和Ec對(duì)應(yīng)的重要性指標(biāo)較小；對(duì)于多數(shù)地震動(dòng)記錄的最大層間位移角需求，DA、Ms和fys的重要性測(cè)度指標(biāo)較大，Es和Ec對(duì)應(yīng)的重要性指標(biāo)最小。并且信息熵重要性測(cè)度指標(biāo)和方差重要性測(cè)度指標(biāo)的差別不大。

4 結(jié)果對(duì)比

工程實(shí)例1和工程實(shí)例2的加載方式不同、截面配筋不同、PGA也不同，作用于不同結(jié)構(gòu)方向的2個(gè)工程實(shí)例中El Centro地震動(dòng)記錄的信息熵重要性測(cè)度指標(biāo)如圖7所示，由圖7(a)可知，雖然具體的重要性測(cè)度指標(biāo)值有差距，但DA、fc和fys對(duì)應(yīng)的基底剪力需求重要性指標(biāo)都較大，而Ec、Es和Ess對(duì)應(yīng)的值都較??；由圖7(b)可知，但DA、Ms和fys對(duì)應(yīng)的最大層間位移角需求重要性指標(biāo)都較大。

(a) 基底剪力需求(b) 最大層間位移角需求

圖7 結(jié)果對(duì)比

Fig.7 Comparison of results

5 結(jié) 論

本文通過信息熵重要性分析方法，以型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，研究了輸入隨機(jī)變量對(duì)4種結(jié)構(gòu)地震需求的重要性，結(jié)論如下：

(1) 信息熵重要性分析方法得到的重要性排序與方差重要性測(cè)度分析方法得到的重要性排序基本一致，信息熵重要性分析方法是一種良好的重要性分析方法。

(2) 在用El Centro地震動(dòng)記錄和7條地震動(dòng)記錄分別對(duì)型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行重要性分析時(shí)，各個(gè)輸入隨機(jī)變量的重要性指標(biāo)大小有普遍規(guī)律。

(3) 對(duì)于型鋼混凝土框架結(jié)構(gòu)，同一輸入隨機(jī)變量對(duì)4種不同的結(jié)構(gòu)地震需求的影響水平有差別，但相對(duì)而言，Ms、DA和fc對(duì)4種地震需求的影響都較大，而Ec的影響都較小。

(4) 本文采用的抽樣方法需要的樣本數(shù)量較少，幾百即可得到較好的結(jié)果。

通過與方差重要性分析方法對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，基于核密度估計(jì)的信息熵重要性分析方法是高效準(zhǔn)確的方法。