劉 暢， 付世曉， 唐笑穎， 張萌萌， 任浩杰

(1.上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240;2.約翰·霍普金斯大學(xué) 機(jī)械工程系，巴爾的摩 21218;3.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

在當(dāng)前立管渦激振動(VIV)的預(yù)報中，渦激力載荷的構(gòu)建直接決定著立管VIV預(yù)報結(jié)果的準(zhǔn)確性?，F(xiàn)有的用于預(yù)報VIV的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯u激力載荷的構(gòu)建均是基于剛性圓柱體單自由度(純橫流向或純橫流向)強(qiáng)迫振蕩試驗(yàn)建立的渦激力系數(shù)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行的[1-2]，其包括激勵系數(shù)數(shù)據(jù)庫和附加質(zhì)量系數(shù)數(shù)據(jù)庫。

然而，真實(shí)情況下VIV在順流向(IL方向)與橫流向(CF方向)都存在，并且二者相互耦合，這種運(yùn)動上的耦合使得兩個方向上的VIV水動力也相互影響[3-4]。為了揭示立管VIV在IL方向上和CF方向相互耦合作用下渦激振動響應(yīng)的特性，Jauvtis等[5]開展了低質(zhì)量比兩維自激振蕩實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其泄渦模式與單自由度自激振蕩不同：尾渦中出現(xiàn)了2T泄渦模式，即一個周期內(nèi)單邊泄落三個渦，這正是升力中含有三階成分的原因。為了獲得可更加準(zhǔn)確預(yù)報立管CF方向的VIV的數(shù)據(jù)庫，Dahl[6]開展了剛性圓柱體的二維強(qiáng)迫振蕩試驗(yàn)，試驗(yàn)中將剛性圓柱體按照一定的順流向/橫流向振蕩幅值比、橫流向的振動頻率(順流向的振動頻率假定為橫流向的2倍)以及橫流向&順流向位移相位角進(jìn)行簡諧振蕩。該試驗(yàn)獲得了可用于預(yù)測立管渦激力尤其是3階高頻渦激力的水動力系數(shù)庫。然而，該系數(shù)庫包含的數(shù)據(jù)相對比較稀疏，且基于此系數(shù)庫預(yù)報的渦激振動結(jié)果的準(zhǔn)確性還未得到有效驗(yàn)證。此外，如何利用此方法研究柔性立管VIV高頻響應(yīng)下的水動力特性也有待研究。

剛性圓柱體強(qiáng)迫振蕩試驗(yàn)?zāi)軌蚍奖愕亟⒂糜跍u激振動預(yù)報的水動力系數(shù)庫，但對于柔性立管，CF方向與IL方向的耦合效應(yīng)以及三維流場等作用，使得柔性立管在洋流作用下的渦激振動響應(yīng)極其復(fù)雜[7-11]，使得作用于柔性立管的水動力載荷不同于由剛性圓柱體單向強(qiáng)迫振蕩試驗(yàn)獲得的結(jié)果[12-13]。特別地，Vandiver發(fā)現(xiàn)了在CF方向3倍基頻和IL方向4倍基頻的高階響應(yīng)，表明真實(shí)柔性立管發(fā)生渦激振動時存在引起高頻渦激振動響應(yīng)的高頻渦激力。Wu等[14]利用梁有限元狀態(tài)矢量空間方程和基于最優(yōu)控制理論的逆分析法獲得了立管CF方向上的鎖定頻率的渦激力及其系數(shù)。Song等[15]采用模態(tài)分析法與歐拉梁動態(tài)響應(yīng)控制方程相結(jié)合的方法，利用細(xì)長柔性立管縮尺試驗(yàn)測量的應(yīng)變信息，結(jié)合最小二乘法獲得了基頻狀態(tài)下的水動力特性。對于單一頻率下的渦激力載荷，其被分解為與速度同相位的激勵力和與加速度同相位的附加質(zhì)量力，并進(jìn)一步歸一化為激勵系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)。單一頻率下的渦激力系數(shù)可以準(zhǔn)確重構(gòu)出單一頻率下的水動力載荷。

然而由于缺乏有效分析手段，上述研究中均沒有分析考慮多頻耦合下柔性立管發(fā)生渦激振動時的水動力特性。僅使用鎖定頻率下的水動力系數(shù)無法準(zhǔn)確預(yù)報多頻渦激振動。

本文提出了遺忘因子最小二乘法識別柔性立管發(fā)生多頻渦激振動下的時變渦激力系數(shù)。該算法在最小二乘法基礎(chǔ)上，引入遺忘因子，其給予更接近當(dāng)前時刻的數(shù)據(jù)更大的權(quán)重。這一修正提高了該算法對時變參數(shù)的敏感度，使其能夠識別系統(tǒng)的時變參數(shù)。使用該方法獲得了柔性立管發(fā)生多頻渦激振動時橫流向的時變渦激力系數(shù)，并將考慮多頻耦合的渦激力系數(shù)與單一頻率的渦激力系數(shù)進(jìn)行了對比研究。

1 時變渦激力系數(shù)識別

當(dāng)柔性立管發(fā)生渦激振動時，將CF方向VIV的功率譜密度最大處的頻率看做為基頻(下文中基頻均依此定義)，則CF方向的振動通常由若干個奇數(shù)倍基頻下的振動組成，即ω,3ω,5ω…，IL方向的振動通常由若干個偶數(shù)倍基頻下的振動組成，即2ω,4ω,6ω…。其中CF方向上3倍以上基頻的振動以及IL方向上4倍基頻以上的振動被稱為高頻響應(yīng)[16],在考慮浮力塊，螺旋列板時響應(yīng)頻率會更加復(fù)雜[17]。 本文考慮更一般的情況，將立管CF和IL方向在節(jié)點(diǎn)z處的位移響應(yīng)表示如下

y(z,t)=∑yi(z,t,ωi)i=1,2,3…

x(z,t)=x0(z)+∑xi(z,t,ωi)i=1,2,3…

(1)

式中:yi(z,t,ωi)代表CF方向單一頻率ωi的位移響應(yīng)；xi(z,t,ωi)代表IL方向單一頻率ωi的位移響應(yīng),x0(z)代表平均彎曲位移。

以下將建立多頻渦激振動狀態(tài)下柔性立管的時變渦激力系數(shù)模型，僅以CF方向的渦激力系數(shù)推導(dǎo)為例，IL方向的渦激力系數(shù)推導(dǎo)與之相同。

立管在節(jié)點(diǎn)z處的位移響應(yīng)y(z,t)可寫成多個單頻響應(yīng)的線性疊加

(2)

式中:ωi為立管橫流向渦激振動響應(yīng)中的第i個圓頻率；y0(z,ωi)為頻率ωi下的位移幅值；φi為頻率ωi下的相位角。對渦激振動位移進(jìn)行微分，可以得到渦激振動響應(yīng)的速度和加速度

(3)

在此情況下，立管節(jié)點(diǎn)z處的橫流向的渦激力載荷

fCF(z,t)可表示為

(4)

式中:f(z,t,ωi)為頻率ωi下的渦激力載荷，f0(z,ωi)為對應(yīng)頻率ωi下的渦激力振幅。

將其展開得

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中CLa(z,ωi)為節(jié)點(diǎn)z處頻率ωi下的附加質(zhì)量系數(shù)。

將式(6)和式(9)代入式(5)中有

(10)

其中：CLe(z,ωi)和CLa(z,ωi)即為表示CF方向節(jié)點(diǎn)z處在頻率為ωi下的激勵系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)。立管IL方向的水動力包括平均阻力和渦激力，渦激力系數(shù)推導(dǎo)與CF方向的渦激力系數(shù)推導(dǎo)類似。本文僅分析具有代表性的CF方向的渦激力載荷和渦激力系數(shù)。

從上式可以看出，當(dāng)立管VIV出現(xiàn)多頻響應(yīng)時，需要多個頻率下的激勵系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)才能準(zhǔn)確重構(gòu)出水動力載荷。為了綜合考慮多個頻率的響應(yīng)與載荷之間的耦合關(guān)系，本文求解多頻耦合下時變的水動力系數(shù)，將式(10)改寫為

(11)

其中

(12)

分別為多個單一頻率下的速度，加速度，渦激力載荷疊加，以及多頻疊加后速度時例的RMS值。

CLe(z,t),CLa(z,t)為時變的激勵系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)，其代替式(10)中多個頻率下的渦激力系數(shù)CLei(z,ωi),CLai(z,ωi),i=1,2,3…。時變的渦激力系數(shù)CLe(z,t),CLa(z,t)綜合考慮了多個頻率下的渦激力系數(shù)，以及各個頻率之間的相互影響。

當(dāng)以上求和符號中只含有單一頻率的響應(yīng)或載荷時，水動力系數(shù)的定義與定義的水動力系數(shù)一致。

隨后引入遺忘因子最小二乘法(Forgetting Factor Least Square Method)(FF-LS)[18-19]識別式(11)的時變渦激力系數(shù)。該算法在最小二乘法的基礎(chǔ)上，引入了遺忘因子，其給予更接近當(dāng)前時刻的數(shù)據(jù)更大的權(quán)重。這一修正提高了該算法對時變參數(shù)的敏感度，使其能夠準(zhǔn)確識別系統(tǒng)的時變參數(shù)，從而獲得時變渦激力系數(shù)。

將本文的渦激力載荷，渦激力響應(yīng)表示成矩陣形式

fL=[fCF(z,t1),fCF(z,t2),fCF(z,t3),…,fCF(z,tL)]T

L=1,2,3,…

(13)

式中:t1代表初始時刻，tL代表當(dāng)前觀測時刻，對于本文的渦激力系數(shù)識別問題，z代表沿立管軸向位置，fL是節(jié)點(diǎn)z從t1時刻至tL時刻的渦激力載荷時例，HL是節(jié)點(diǎn)z從t1時刻至tL時刻的的渦激振動速度，加速度時例，θ(L)是立管在節(jié)點(diǎn)z，tL時刻的未無因次化的渦激力系數(shù)。以上三個矩陣的每一行代表某一時刻的采樣數(shù)據(jù)。

式(11)中的時變渦激力系數(shù)識別可以表示為識別參數(shù)θ(L)L=1,2,3,…的時例，其滿足

fL=HLθ(L)L=1,2,3,…

(14)

式中：t1,t2,t3,…,tL代表采樣時間，并且共有L組數(shù)據(jù)被采樣。式(14)表示所有tL時刻之前的數(shù)據(jù)被用于識別時變參數(shù)θ(L)。在下文中，在tL時刻的參數(shù)θ(L)簡寫為θ。

隨后，將渦激力載荷時例和渦激振動速度，加速度時例乘上一個數(shù)據(jù)權(quán)重。觀測數(shù)據(jù)距離當(dāng)前時刻tL越近，該權(quán)重值越大。特別的，對于當(dāng)前時刻tL的數(shù)據(jù)權(quán)重為β0=1, 對于初始時刻t1的數(shù)據(jù)權(quán)重為βL-1(β為常數(shù)，并且滿足0<β≤1)。加權(quán)后的渦激力載荷表示為

(15)

同樣的，加權(quán)后的渦激振動速度和加速度表示為

(16)

時變渦激力系數(shù)需要滿足下式

(17)

(18)

(19)

根據(jù)如下的向量微分公式

(20)

式 (19)成為

(21)

(22)

將式 (15)和(16)代入式(22)

(23)

式中:μ=β2，0<μ≤1，μ稱為遺忘因子,ΛL是加權(quán)矩陣，其對角元素滿足，Λ(L)=1，Λ(k-1)=μΛ(k),非對角元素為零。該算法本質(zhì)上對不同時刻的數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，距離當(dāng)前時刻越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)，其權(quán)重越小，如圖1所示。

圖1 遺忘因子最小二乘法數(shù)據(jù)權(quán)重示意圖

Fig.1 Schematic of data weight for forgetting factor least squares method

2 識別方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的遺忘因子最小二乘法能夠準(zhǔn)確識別時變的渦激力系數(shù)，本章使用質(zhì)量-彈簧-阻尼器模型對該算法進(jìn)行驗(yàn)證。構(gòu)造如下問題。

(24)

式中：M,C,K分別為質(zhì)量塊的質(zhì)量，阻尼器的阻尼，以及彈簧的剛度，均為常數(shù)。

(25)

min[Freal(t)-Frecon(t)]2

(26)

設(shè)定M=10，C=40，K=1 500，模擬20 s的運(yùn)動，每0.01 s取一個觀測數(shù)據(jù)

設(shè)定運(yùn)動信號為

(27)

其中振動幅值A(chǔ)1=0.01,A2=0.005,振動頻率f1=1 Hz，f2=3f1=3 Hz,相應(yīng)的圓頻率為ω1=2πf1,ω2=2πf2,初始相位角為φ1=φ2=0。

圖 2是多頻疊加下的質(zhì)量塊運(yùn)動信號(位移，速度及加速度)的時例。

使用式(24)構(gòu)造出該運(yùn)動響應(yīng)對應(yīng)的載荷，對于多頻運(yùn)動響應(yīng)情況下，原系數(shù)求解問題(28)不再具有理論解

(28)

使用最小二乘法求得CLe(t)=39.55,CLa(t)=4.187，但是通過這兩個系數(shù)重構(gòu)的力信號與真實(shí)力信號差距較大(圖3)。這是因?yàn)樵诳紤]多頻耦合時，使用定常的激勵系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)不足以準(zhǔn)確重構(gòu)出力信號。

使用遺忘因子最小二乘法可獲得質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的時變激勵系數(shù)與附加質(zhì)量系數(shù)，通過該系數(shù)時例重構(gòu)出的力信號與真實(shí)力信號之間吻合較好(圖3)，此時的激勵系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)隨時間周期性變化(圖4)，這是多頻之間耦合作用引起的。結(jié)果表明本文所提出的遺忘因子最小二乘法能夠有效的識別渦激振動響應(yīng)下多頻渦激力系數(shù)。

圖2 ω1和ω2疊加下的運(yùn)動信號時例(位移，速度，加速度)

Fig.2 Time history of motion superposition underω1andω2(displacement, velocity and acceleration)

3 多頻渦激振動下柔性立管的時變水動力特性

3.1 模型試驗(yàn)

本文中均勻流場下細(xì)長柔性立管水動力模型試驗(yàn)在拖曳水池中進(jìn)行，立管模型橫置于水池中，立管兩端利用萬向節(jié)與端部裝置進(jìn)行連接。端部裝置可以為立管模型提供恒定預(yù)張力。試驗(yàn)中通過拖車帶動立管在拖曳水池中勻速運(yùn)動的方法模擬均勻來流。試驗(yàn)裝置如圖5所示。

圖3 真實(shí)渦激力，使用最小二乘法識別的系數(shù)重構(gòu)的力信號與使用遺忘因子最小二乘法識別系數(shù)重構(gòu)的力信號對比

Fig.3 Comparison among real force, force reconstructed from coefficients identified by LS method and that identified by FF-LS method

圖4 質(zhì)量-彈簧-阻尼器激勵系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)時例

Fig.4 Time history of excitation coefficient and added-mass coefficient in mass-spring-dashpot system

圖5 均勻流場下柔性立管水動力模型試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)采用的立管模型為縮尺模型，模型水動力外徑為31 mm，有效長度為7.9 m，細(xì)長比為263。立管模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表中的結(jié)構(gòu)阻尼比為立管模型在空氣中的結(jié)構(gòu)阻尼比，通過立管模型在空氣中的自由衰減試驗(yàn)獲得，在此不做詳細(xì)介紹。

試驗(yàn)中使用光纖光柵應(yīng)變傳感器測量立管模型表面的應(yīng)變響應(yīng)信息。光纖光柵應(yīng)變傳感器分別布置于立管模型的CF1、CF2、IL1以及IL2四個方向，用于測量模型在此四個方向上的應(yīng)變，即CF1、CF2、IL1和IL2，如圖6所示。立管模型的表面分別布置有88個傳感器，其中CF1，CF2方向上各19個傳感器，IL1和IL2方向上各25個傳感器。橫流向與順流向上的傳感器均均勻分布。光纖光柵傳感器的采樣頻率為250 Hz。這里需要指出的是，立管模型每個方向上所有測點(diǎn)的應(yīng)變片均埋藏在一根直徑為125～140 μm的光纖中。在模型制作時，此光纖粘貼在模型的表面，并在光纖的外面覆蓋一層厚度為0.5 m的熱縮管，以保證模型表面的光滑性。因此立管模型表面布置的應(yīng)變片不會影響模型周圍的流場以及模型的振動響應(yīng)。此外，試驗(yàn)中，立管模型上四個方向上所有測點(diǎn)的應(yīng)變信息同時采集，因此，不同測點(diǎn)處測得的應(yīng)變信息之間沒有相位延遲。

表1 立管模型參數(shù)

圖6 光纖光柵應(yīng)變傳感器安裝示意圖

Fig.6 Arrangement of strain gauges on the surface of the riser model

本文選取具有代表性的的實(shí)驗(yàn)工況：均勻流2.8 m/s下CF方向的渦激振動響應(yīng)進(jìn)行分析，下文不再贅述。該工況對應(yīng)雷諾數(shù)為6.4×104。

3.2 渦激振動響應(yīng)與渦激力

圖7(a)表示的是流場中承受張力T0的柔性立管，立管的軸線沿坐標(biāo)系的Z軸，流場方向與坐標(biāo)系的X-Z面平行且垂直于立管的軸線。此時，立管的IL面為坐標(biāo)系的X-Z面，立管的CF面為坐標(biāo)系的Y-Z面。由于流體具有黏性，流場會在立管的IL面上會產(chǎn)生不隨時間變化的阻力，即：平均阻力。在平均阻力的作用下，立管會發(fā)生彎曲變形，偏離其原始位置(Original position)，本文中將此彎曲變形稱為平均彎曲，立管發(fā)生平均彎曲后的位置稱為平衡位置(Equilibrium position)，如圖7(b)所示。此外，當(dāng)流體流經(jīng)立管表面時會在立管的周圍產(chǎn)生周期性的瀉渦，周期性的瀉渦會在立管的CF面內(nèi)和IL面內(nèi)產(chǎn)生均值為零的周期性的渦激力，使得立管在CF與IL面內(nèi)相對于平衡位置發(fā)生振動，即：渦激振動(VIV)，如圖7(b)和(c)所示。因此在流場作用下，柔性立管的水動力載荷包括：CF方向的渦激力，IL方向的平均阻力和渦激力，相應(yīng)的，立管的總體結(jié)構(gòu)響應(yīng)包括：CF方向的VIV響應(yīng)；IL方向的平均彎曲響應(yīng)和VIV響應(yīng)。

(a)

(b)

(c)

Fig.7 Response of a submerged flexible riser with a tensional force under uniform flow

根據(jù)有限元理論，立管的有限元動態(tài)響應(yīng)控制方程如下式

Mδ″+Cδ′+Kδ=F

(29)

式中：M,C和K分別為立管的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣；δ為立管的位移矩陣，δ′和δ″分別為位移矩陣δ對時間的一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，即：速度矩陣和加速度矩陣；F為立管的水動力載荷矩陣。對于節(jié)點(diǎn)個數(shù)為N，節(jié)點(diǎn)自由度為6的立管，矩陣M,C,K的維數(shù)為6N×6N；矩陣和F的維數(shù)為6N×1。

對于承受軸向張力的立管，其單元剛度矩陣Ke包括兩部分

(30)

C=αM+βK

(31)

式中：a與b為Rayleigh阻尼系數(shù)，可由立管的固有頻率及結(jié)構(gòu)阻尼比求得。

立管的位移矩陣δ可表示如下

δ=[δ1,δ2,…,δN]T(i=1,2,…,N)

(32)

式中:N為立管的節(jié)點(diǎn)個數(shù)；δi為立管節(jié)點(diǎn)i處的位移矩陣

(33)

式中：zi為立管在軸向的拉伸位移；xi和yi為立管在IL和CF面內(nèi)的線位移；θzi為立管繞其軸線，即z軸的扭轉(zhuǎn)角；θyi和θxi為立管在IL面和CF面內(nèi)發(fā)生彎曲時產(chǎn)生的繞y軸和x軸的角位移。在本文分析立管水動力載荷時忽略立管沿軸向的扭轉(zhuǎn)變形，即假定：θx=0。

立管的軸向拉伸位移可由立管表面的拉伸應(yīng)變求得；IL和CF方向的彎曲位移可以采用模態(tài)分析法[21]根據(jù)立管表面的彎曲應(yīng)變求得。

立管的角位移θyi和θxi可采用中心差分法根據(jù)立管CF和IL面內(nèi)的線位移x和y求取。

在根據(jù)立管的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立起立管的質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K以及阻尼矩陣C后，如已知立管的結(jié)構(gòu)響應(yīng)矩陣δ,δ′,δ″，根據(jù)逆有限元方法，即可在獲得流場作用下VIV發(fā)生時立管的水動力載荷F。由于求解水動力載荷的逆有限元方法與Song等使用的方法相同，且其準(zhǔn)確性已經(jīng)過驗(yàn)證，本文不再贅述，詳細(xì)驗(yàn)證結(jié)果可參見其論文。

圖8和圖9分別為渦激振動應(yīng)變的時空分布和渦激振動應(yīng)變的功率譜密度沿立管軸向分布。可以看出，該工況下CF方向的渦激振動應(yīng)變包含多個頻率成分。定義渦激振動應(yīng)變的功率譜密度最大的頻率為基頻，本文記為ω1=2π×f1=2π×16.8 rad/s，同時該應(yīng)變響應(yīng)中出現(xiàn)了三倍基頻的高階響應(yīng)，本文記為ω2=2π×f2=2π×50.4 rad/s。

使用模態(tài)分析法重構(gòu)出渦激振動位移并使用上述逆有限元理論根據(jù)VIV位移重構(gòu)出柔性立管發(fā)生VIV時的總體水動力載荷，其在下文的分析中作為真實(shí)渦激力載荷。圖10是CF方向的渦激力時空分布。圖11是水動力載荷的功率譜密度沿立管軸向分布。從圖中可以看出，柔性立管發(fā)生渦激振動時，在CF方向出現(xiàn)了三倍基頻3ω下高頻渦激力，Dahl在兩自由度剛性圓柱體自激振動試驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)了CF方向的三倍基頻渦激力，并認(rèn)為是由于高雷諾數(shù)下，立管兩自由度的運(yùn)動引起了2T泄渦模式引起的。

從渦激力的功率譜密度分布圖(圖11)中可以看出，高頻成分的作用不可忽略。

圖8 渦激振動應(yīng)變的時空分布

圖9 渦激振動應(yīng)變的功率譜密度沿立管軸向分布

圖10 渦激振動水動力載荷的時空分布

圖11 渦激振動水動力載荷的功率譜密度沿立管軸向分布

3.3 時變渦激力系數(shù)

首先，使用帶通濾波器將渦激力載荷，渦激振動速度，渦激振動加速度分解至基頻ω1=2π×16.8 rad/s和高頻ω2=2π×50.4 rad/s下，并分別記為

濾波帶寬分別為16～17.5 Hz和50.1～50.7 Hz。將基頻和高頻下的渦激振動響應(yīng)和渦激力載荷進(jìn)行線性疊加

(34)

圖12是基頻ω1，高頻ω2，基頻與高頻疊加的渦激力RMS值與濾波前渦激力RMS值軸向分布對比，發(fā)現(xiàn)僅考慮基頻ω1或僅考慮高頻ω2時，其RMS值較濾波前的渦激力載荷偏小，而同時考慮基頻ω1，高頻ω2下的渦激力載荷時，其與濾波前的真實(shí)渦激力較接近。

圖12 立管渦激力載荷RMS值沿立管軸向分布

Fig.12 Axial distribution of RMS value of vortex-induced force (solid line: superposition of basic frequencyω1and high frequencyω2, dotted line: before filter)

將式(34)代入式(11)的時變渦激力系數(shù)模型中，則需要求解的時變渦激力系數(shù)CLe(z,t),CLa(z,t)需滿足下式

(35)

隨后使用本文提出的遺忘因子最小二乘法識別出上式中的待求解的時變渦激力系數(shù)。

圖13和圖14是多頻耦合下的激勵系數(shù)與附加質(zhì)量系數(shù)時空分布，可以看出考慮多頻耦合作用時，激勵系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)會發(fā)生周期性變化，且包含多種頻率成分。

圖13 基頻ω1與高頻ω2耦合下的激勵系數(shù)時空分布

Fig.13 Time-space distribution of excitation coefficient under coupling between basic frequencyω1and high frequencyω2

圖15和圖16是不同算例下渦激力系數(shù)沿立管軸向分布(實(shí)線：時變激勵力系數(shù)的時間平均值；圓：基頻ω1下的激勵力系數(shù)；三角：高頻ω2下的激勵力系數(shù))。

圖14 基頻ω1與高頻ω2耦合下的附加質(zhì)量系數(shù)時空分布

Fig.14 Time-space distribution of added-mass coefficient under coupling between basic frequencyω1and high frequencyω2

圖15 激勵系數(shù)沿立管軸向分布(實(shí)線：時變激勵力系數(shù)的時間平均值；圓：基頻ω1下的激勵力系數(shù)；三角：高頻ω2下的激勵力系數(shù))

Fig.15 Axial distribution of excitation coefficient (solid line: Time-average value of time-varying excitation coefficient under coupling between basic frequencyω1and high frequencyω2, round: excitation coefficient under basic frequencyω1, triangle: excitation coefficient under high frequencyω2)

圖16 附加質(zhì)量系數(shù)沿立管軸向分布(實(shí)線：時變附加質(zhì)量系數(shù)的時間平均值；圓：基頻ω1下的附加質(zhì)量系數(shù)；三角：高頻ω2下的附加質(zhì)量系數(shù))

Fig.16 Axial distribution of added-mass coefficient (solid line: Time-average value of time-varying added-mass coefficient under coupling between basic frequencyω1and high frequencyω2, round: added-mass coefficient under basic frequencyω1, triangle: added-mass coefficient under high frequencyω2)

通過對比可以得出以下結(jié)論：考慮多頻耦合時的時變渦激力系數(shù)時間平均值沿立管的軸向分布與基頻下的渦激力系數(shù)沿立管軸向分布有所區(qū)別，這是高頻響應(yīng)和高頻渦激力耦合作用的結(jié)果。

為了驗(yàn)證識別的時變渦激力系數(shù)能夠準(zhǔn)確重構(gòu)出渦激力載荷，使用獲得的渦激力系數(shù)CLe(z,t),CLa(z,t)依據(jù)下式重構(gòu)出渦激力載荷

(36)

圖17是根據(jù)識別獲得的時變渦激力系數(shù)重構(gòu)出的渦激力載荷與真實(shí)渦激力在立管中點(diǎn)的時例曲線對比，兩者基本一致，表明該識別方法獲得的渦激力系數(shù)重構(gòu)得到的渦激力載荷可以準(zhǔn)確還原真實(shí)渦激力載荷的分布特性。

圖17 使用FF-LS識別得到的多頻耦合下的時變渦激力系數(shù)重構(gòu)的水動力載荷與真實(shí)水動力載荷對比

Fig.17 Comparison between real vortex-induced force and force reconstructed from time-varying vortex-induced force coefficients identified by forgetting factor least square method

4 結(jié) 論

本文提出了遺忘因子最小二乘法識別考慮多頻耦合的時變渦激力系數(shù)。首先使用質(zhì)量-彈簧-阻尼的理想模型驗(yàn)證了遺忘因子最小二乘法可以識別系統(tǒng)的時變參數(shù)。其可以考慮多頻之間的耦合效應(yīng)，且識別的時變參數(shù)可以準(zhǔn)確重構(gòu)出力信號。隨后應(yīng)用該方法識別了基頻與高頻耦合作用下，柔性立管發(fā)生渦激振動下橫流向的時變渦激力系數(shù)。結(jié)果顯示柔性立管發(fā)生多頻渦激振動時，其渦激力系數(shù)會周期性變化，且渦激力系數(shù)的時間平均值亦不同于基頻下的渦激力系數(shù)，這是基頻與高頻耦合作用的結(jié)果。使用識別的時變渦激力系數(shù)進(jìn)行反演重構(gòu)得到的渦激力與真實(shí)渦激力相吻合，驗(yàn)證了該方法識別多頻耦合下的時變渦激力系數(shù)可以準(zhǔn)確重構(gòu)渦激力載荷。本文后續(xù)工作請參見文獻(xiàn)[22]。