孫攀旭， 楊 紅,2， 劉慶林

(1.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045；2.重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045；3.深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 交通與環(huán)境學(xué)院，深圳 518172)

黏性阻尼理論時(shí)程計(jì)算具有穩(wěn)定收斂的優(yōu)點(diǎn)，但存在能量耗散與外激勵(lì)頻率相關(guān)的缺點(diǎn)[1]；復(fù)阻尼理論的每周期消耗能量與外激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)，但方程通解中含有發(fā)散項(xiàng)，導(dǎo)致時(shí)程計(jì)算不穩(wěn)定[2]?？朔ば宰枘崂碚摵蛷?fù)阻尼理論的缺陷，尋求一種新阻尼理論對(duì)有助于改善結(jié)構(gòu)動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)計(jì)算的合理性和適用性。

復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算求解時(shí)，需要依據(jù)對(duì)偶原則得到復(fù)化對(duì)偶項(xiàng)[3-5]，同時(shí)為保證結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算的穩(wěn)定收斂，直接剔除發(fā)散項(xiàng)的做法在數(shù)學(xué)處理上是不合理的[6]。因此復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程本質(zhì)是頻域運(yùn)動(dòng)方程，不能直接推廣到時(shí)域中進(jìn)行計(jì)算[7-8]。朱鏡清[9]將外激勵(lì)頻率考慮到黏性阻尼理論的阻尼力項(xiàng)中，得到頻率相關(guān)黏性阻尼運(yùn)動(dòng)方程，其為諧波作用下復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程在實(shí)數(shù)域中的表達(dá)，但無(wú)法直接適用于自由振動(dòng)反應(yīng)中。本文依據(jù)頻域轉(zhuǎn)化原則，提出包含結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率參數(shù)的頻率相關(guān)黏性阻尼運(yùn)動(dòng)方程，在滿足時(shí)程計(jì)算穩(wěn)定收斂的同時(shí)，保證了每周期能量耗散與外激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)。為方便方程的時(shí)程計(jì)算，基于速度與位移關(guān)系假定和能量守恒準(zhǔn)則，進(jìn)一步構(gòu)建了適用于時(shí)程計(jì)算的運(yùn)動(dòng)方程，結(jié)合常平均加速度法、Newmark-β法等，可得到時(shí)程積分計(jì)算的遞推表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)了頻率相關(guān)黏性阻尼理論的時(shí)程積分計(jì)算。

1 基于頻率相關(guān)黏性阻尼的時(shí)域積分

1.1 基于復(fù)阻尼的頻率相關(guān)黏性阻尼

單自由度體系的復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中，m為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，k為結(jié)構(gòu)剛度，η為復(fù)阻尼系數(shù)，g(t)為地震加速度，i為虛數(shù)單位。

復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程的通解中包含有發(fā)散項(xiàng)，發(fā)散項(xiàng)為指數(shù)增長(zhǎng)函數(shù)形式，而指數(shù)增長(zhǎng)函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上不可積分，其傅里葉變換不存在，將式(1)轉(zhuǎn)換到頻域的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)過(guò)濾發(fā)散項(xiàng)的過(guò)程，因此頻域運(yùn)動(dòng)方程是穩(wěn)定的。將式(1)進(jìn)行傅里葉變換，可得

(2)

當(dāng)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的振動(dòng)頻率不為零時(shí)，式(2)可轉(zhuǎn)化為

(3)

經(jīng)傅里葉變換之后，得時(shí)域運(yùn)動(dòng)微分方程為

(4)

式(4)對(duì)應(yīng)的特征方程為

(5)

式(5)的特征根為

(6)

式(4)對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為

xc(t)=[Acos(βt)+Bsin(βt)]e-αt

(7)

其中，

(8)

設(shè)單自由度系統(tǒng)在激勵(lì)頻率為θ的諧波作用下，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率與諧波激勵(lì)頻率相同，位移響應(yīng)為x=X1sin(θt)+X2cos(θt)，頻率相關(guān)黏性阻尼理論中其阻尼力項(xiàng)為

(9)

一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)阻尼力做的功為

(10)

阻尼力做功與消耗的能量相等，由式(10)可知在簡(jiǎn)諧荷載作用下頻率相關(guān)黏性阻尼理論中阻尼每一周期消耗的能量與外激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)。

頻率相關(guān)黏性阻尼與復(fù)阻尼在頻域范圍內(nèi)是等價(jià)的，具有每個(gè)周期消耗能量與外荷載激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)頻率相關(guān)黏性阻尼運(yùn)動(dòng)方程通解中不包含發(fā)散項(xiàng)，時(shí)程積分計(jì)算穩(wěn)定收斂。

1.2 基于速度與位移關(guān)系的頻率相關(guān)黏性阻尼

頻率相關(guān)黏性阻尼運(yùn)動(dòng)方程中含有結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率，結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率為未知項(xiàng)，因此式(4)無(wú)法直接采用逐步時(shí)程積分計(jì)算。假定結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的振動(dòng)頻率為速度與位移的比值絕對(duì)值[10]，即

(11)

將式(11)代入式(4)，可得

(12)

由式(12)可知，此時(shí)阻尼力是與彈性力大小成正比，且與運(yùn)動(dòng)速度反向，該規(guī)律與朱鏡清和Chen等[11]的研究成果一致，阻尼力為

(13)

設(shè)單自由度系統(tǒng)響應(yīng)x=Xsin(θt)，一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)阻尼力做的功為

ΔW=-2ηkX2

(14)

結(jié)構(gòu)的損耗因子為

(15)

由式(14)和(15)，可得到結(jié)構(gòu)阻尼一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量為[12]

ΔE=πηkX2

(16)

此時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量與阻尼做功大小并不相等，依據(jù)結(jié)構(gòu)阻尼消耗的能量對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行修正，改進(jìn)阻尼力為

(17)

單自由度系統(tǒng)響應(yīng)x=Xsin(θt)，一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)阻尼力做的功為

ΔW=-2λkX2

(18)

簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)內(nèi)部阻尼在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)消耗的能量ΔE與等效阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量ΔW相等，且η=2ξ，故比例系數(shù)λ為

λ=πξ

(19)

由此可得到新的運(yùn)動(dòng)方程為

(20)

(21)

其中，

(22)

采用數(shù)值積分方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，按照時(shí)間步長(zhǎng)Δt進(jìn)行離散，任意時(shí)刻可表示為tk=kΔt(k=0,1,2…)，利用tk時(shí)刻結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，計(jì)算tk+1時(shí)刻結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，但tk+1時(shí)刻的τ值無(wú)法確定，進(jìn)而無(wú)法得到運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)取值足夠小時(shí)，可利用tk時(shí)刻結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)確定tk+1時(shí)刻的τ值，并得到tk+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程，由此進(jìn)行迭代計(jì)算。

采用常平均加速度法，tk+1時(shí)刻結(jié)構(gòu)的速度和位移為[13]

(23)

將式(23)代入式(21)可得

(24)

其中，

δ=πξτkk+k

(25)

(26)

由式(23)～(26)即可實(shí)現(xiàn)基于平均加速度法的頻率相關(guān)黏性阻尼時(shí)域積分計(jì)算。

多自由度體系的頻率相關(guān)黏性阻尼運(yùn)動(dòng)方程為

(27)

式中，g(t)為地震加速度，I為與地震動(dòng)輸入有關(guān)的向量(N×1)，與g(t)方向相同的位移自由度元素為1，Ω為符號(hào)矩陣。

(28)

(29)

將單自由體系的基于平均加速度法的頻率相關(guān)黏性阻尼時(shí)程計(jì)算方法應(yīng)用到多自由度體系，即可完成時(shí)程積分計(jì)算。

2 算例分析

如圖1所示，以鋼-混凝土組成的5層剪切型混合框架結(jié)構(gòu)為例，鋼結(jié)構(gòu)的阻尼比為0.02，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的阻尼比為0.05[14]。

圖1 豎向混合框架結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度分布

Fig.1 The mass and stiffness distribution of vertical mixed structure frame

質(zhì)量矩陣為

(30)

剛度矩陣為

K=105N/m×

(31)

復(fù)阻尼理論下阻尼矩陣為

C=105N/m×

(32)

如圖2(a)、圖2(b)所示，當(dāng)?shù)卣鹱饔贸掷m(xù)時(shí)間分別小于15 s、9 s時(shí)，頻率相關(guān)黏性阻尼理論時(shí)程計(jì)算結(jié)果與復(fù)阻尼理論時(shí)程計(jì)算結(jié)果一致，證明本文提出的頻率相關(guān)黏性阻尼時(shí)程計(jì)算方法的正確性。在圖2中，隨著地震作用持時(shí)增加，復(fù)阻尼理論計(jì)算的結(jié)構(gòu)頂層位移逐漸發(fā)散，因此復(fù)阻尼理論只能合理地計(jì)算地震持時(shí)較小時(shí)的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，持時(shí)較大時(shí)計(jì)算結(jié)果將會(huì)發(fā)散。相對(duì)于復(fù)阻尼理論的時(shí)程計(jì)算結(jié)果，頻率相關(guān)黏性阻尼的計(jì)算結(jié)果在地震持時(shí)較大時(shí)依然保持了穩(wěn)定收斂。

(a) 遷安波東西方向分量

(b) El Centro波東西方向分量

Fig.2 Calculated results of structural top displacements with different methods

以結(jié)構(gòu)頂層最大位移為指標(biāo)，對(duì)混合結(jié)構(gòu)的阻尼比進(jìn)行敏感性分析。如圖3所示，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的阻尼比保持0.05不變，通過(guò)改變鋼結(jié)構(gòu)的阻尼比，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的遷安波東西分量作用下結(jié)構(gòu)頂層最大位移變化率(GJ)；鋼結(jié)構(gòu)的阻尼比保持0.02不變，通過(guò)改變鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的阻尼比，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的遷安波東西分量作用下結(jié)構(gòu)頂層最大位移變化率(GJH)。由圖3可知，相比結(jié)構(gòu)阻尼比的減小，阻尼比的增大對(duì)結(jié)構(gòu)頂層最大位移變化的影響更大；相比鋼結(jié)構(gòu)阻尼比，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)阻尼比對(duì)結(jié)構(gòu)頂層最大位移變化的影響更大。

圖3 不同阻尼比下結(jié)構(gòu)頂層最大位移的變化

Fig.3 Changes of structural top displacements of different damping ratios

3 結(jié) 論

經(jīng)理論推導(dǎo)和算例分析，得到以下結(jié)論：

(1) 基于速度與位移關(guān)系假定和能量守恒準(zhǔn)則，提出了頻率相關(guān)黏性阻尼理論，可有效解決黏性阻尼理論中能量耗散與外激勵(lì)頻率相關(guān)的缺陷問(wèn)題。

(2) 結(jié)合常平均加速度法，推導(dǎo)了頻率相關(guān)黏性阻尼運(yùn)動(dòng)方程時(shí)程積分計(jì)算的遞推表達(dá)式，算例分析表明，頻率相關(guān)黏性阻尼理論時(shí)程計(jì)算不受地震持時(shí)的限制，可有效避免復(fù)阻尼理論時(shí)程計(jì)算中的發(fā)散問(wèn)題。