姜璐涵 周 航

[江蘇省蘇州中學(xué)高三(4)班 江蘇 蘇州 215007] (蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215006)

小船渡河問(wèn)題是高中物理中較為經(jīng)典的題型，其本質(zhì)上考察的是“矢量的合成與分解”這一知識(shí)點(diǎn).針對(duì)小船渡河問(wèn)題最常見(jiàn)的考點(diǎn)即為最小運(yùn)動(dòng)時(shí)間和最小運(yùn)動(dòng)位移的計(jì)算.其中，最小運(yùn)動(dòng)時(shí)間是比較容易理解和計(jì)算的，不論船速和水速的大小如何，只要使得船頭的方向與河岸垂直，此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即為最小.但對(duì)于最小運(yùn)動(dòng)位移的問(wèn)題，則需要根據(jù)船速和水速的大小，不斷調(diào)整船頭的方向才能實(shí)現(xiàn).

題目：有一條小河寬度為S，小船在靜水中運(yùn)動(dòng)的速度為v水，河水流動(dòng)速度為v船，求小船如何渡河才能使船行駛的位移最??？(假設(shè)水流動(dòng)速度處處相等)

1 定性分析

(1)當(dāng)v船>v水時(shí)

圖1 v船>v水時(shí)v合與河岸垂直

如圖1所示,可以通過(guò)調(diào)節(jié)船頭的方向，恰巧使得合速度的方向與河岸垂直，此時(shí)小船運(yùn)動(dòng)到河對(duì)岸的位移最小，即為河寬S.

(2)當(dāng)v船

圖2 v船

2 定量分析

v船,v水及v合3個(gè)矢量恰好構(gòu)成了一個(gè)三角形，假設(shè)v船與v水的夾角為θ,如圖3所示，根據(jù)余弦定理可得

(1)

把小船的速度v船分解為沿著河岸方向的v船‖和垂直于河岸方向的v船⊥兩個(gè)分速度，則有

v船⊥=v船sinθ

(2)

圖3 v船與v水的夾角為θ

因?yàn)樾〈刂影兜姆炙俣群退倬c河岸平行，故小船運(yùn)動(dòng)到河對(duì)岸的有效速度為v船⊥，則小船渡河過(guò)程中的有效時(shí)間為

(3)

小船渡河運(yùn)動(dòng)的位移為

L=v合t

(4)

由式(1)～(4)得

(5)

(6)

由小船渡河問(wèn)題進(jìn)行定性分析時(shí)知，只有調(diào)整船頭的方向滿足一定條件才能使得小船運(yùn)動(dòng)的位移最小，所以需要將L對(duì)θ進(jìn)行求導(dǎo)，經(jīng)計(jì)算和化簡(jiǎn)得

(7)

令式(7)=0，得

(8)

因?yàn)閨cosθ|≤1，所以有

(9)

將式(9)代入式(6)得

本文通過(guò)定性分析和定量分析兩種方法對(duì)小船渡河的最小位移問(wèn)題進(jìn)行了深入剖析.通過(guò)定性分析，對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的整個(gè)物理機(jī)制和原理有了更深層次的認(rèn)識(shí)和理解；利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)的思想進(jìn)行定量分析，使解題思路更加清晰明了，在一定程度上提高了跨學(xué)科素養(yǎng)和綜合解決問(wèn)題的能力.

高中物理知識(shí)與生活密切相關(guān)，因此生活中的物理現(xiàn)場(chǎng)也常被搬到物理課堂中.但往往會(huì)出現(xiàn)很多物理問(wèn)題需要以數(shù)學(xué)知識(shí)為抓手，這就使得我們很難進(jìn)行定量分析.所以，高中學(xué)生可以嘗試或者思考如何將數(shù)學(xué)知識(shí)或方法融合到物理思維當(dāng)中.這不僅可以使得相關(guān)物理問(wèn)題迎刃而解，也能實(shí)現(xiàn)從點(diǎn)到線再到面的全方位提高學(xué)生的綜合素質(zhì).