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        非線性極小極大問題的分?jǐn)?shù)階粒子群算法

        2019-01-21 10:41:52李昌興惠莉萍
        西安郵電大學(xué)學(xué)報 2018年6期
        關(guān)鍵詞:微積分適應(yīng)度粒子

        李昌興, 徐 邁, 惠莉萍

        (1.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710121; 2.西安科技大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710054)

        非線性極小極大問題(nonlinear minimax problem, NMP)是一類典型的非可微優(yōu)化問題,在工程優(yōu)化設(shè)計、電子線路優(yōu)化設(shè)計、計算機輔助幾何設(shè)計、最優(yōu)控制及對策論中有著廣泛應(yīng)用。工程實際中很多問題,如非線性L1、L∞擬合問題和非線性方程組求解,都可以轉(zhuǎn)化成極小極大問題的數(shù)學(xué)模型。

        將信息論中的熵概念引入函數(shù)優(yōu)化領(lǐng)域,由此得出的極大熵函數(shù)轉(zhuǎn)化方法[1]可將非光滑問題轉(zhuǎn)化為光滑優(yōu)化問題,利用經(jīng)典優(yōu)化方法,如信賴域法、擬牛頓法、共軛梯度法、SQP方法等[2-6],求解光滑優(yōu)化問題,即可得到非光滑問題的近似最優(yōu)解。然而,這些傳統(tǒng)優(yōu)化方法的計算效率受初始點的選取影響比較大,且大多算法都要使用目標(biāo)函數(shù)的梯度信息,這就給問題的求解帶來了困難。

        智能優(yōu)化算法不需要使用函數(shù)的梯度信息和初始點,計算效率較高。其中,粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[7]的原理較為簡單且程序容易實現(xiàn),目前已被廣泛應(yīng)用于數(shù)值優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、數(shù)據(jù)挖掘和系統(tǒng)控制等領(lǐng)域。

        對于非線性極小極大問題,可結(jié)合改進的粒子群算法與極大熵函數(shù)求解[8],也可結(jié)合差分進化算法與極大熵函數(shù)法求解[9],或者結(jié)合粒子群-鄰近點混合算法和極大熵函數(shù)法求解[10]。但是,粒子群算法是一種依概率收斂的隨機優(yōu)化算法,對多峰多谷的復(fù)雜優(yōu)化問題,易陷入局部最優(yōu)?;诜?jǐn)?shù)階速度的粒子群算法(PSO with fractional-order velocity,F(xiàn)OPSO)使用分?jǐn)?shù)階微分的定義,改進了粒子群算法的速度更新公式[11],相較于經(jīng)典粒子群算法,收斂速度更快。

        本文將針對極小極大問題中,極大值函數(shù)不可微的特點,先用極大熵函數(shù)法將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成可微函數(shù),再利用分?jǐn)?shù)階粒子群算法求解可微的近似優(yōu)化問題。

        1 極大熵函數(shù)法

        考慮無約束優(yōu)化問題

        利用極大熵函數(shù)法,可將無約束非線性極小極大問題轉(zhuǎn)化為光滑函數(shù)的無約束優(yōu)化問題。極大熵函數(shù)定義為[4]

        (1)

        其中,p≥1為控制參數(shù),F(xiàn)p(x)即為函數(shù)f(x)在變量x∈n上的極大熵函數(shù)。

        對于有限值p,F(xiàn)p(x)是可微的,且式(1)可以改寫為[4]

        由此可得

        函數(shù)Fp(x)的值隨著參數(shù)p的增加而單調(diào)減小,且當(dāng)p趨于無窮大時,F(xiàn)p(x)以f(x)為極限,即

        在實際數(shù)值計算時,只要參數(shù)p取得足夠的大,就可以使用極大熵函數(shù)Fp(x)代替不可微目標(biāo)函數(shù)f(x),從而可將原來的非線性極小極大問題的求解轉(zhuǎn)化為一個易于求解的可微函數(shù)的無約束優(yōu)化問題。

        2 分?jǐn)?shù)階粒子群算法

        分?jǐn)?shù)階微積分(fractional calculus,F(xiàn)C)是數(shù)學(xué)分析的一個分支,也是應(yīng)用科學(xué)中的數(shù)學(xué)工具之一。它是經(jīng)典微積分的自然延伸,其微分算子及積分算子的階數(shù)可擴展到實數(shù)或復(fù)數(shù)范圍。換言之,分?jǐn)?shù)階微積分是傳統(tǒng)積分和微分的泛化,它將非整數(shù)值包含到導(dǎo)數(shù)或者積分的冪中。因可用于大量自然現(xiàn)象的精確描述,分?jǐn)?shù)階微積分已被成功應(yīng)用于諸多科學(xué)領(lǐng)域,如工程科學(xué)、計算數(shù)學(xué)和流體力學(xué)等。事實上,針對服務(wù)于建模、曲線擬合、濾波、模式識別和邊緣檢測等應(yīng)用的眾多算法,分?jǐn)?shù)階微積分為提高其穩(wěn)定性、可控性、可觀察性和魯棒性等性能,發(fā)揮著重要作用。

        一元函數(shù)x(t)的Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微分定義為

        (2)

        其中,α∈(0,1],Γ(·)是伽瑪函數(shù)。

        式(2)揭示:雖然整數(shù)階導(dǎo)數(shù)僅僅意味著有限序列,但分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)需要無限多項;整數(shù)導(dǎo)數(shù)是“局部”運算符,與此相反,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)毫無疑問地包含了過去所有事件的“記憶”。

        式(2)的近似表達式為

        (3)

        其中,T是采樣周期,r是截斷次序。

        分?jǐn)?shù)階模型具備固有的記憶特性,非常適合描述諸如不可逆性和混沌現(xiàn)象。據(jù)此可知,分?jǐn)?shù)階微積分工具非常適合描述粒子軌跡的動態(tài)現(xiàn)象。使用分?jǐn)?shù)微積分,可以控制粒子群優(yōu)化算法的收斂速度。

        為了修改速度導(dǎo)數(shù)的階數(shù),需要重新排列粒子群算法的原始速度方程

        vt+1=vt+φ1(pbest-x)+φ2(gbest-x),

        (4)

        該表達式可以重新寫為

        vt+1-vt=φ1(pbest-x)+φ2(gbest-x)。

        (5)

        式(5)左側(cè)的vt+1-vt是階數(shù)α=1(假設(shè)T=1)時微分的離散形式,故有

        Dα[vt+1]=φ1(pbest-x)+φ2(gbest-x)。

        (6)

        如果考慮分?jǐn)?shù)微積分的特點,速度微分的階數(shù)可以推廣為實數(shù)α∈[0,1],這樣可以獲得更平滑的變化和更長的記憶效應(yīng)。考慮表達式(3)給出的微分的第一個r=4項,表達式(6)可改寫為[11]

        當(dāng)r≥4時,實驗測試可得相似結(jié)果。

        實驗測試中,根據(jù)表達式

        α的值從0.9到0.4線性變化。其中,t為當(dāng)前迭代次數(shù),而最大迭代次數(shù)IM=5 000。

        3 結(jié)合極大熵的分?jǐn)?shù)階粒子群算法

        將極大熵函數(shù)法和分?jǐn)?shù)階粒子群算法相結(jié)合,給出一種解決非線性極小極大問題的新算法。

        3.1 粒子群速度更新公式的改進

        選用速度更新公式[11]

        (7)

        位置更新公式不變,仍為

        xt+1=xt+vt+1。

        (8)

        3.2 算法步驟

        步驟1對每個粒子初始化,確定粒子群規(guī)模N、加速常數(shù)c1和c2、問題維數(shù)d、最大迭代次數(shù)IM、問題的位置和速度的上下限,并隨機產(chǎn)生N個初始位置和N個初始速度。

        步驟2將極大熵函數(shù)代替原目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度值函數(shù),計算每個粒子的適應(yīng)度值vf。

        步驟3對每個粒子,若粒子的適應(yīng)度值vf優(yōu)于歷史的個體最優(yōu)位置Pi的適應(yīng)度值,則將當(dāng)前適應(yīng)度值設(shè)置為個體極值Ibest,當(dāng)前位置為個體最優(yōu)位置Pi。

        步驟4對每個粒子,若粒子的適應(yīng)度值vf優(yōu)于歷史的全局最優(yōu)位置Pg的適應(yīng)度值,則將當(dāng)前適應(yīng)度值設(shè)置為全局極值Gbest,當(dāng)前位置為全局最優(yōu)位置Pg。

        步驟5根據(jù)公式(7),更新粒子的速度,并將其限制在Vmax內(nèi)。

        步驟6根據(jù)公式(8),更新粒子的位置,并將其限制在[Xmin,Xmax]內(nèi)。

        步驟7如果達到終止條件,則輸出問題的解;否則更新迭代次數(shù),并轉(zhuǎn)到步驟2。

        3.3 重要說明

        (1) 在轉(zhuǎn)化極大熵函數(shù)時,由于要求p的值足夠大,所以計算機在計算時易導(dǎo)致epfi(x)發(fā)生數(shù)據(jù)溢出,故在計算時采用與文獻[8]中相同的計算技巧來避免數(shù)值溢出。

        (2) 對于較為復(fù)雜的非線性極小極大問題,將粒子群規(guī)模取大以達到避免早熟收斂的目的。

        4 數(shù)值實驗

        取參考文獻[5-6,8,12-15]中的8個非線性極小極大問題做測試。

        問題1(Charalambous-Conn 2問題)

        參數(shù)n=2,m=3。

        f2(x)=(2-x1)2+(2-x2)2,

        f3(x)=2e(-x1+x2)。

        問題2(Charalambous-Conn 1問題)

        參數(shù)n=2,m=3。

        f2(x)=(2-x1)2+(2-x2)2,

        f3(x)=2e(-x1+x2)。

        問題3參數(shù)n=2,m=3。

        f2(x)=sinx1,f3(x)=cosx2。

        問題4參數(shù)n=3,m=6。

        f3(x)=x1+x2+x3-1,

        f4(x)=x1+x2-x3+1,

        問題5(Wong1問題) 參數(shù)n=7,m=5。

        f1(x)=(x1-10)2+5(x2-12)2+

        f3(x)=f1(x)+10(7x1+3x2+

        問題6參數(shù)n=3,m=30。

        fi(x)=-fi-15(x)(i=16,17,…,30)。

        ui=i,vi=16-i,wi=min{ui,vi},y=(y1,y2,…,y15)= (0.14,0.18,0.22,0.25,0.29,0.32,0.35,0.39, 0.37,0.58,0.73,0.96,1.34,2.10,4.39)。

        問題7(Demyanov-Malozemov問題)

        參數(shù)n=2,m=3。

        f1(x)=5x1+x2,f2(x)=-5x1+x2,

        問題8(Rosen-Suzuki問題)

        參數(shù)n=4,m=4。

        5x2-21x2+7x4,

        x1-x2+x3-x4-8),

        2x1-x2-x4-5)。

        在主頻為2.80 GHz的windows10系統(tǒng)下,使用MATLAB R2014a軟件進行仿真實驗,算法執(zhí)行50次,各問題的最優(yōu)解迭代過程和50次運行結(jié)果變化分別如圖1和圖2所示。相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下:控制參數(shù)p的值設(shè)置為105;加速常數(shù)c1=c2=1.449 45;粒子群規(guī)模為500;最大迭代次數(shù)為5 000;最大速度為2;粒子搜索范圍根據(jù)問題變化,問題1、問題2和問題8的搜索范圍為[-2,2],問題3和問題4的搜索范圍為[-1,1],問題5的搜索范圍為[-5,5],問題6的搜索范圍為[-4,4],問題7的搜索范圍為[-3,3]。計算結(jié)果和平均運行時間見表1。

        圖1 各問題的最優(yōu)解迭代過程

        圖2 各問題50次運行結(jié)果變化

        算例算法搜到的最優(yōu)值收斂時迭代次數(shù)50次搜索成功率/%平均運行時間/s例1本文算法x*=(1.000 000 000 0, 1.000 000 000 0)TFp(x*)=2.000 000 000 014910036.085 9文獻[12]x*=(1,1)T; Fp(x*)=2---文獻[13]2.001 415---文獻[14]x*=(1.000 008, 1.000 019)TFp(x*)=2.000 071---例2本文算法x*=(1.139 037 653 0, 0.899 559 937 6)TFp(x*)=1.952 224 493 97210033.203 9文獻[8]x*=(1.139 042 920 5, 0.899 556 536 1)TFp(x*)=1.952 224 494-100-文獻[12]x*=(1.139 037 652, 0.899 559 938 4)TFp(x*)=1.952 224 494---文獻[13]1.952 253---例3本文算法x*=±(0.453 296 230 8, -0.906 592 474 1)TFp(x*)=0.616 432 435 69810034.258 1文獻[5]x*=(0.453 3, -0.906 6)TFp(x*)=0.437 9---文獻[6]0.616 433---文獻[8]x*=±(0.453 293 317 2, -0.906 591 789 5)TFp(x*)=0.616 432 435 6-100-例4本文算法x*=(0.328 259 953 4, 0, 0.131 320 064 1)TFp(x*)=3.599 719 299 87610037.915 6文獻[5]x*=(0.328 3, 0, 0.131 3)TFp(x*)=-1.074 1---文獻[6]3.599 72---文獻[12]x*=(0.328 259 95, 0, 0.131 320 063 6)TFp(x*)=3.599 719 300---例5本文算法x*=(2.330 499 393 8, 1.951 372 389 8,-0.477 541 376 5, 4.365 726 185 8,-0.624 486 980 3, 1.038 130 998 8, 1.594 226 719 4)TFp(x*)=680.630 057 374 422010041.966 4文獻[6]680.63---文獻[14]x*=(2.330 5, 1.951 4, -0.477 54, 4.365 7, -0.624 49, 1.038 1, 1.594 2)TFp(x*)=680.630 1---文獻[15]680.630 06---例6本文算法x*=(0.053 469 387 8, t, -(3.5+t))T(-1.6≤t≤-0.4)Fp(x*)=0.050 816 326 59310043.004 5文獻[6]0.050 816 9---文獻[12]x*=±(0.053 469 387 76,t,3.5-t)T(0.5≤t≤1.5)Fp(x*)=0.050 816 326 53---例7本文算法x*=(0.000 000 000 0, -3.000 000 000 0)TFp(x*)=-3.000 000 000 01810031.017 1文獻[13]-3---例8本文算法x*=(0.000 000 000 0, 1.000 000 000 0,2.000 000 000 0, -1.000 000 000 0)TFp(x*)=-44.000 000 000 0126 110031.786 3文獻[8]x*=(0.007 155 659 5, 1.017 545 258 6,1.989 755 776 4, -1.008 662 343 0)TFp(x*)=-43.997 888 387 3-100-文獻[13]-43.999 8---文獻[14]x*=(0.000 158 83, 0.998 69, 2.000 49, -0.999 677)TFp(x*)=-43.999 99---

        由圖1和圖2可見,本文算法收斂快(收斂時迭代次數(shù)見表1)、穩(wěn)定性好。由表1可見,本文算法的計算結(jié)果整體優(yōu)于文獻[5-6,8,12-15]中的結(jié)果。

        對于例1,搜索得到的最優(yōu)解2就是已知的精確解,與文獻[12]的結(jié)果相同,比文獻[13]的結(jié)果2.001 415和文獻[14]的結(jié)果2.000 071都要精確;對于例2,本文搜索得到的最優(yōu)解1.952 224 493 9比文獻[8]的結(jié)果1.952 224 494 0、文獻[12]的結(jié)果1.952 224 494和文獻[13]的結(jié)果1.952 253都要好;對于例3,本文搜索得到的最優(yōu)解0.616 432 435 6與文獻[8]的結(jié)果0.616 432 435 6相同,比文獻[5]的結(jié)果0.437 9準(zhǔn)確,比文獻[6]的結(jié)果0.616 433更好;對于例4,本文搜索得到的最優(yōu)解3.599 719 299 8比文獻[5]的結(jié)果-1.0741準(zhǔn)確,比文獻[6]的結(jié)果3.599 72和文獻[12]的結(jié)果3.599 719 300都要好;對于例5,本文搜索得到的最優(yōu)解680.630 057 374 4比文獻[6]的結(jié)果680.63、文獻[14]的結(jié)果680.630 1和文獻[15]的結(jié)果680.630 06都要好;對于例6,本文搜索得到的最優(yōu)解0.050 816 326 5比文獻[6]的結(jié)果0.050 816 9和文獻[12]的結(jié)果0.050 816 326 53都要好;對于例7,本文搜索得到的最優(yōu)解-3與文獻[13]的結(jié)果-3一樣;對于例8,本文搜索得到的最優(yōu)解-44是已知精確解,比文獻[8]的結(jié)果-43.997 888 387 3、文獻[13]的結(jié)果-43.999 8和文獻[14]的結(jié)果-43.999 99都更好。

        5 結(jié)語

        本文針對極小極大問題中極大值函數(shù)不可微以及智能優(yōu)化算法不需要使用函數(shù)的梯度信息和初始點的特點,提出了一種將分?jǐn)?shù)階粒子群算法與極大熵函數(shù)法相結(jié)合的新算法來解決非線性極小極大問題。首先利用極大熵函數(shù)法將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成可微的函數(shù);其次利用分?jǐn)?shù)階粒子群算法求解可微的近似優(yōu)化問題。數(shù)值實驗結(jié)果表明,本文提出的算法是一個可以解決非線性極小極大問題的有效算法。

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