劉 立 業(yè)

(石家莊職業(yè)技術學院 電氣與電子工程系，河北 石家莊 050081)

0 引言

為了確保能源設備運行與操作的可靠性與穩(wěn)定性，需要維持自控系統(tǒng)的基本參數(shù)不變.在一些情況下，需要在很小的范圍內維持一定的操作復位速率.因此，為了實現(xiàn)能源設備操作運行的穩(wěn)定性，自動控制系統(tǒng)(Automated Control Systems，縮寫為ACS)的功能就需要進行拓展和升級，以滿足現(xiàn)場復雜工作和生產環(huán)境的需要.

先進魯棒控制技術與ACS中的軟硬件相結合，極大地提高了ACS的靈活性與穩(wěn)定性.這是由于優(yōu)先選擇控制器的結構和整定控制器的參數(shù)能夠降低系統(tǒng)的運行與維護成本[1].魯棒控制系統(tǒng)運行時，僅依靠于可能的、外部干擾的先驗信息[2]，這是H∞(H無窮)控制器的主要特征，也說明魯棒控制系統(tǒng)具有一定的保守性.因此，魯棒控制器是為了在最差的工況下保持系統(tǒng)的穩(wěn)定運行而設計的.

但魯棒分析法中嚴格的數(shù)學算法并不完全適合解決具體的工程任務，這是由于魯棒分析法的算法較為復雜，且計算所得的控制器為理論控制器，具有高階、大時滯和非線性等特點.基于上述情況，迫切需要一種簡化的魯棒控制器設計方法.

控制系統(tǒng)的控制精度取決于控制器和被控對象的類型.在設計控制器的過程中應考慮到被控對象的具體特征.如果被控為非自衡對象，那么控制器的設計過程就非常復雜，且很難達到預期的控制效果.非自衡對象的主要特征是被控模型中包含有積分器，而積分器的存在會增大系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，且使控制器的設計過程變得更加復雜.對于穩(wěn)定的被控對象，許多控制方法都可以實施，例如傳統(tǒng)的PID(Proportion-Integration-Differentiatio，譯為比例-積分-微積)控制器或者Smith預測控制等.對帶積分器的被控對象，人們也提出了大量的控制方法[3].雖然傳統(tǒng)的PID控制器也能應用于帶積分器的被控對象，但PID控制器容易導致控制系統(tǒng)品質惡化.由于帶積分器的被控對象本身不穩(wěn)定，導致閉環(huán)控制系統(tǒng)也不穩(wěn)定；而Smith預測控制要求內部是穩(wěn)定的，在積分對象中很難取得較好的控制效果.

為此，迫切需要提出一種新型的控制器設計方法，以適用于對非自衡被控對象的控制，并且使控制系統(tǒng)具有期望的魯棒特性及穩(wěn)定性.

1 問題描述

內?？刂?Internal Model Control，簡稱IMC)的控制原理是，基于過程數(shù)學模型，通過引入低通濾波器設計系統(tǒng)控制器.文獻[4]研究了一些經常使用的積分指示器，這些暫態(tài)的指示器包含了系統(tǒng)的動態(tài)、頻域和魯棒穩(wěn)定條件等重要信息.為了解決帶大時間常量被控對象由輸出到外部干擾通道的轉換問題，提出了一種改進型的IMC控制策略.這種控制方法的主要原理是，通過減少特征方程中的極點，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性.通過這種控制方法，不僅可以得到控制系統(tǒng)自適應控制器的解析解，還可以得到控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的條件.

魯棒控制的最終目的是為了轉化成可實現(xiàn)的PID控制器，這種控制理論稱之為魯棒PID控制理論[5].魯棒PID控制器的優(yōu)點是能夠解決系統(tǒng)控制器結構受限條件下的魯棒控制問題.在實踐中經常使用PI(Proportion-Integration，簡寫為PI)控制器或PID控制器.文獻[5]提出了基于IMC控制策略的PID控制器整定方法，證明了魯棒PID控制器的可行性和易操作性.

在控制器設計中，考慮使用系統(tǒng)魯棒性的控制方法一般有兩種情況：一種是已知魯棒控制系統(tǒng)，但沒有明確的系統(tǒng)魯棒區(qū)域[6]；另一種是有明確的魯棒區(qū)域.為優(yōu)化干擾輸出通道的轉化過程，文獻[7]提出了基于IMC分析法的PID控制器參數(shù)整定策略.第二種情況的主要設計思想是，利用魯棒性的定義，設計期望的閉環(huán)系統(tǒng)的最大靈敏度函數(shù)，然后求解相應的控制器參數(shù)，并且將之拓展到二自由度控制系統(tǒng)中.

H∞控制屬于魯棒控制的范疇，是對系統(tǒng)的頻域特性進行整形，并通過調整系統(tǒng)頻率域特性來獲得預期特性的方法，它主要研究被調輸出和噪聲之間的傳遞函數(shù)的無窮范數(shù)是否小于給定的值.魯棒H∞控制，在某些場合下可以表示系統(tǒng)參數(shù)受擾動的情況下，依然保持H∞范數(shù)小于某個界，這是H∞控制技術最大的優(yōu)勢.本文針對二階非自衡對象，提出一種基于H∞控制理論的魯棒內模PID控制器的設計方法.

2 非自衡對象的H∞-IMC控制器設計方法

經典的負反饋控制系統(tǒng)如圖1所示.

圖1經典的負反饋控制系統(tǒng)

圖1中，P(s)為非自衡被控對象；R(s)為控制器；d(s)為干擾輸入量；u(s)為控制量；e(s)為誤差量；r(s)為輸入量；y(s)為輸出量；s為拉普拉斯算子.

圖1中有兩個獨立的輸入量r(s)和d(s)，兩個獨立的輸出量y(s)和u(s).使閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當且僅當從輸入量r(s)和d(s)到輸出量y(s)和u(s)之間的傳遞函數(shù)矩陣H(s)是穩(wěn)定的.

(1)

將內?？刂破鬓D換成經典的反饋控制結構如圖2所示.

圖2中，Q(s)為IMC控制器；Pm(s)為被控對象P(s)的匹配模型.當系統(tǒng)模型完美匹配時，有Pm(s)=P(s)，可計算得出內?？刂芉(s)為：

圖2等效內模控制結構

(2)

因此，等效反饋控制器的傳遞函數(shù)為：

(3)

那么傳遞函數(shù)矩陣H(s)可以表示為：

(4)

在系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)中，當被控對象P(s)是非自衡對象且Q(s)穩(wěn)定時，整個系統(tǒng)就穩(wěn)定；當P(s)中加入不穩(wěn)定的積分環(huán)節(jié)時，就不能保證整個系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

因此，假設在圖2中，P(s)為非自衡對象，要保證系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足兩個條件：Q(s)穩(wěn)定和[1-P(s)Q(s)]P(s)為穩(wěn)定的傳遞函數(shù).

假設被控對象為二階非自衡對象，其傳遞函數(shù)為：

(5)

公式(5)中，T為慣性時間常數(shù)，s為拉普拉斯算子，k0為增益系數(shù)，e-τs為時滯環(huán)節(jié)，τ為時滯時間.采用一階Taylor近似法對時滯環(huán)節(jié)進行處理，可得：

(6)

系統(tǒng)內部穩(wěn)定時，需滿足以下條件：

(7)

為了實現(xiàn)這個條件，需采用Q(s)的最簡形式：

(8)

‖V(s)S(s)‖∞=‖V(s)[1-P(s)Q(s)]‖∞≥

(9)

那么最優(yōu)的控制器Q1opt(s)=τ.

代入到公式(8)中可得：

(10)

針對非自衡對象，需要引入一個濾波器F(s)，以保證非自衡對象的自動穩(wěn)定性及漸進跟蹤特性，即

Q(s)=Qopt(s)F(s).

(11)

(12)

公式(12)中，λ為魯棒特性參數(shù)；F(s)濾波器中的系數(shù)m必須保證Q(s)是正則的.系數(shù)m的取值由公式(13)確定：

(13)

由公式(12)可知，采用三階濾波器即可滿足系統(tǒng)的漸進跟蹤特性.

濾波器F(s)的表達式為：

(14)

將公式(14)代入最優(yōu)控制器Q(s)中，并根據公式(3)可得到等效的反饋控制器：

(15)

將等效反饋控制器R(s)轉化為PID控制器的形式.理想的PID控制由比例 (P)、積分(I)和微分(D)組成.但由于理想PID控制器容易出現(xiàn)高頻增益及受噪聲影響等現(xiàn)象，因此需引入低通濾波器抑制高增益及噪聲干擾現(xiàn)象.

(16)

公式(16)中kr為比例單元系數(shù)，Ti為積分單元系數(shù)，Td為微分單元系數(shù)，Tf為低通濾波器時間常數(shù).將公式(15)展開后，與公式(16)中的對象系數(shù)相等，可得：

(17)

3 仿真示例

根據公式(16)和公式(17)可知，PID控制器參數(shù)與魯棒特性參數(shù)λ有關，即PID控制器的參數(shù)的表達式為：

(18)

PID控制器參數(shù)與魯棒特性參數(shù)λ的關系如圖3所示.

a kr-λ關系

b Ti-λ關系

c Td-λ關系

d Tf-λ關系

從圖3可以看出，積分參數(shù)Ti與λ為線性關系，其他3個參數(shù)均為非線性關系.整個控制器的性能僅由閉環(huán)控制系統(tǒng)的非傳遞函數(shù)的常量決定.

圖4為不同λ值下的系統(tǒng)響應輸出階躍曲線.

圖4 不同λ值條件下的系統(tǒng)響應輸出曲線

從圖4可以看出，λ的值越大，系統(tǒng)的魯棒特性越強，系統(tǒng)的性能越差，超調量越大，調節(jié)時間越長；相反，λ的值越小，系統(tǒng)的魯棒特性越弱，系統(tǒng)性能越好，超調量越小，調節(jié)時間越短.因此，參數(shù)λ能夠很好地衡量控制系統(tǒng)的動態(tài)性能.

4 結語

本文提出的魯棒內模PID控制器設計的方案適用于二階非自衡時滯的被控對象，根據不同的控制要求選取不同的魯棒特性參數(shù)λ，就能夠得到滿意的控制系統(tǒng)設定值跟蹤性能.用此方案設計的魯棒內模PID控制器結構簡單，參數(shù)整定容易，可以得到期望的控制效果.