尹玉祥, 姚炳學

(聊城大學 數(shù)學科學學院, 山東 聊城 252059)

模糊代數(shù)作為模糊數(shù)學的一個重要分支,吸引了許多學者的研究.1965年,Zadeh首次提出了模糊集的概念.1971年,Rosenfeld首次將模糊集理論應用到群上,開始了模糊代數(shù)的研究.隨著研究的深入,模糊子群、模糊正規(guī)子群、模糊商群的許多性質(zhì)逐漸得到研究.1990年,Biswas提出了反模糊子群的概念.隨后,不少學者對反模糊子群展開了一系列有意義的研究.文獻[1]研究了(λ,μ)-反模糊子群,文獻[2]研究了(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群、(λ,μ)-反模糊商群、(λ,μ)-商反模糊子群,文獻[3]研究了反模糊子群的運算及性質(zhì),文獻[4]研究了(λ,μ)-商模糊子群,文獻[5]研究了商模糊子群及其同構定理,文獻[6-7]研究了模糊子群的同態(tài),文獻[8-9]研究了模糊群與模糊子群的同構問題,文獻[10]研究了模糊群與反模糊子群,文獻[11]研究了基于模糊相等的模糊映射,文獻[12-13]研究了模糊商群及環(huán)的模糊同態(tài)問題,文獻[14-15]研究了模糊同態(tài)及由模糊子集生成的f-模糊子群.

1 預備知識

如無特別說明,本文中G、G1、G2表示群,e、e1和e2分別表示它們的單位元,λ和μ為常數(shù),且滿足0≤λ<μ≤1,并規(guī)定infφ=1.

定義1.1[1]設A為G的模糊子集,若對任意的x,y∈G,滿足：

1)A(xy)∧μ≤A(x)∨A(y)∨λ;

2)A(x-1)∧μ≤A(x)∨λ,

則稱A為G的一個(λ,μ)-反模糊子群.

定理1.1[2]設A為G的模糊子集,則A為G的(λ,μ)-反模糊子群的充要條件是：對任意的x,y∈G,滿足A(x-1y)∧μ≤A(x)∨A(y)∨λ.

定義1.2[2]設A為G的(λ,μ)-反模糊子群,如果對任意的x,y∈G,A(xyx-1)∧μ≤A(y)∨λ,則稱A為G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群.

定理1.2[2]設A為G的(λ,μ)-反模糊子群,則A為G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群的充要條件是：對任意的x,y∈G,A(xy)∧μ≤A(yx)∨λ.

定義1.3[2]設A為G的反模糊子群,?a,b∈G,定義G的模糊子集a°A與A°b分別為:

(a°A)(x)=(A(a-1x)∧μ)∨λ, ?x∈G,

(A°b)(x)=(A(xb-1)∧μ)∨λ, ?x∈G.

定理1.3[2]設A與B為B的(λ,μ)-反模糊子群,a,b∈G,則:

1)a°(b°A)=(ab)°A；

2) (A°a)°b=A°(ab)；

3) (a°A)°b=a°(A°b).

定理1.4[3]設A與B是G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,則A∪B也是G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群.

定理1.5[4]設A為G的一個(λ,μ)-反模糊子群,則對任意的x,y∈G,

x°A=y°A?

A(x-1y)∧μ∨λ=A(e)∧μ∨λ?

A(xy-1)∧μ∨λ=A(e)∧μ∨λ.

定義1.4[4]設A為G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,則稱G/A為G關于A的(λ,μ)-反模糊商群,其中

G/A={g°A|g∈G},

(g1°A)(g2°A)=(g1g2)°A.

定義1.5設A為G的模糊子集,B為G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,定義G/B的模糊子集A/B為

A/B(x°B)=

inf{A(t)|t∈G,t°B=x°B}, ?x∈G.

定理1.6[4]設A與B分別為G的(λ,μ)-反模糊子群與(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,則A/B是G/B的(λ,μ)-反模糊子群,且滿足

A/B(e°B)∧μ∨λ=A(e)∧μ∨λ.

特別地,若A為G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,則A/B是G/B的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群.

定義1.6設A與B分別為G的(λ,μ)-反模糊子群與(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,則稱A/B為A關于B的(λ,μ)-商反模糊子群.

定義1.7設X與Y為2個非空集合,f為從X到Y的映射,A與B分別為X與Y的模糊子集,定義Y的模糊子集f(A)與X的模糊子集f-1(B)如下：

f(A)(y)=inf{A(t)f(t)=y},y∈Y,

f-1(B)(x)=B(f(x)),x∈X.

2 (λ,μ)-反模糊子群的同態(tài)與同構

定義2.1[5]設A與B分別為G1與G2的(λ,μ)-反模糊子群,如果存在G1到G2的同態(tài)滿射f,滿足：

1)f(A)?B,則稱A與B弱同態(tài),記為A～B；

2)f(A)=B,則稱A與B同態(tài),記為A≈B；

3)f(A)=B且f為同構映射,則稱A與B同構,記為A?B.

定理2.1[6]設A與B分別為G的(λ,μ)-反模糊子群與(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,則A≈A/B.

證明考慮自然同態(tài)f:G→G/B,f(x)=x°B,?x∈G,

f(A)(x°B)=inf{A(t)|f(t)=x°B}=

inf{A(t)|t°B=x°B}=A/B(x°B),

即f(A)=A/B,故A≈A/B.

引理2.1設A與B為G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,且A?B,若A(e)∧μ∨λ=B(e)∧μ∨λ,則對任意x,y∈G,x°A=y°A的充分必要條件是(x°B)°(A/B)=(y°B)°(A/B).

證明任意x,y∈G,若x°A=y°A,則

A(x-1y)∧μ∨λ=A(e)∧μ∨λ,

于是

(A/B)((x-1y)B)∧μ∨λ≤A(x-1y)∧μ∨λ=

A(e)∧μ∨λ=(A/B)(e°B)∧μ∨λ,

即

(A/B)((xB)-1(yB))∧μ∨λ=

(A/B)(e°B)∧μ∨λ,

于是

(x°B)°(A/B)=(y°B)°(A/B).

反之,若

(x°B)°(A/B)=(y°B)°(A/B),

則

(A/B)((x-1y)B)∧μ∨λ=

(A/B)((xB)-1(yB))∧μ∨λ=

(A/B)(e°B)∧μ∨λ=A(e)∧μ∨λ,

即

inf{A(t)|t°B=(x-1y)B}∧μ∨λ=

A(e)∧μ∨λ.

若t∈G滿足t°B=(x-1y)°B,則

B(t-1x-1y)∧μ∨λ=B(e)∧μ∨λ,

則

A(x-1y)∧μ∨λ≤

A(t)∨A(t-1x-1y)∧μ∨λ≤

A(t)∨B(t-1x-1y)∧μ∨λ=

A(t)∨B(e)∧μ∨λ=

A(t)∨A(e)∧μ∨λ=A(t)∧μ∨λ,

從而

A(x-1y)≤

inf{A(t)t°B=(x-1y)°B}∧μ∨λ=

A(e)∧μ∨λ,

所以x°A=y°A.

定理2.2[8]設f為G1到G2的同態(tài)滿射,A與B分別為G1的(λ,μ)-反模糊子群與(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,如果B*=kerf,則A/B≈f(A),其中

B*={x∈G|B(x)∧μ∨λ=

B(e)∧μ∨λ}.

證明作h:G1/B→G2,x°B→f(x),則?x1,x2∈G1,

B(e1)∧μ∨λ?

所以h不僅是映射而且是單射,而由f是滿射可知h也是滿射.又

h((x1°B)(x2°B))=h((x1x2)°B)=

f(x1x2)=f(x1)f(x2)=h(x1°B)h(x2°B),

故h是同構映射.

?y∈G2,可知

h(A/B)(y)=

inf{(A/B)(x°B)|h(x°B)=y}=

inf{(A/B)(x°B)|f(x)=y}=

inf{inf{A(t)|t°B=x°B}|f(x)=y}=

inf{A(t)|B(t-1x)∧μ∨λ=

B(e)∧μ∨λ,f(x)=y}=

inf{A(t)|t-1x∈kerf,f(x)=y}=

inf{A(t)|f(t)=f(x),f(x)=y}=f(A)(y),

即h(A/B)=f(A),因此A/B≈f(A).

定義2.2設f:G1→G2為群的同態(tài)映射,A為G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,若對任意的x1,x2∈G1,f(x1)=f(x2)?A(x1)=A(x2),則稱A為f不變的.

易知,若A為f不變的,則f-1(f(A))=A.

引理2.2設f:G1→G2為群的同態(tài)滿射,B為G1的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,且B為f不變的,則對任意的x1,x2∈G1,

x1°B=x2°B?f(x1)°f(B)=f(x2)°f(B).

證明由于f為同態(tài)滿射,所以f(B)為G2的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,于是

B(e1)∧μ∨λ?

f(B)(f(x1)-1f(x2))∧μ∨λ=

f(B)(e2)∧μ∨λ?

f(x1)°f(B)=f(x2)°f(B).

反之

f(x1)°f(B)=f(x2)°f(B)?

f(B)(f(x1)-1f(x2))∧μ∨λ=

f(B)f(e2)∧μ∨λ=B(e1)∧μ∨λ?

f(B)(f(x1)-1f(x2))∧μ∨λ=

B(e1)∧μ∨λ?x1°B=x2°B,

即

x1°B=x2°B?f(x1)°f(B)=f(x2)°f(B).

定理2.3設f:G1→G2為群的同態(tài)滿射,A與B分別為G1的(λ,μ)-反模糊子群與(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,若B為f不變的,則

A/B?f(A)/f(B).

證明作h:G1/B→G2/f(B),x°B→f(x)°f(B),?x∈G1,則由引理2.2,h為單射,又因為f為滿射,故h也是滿射,?x1,x2∈G1,

h(x1°B)(x2°B)=h((x1x2)°B)=

f(x1x2)°f(B)=

f(x1)f(x2)°f(B)=

(f(x1)°f(B))(f(x2)°f(B))=

h(x1°B)h(x2°B),

即h為同構映射.

?x∈G1,(h-1(f(A)/f(B)))(x°B)=

(f(A)/f(B))(h(x°B))=

(f(A)/f(B))(f(x)°f(B))=

inf{f(A)(y)|y°f(B)=f(x)°f(B)}=

inf{inf{A(t)|f(t)=y}|y°f(B)=

f(x)°f(B)}=

inf{A(t)|f(t)°f(B)=f(x)°f(B)}=

inf{A(t)|t°B=x°B}=

(A/B)(x°B),

即h-1(f(A)°f(B))=A/B,又因為h為同構映射,所以h(A/B)=f(A)/f(B).

于是A/B?f(A)/f(B).

推論2.1設f:G1→G2為群的同態(tài)滿射,A與B分別為G2的(λ,μ)-反模糊子群與(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,則f-1(A)/f-1(B)?A/B.

證明易知f-1(A)與f-1(B)分別為G1的(λ,μ)-反模糊子群與(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,且f-1(B)是f不變的,又因為f為滿射,所以

f(f-1(A))=A,f(f-1(B))=B.

由定理2.3可得f-1(A)/f-1(B)?A/B.

定理2.4[3]設A與B為G的(λ,μ)-反模糊子群,則AB也是G的(λ,μ)-反模糊子群當且僅當AB=BA；若A與B為G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,則AB也是G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,其中

AB=inf{A(x1)∨B(x2)|x1x2=x}, ?x∈G.

定理2.5設A與B為G的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群,且A(e)∧μ∨λ=B(e)∧μ∨λ,則

A/(A∪B)～AB/B,B/(A∪B)～AB/A.

證明易知A/(A∪B)與AB/B分別為G/(A∪B)與G/B的(λ,μ)-反模糊正規(guī)子群.

作h:G/(A∪B)→G/B,x°(A∪B)→x°B,?x∈G,則

?x1,x2∈G,

x1°(A∪B)=x2(A∪B)?

(A∪B)(e)∧μ∨λ=B(e)∧μ∨λ?

x1°B=x2°B.

于是h為映射,顯然h也是滿射.而

h((x1°(A∪B))(x2°(A∪B)))=

h((x1x2)°(A∪B))=

(x1x2)°B=(x1°B)(x2°B)=

h(x1(A∪B))h(x2°(A∪B)),

故h為同態(tài)滿射.

?x∈G,(AB/B)(x°B)=

inf{(AB)(t)|t°B=x°B}=

inf{A(t1)∨B(t2)|t1t2=t,t°B=x°B}≤

inf{A(t)∨(B(e)∧μ∨λ)|t°B=x°B}=

inf{A(t)|t°B=x°B}.

而

h(A/(A∪B))(x°B)=

inf{(A/(A∪B))(x3(A∪B))|

h(x3°(A∪B))=x°B}=

inf{(A/(A∪B))(x3°(A∪B))|x3°B=

x°B}=inf{A(t)|x3°(A∪B)=t°(A∪B),

x3°B=x°B}≥

inf{A(t)|x3°B=t°B,x3°B=x°B}=

inf{A(t)|t°B=x°B}.

上式中的不等號之所以成立,是因為有下面的結論：

對任意的x3∈G,

x3°(A∪B)=t°(A∪B)?x3°B=t°B?

(A∪B)(e)∧μ∨λ?

x3°B=t°B.

所以,上面的不等式成立.

因此

h((A/(A∪B))(x°B))≥((AB/B))(x°B),

即h(A/(A∪B))?AB/B.故A/(A∪B)～AB/B.

同理可得,B/(A∪B)～AB/A.