王開(kāi)宏

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢 430072)

1 引言

確定最優(yōu)投資組合的準(zhǔn)則一直是人們關(guān)注的熱點(diǎn),可能最早的理論是由Bernoulli提出的期望財(cái)富最大化準(zhǔn)則,類似的還有對(duì)數(shù)財(cái)富最大化、財(cái)富增長(zhǎng)率最大化和Kelly投資策略.MacLean等[1]指出Kelly投資策略從沒(méi)有提到破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn),但通常情況這種策略會(huì)使投資者承擔(dān)失去本金的較大風(fēng)險(xiǎn).傳統(tǒng)方法還包括期望效用最大化的準(zhǔn)則,在這個(gè)準(zhǔn)則下,首先要明確代表投資者偏好的效用函數(shù),顯然這是帶有一定主觀性并且很難準(zhǔn)確估計(jì)的.同時(shí),面對(duì)不同規(guī)模的風(fēng)險(xiǎn)選取合適的效用函數(shù)類型來(lái)計(jì)算也是比較困難的.

鑒于之前準(zhǔn)則的缺陷,Browne[2,3]對(duì)于連續(xù)時(shí)間的投資行為,提出了赤字概率最小化準(zhǔn)則,并且與標(biāo)準(zhǔn)的冪效用函數(shù)準(zhǔn)則作了對(duì)比,發(fā)現(xiàn)冪效用函數(shù)最大化和赤字概率最小化是可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)的.Stutzer[4,5,6]建立了新的投資準(zhǔn)則,提出在相當(dāng)長(zhǎng)的投資期限內(nèi),選取一個(gè)投資組合,使得期望收益率小于目標(biāo)收益率的概率衰減到0的衰減速率達(dá)到最大,以此作為最優(yōu)投資組合,這個(gè)準(zhǔn)則簡(jiǎn)稱衰減速率準(zhǔn)則.并且證明了當(dāng)不同時(shí)刻的投資組合收益率獨(dú)立同分布時(shí),這樣的最優(yōu)投資組合對(duì)于任何期限T,相比其他投資組合,收益率小于目標(biāo)收益率的概率都是最小的.Stutzer開(kāi)創(chuàng)性地將大偏差方法引入到了最優(yōu)投資組合的研究中,通過(guò)大偏差方法計(jì)算得到衰減速率準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資組合.而Chu[7]從另外的角度,利用大偏差方法研究了證券組合包含的資產(chǎn)種類充分大情況下的最優(yōu)投資組合,計(jì)算了資產(chǎn)種類為有限個(gè)時(shí)的赤字概率上界.并且研究了資產(chǎn)間的非線性相關(guān)關(guān)系對(duì)于最優(yōu)投資組合和赤字概率上界的影響.

Pham[8,9]提出了連續(xù)時(shí)間下客觀的最優(yōu)投資組合準(zhǔn)則,即在時(shí)間充分大的條件下,使得真實(shí)收益率大于目標(biāo)收益率的概率達(dá)到最大的投資組合.將這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為大偏差控制問(wèn)題,證明了在一定條件下可以將大偏差控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為它的對(duì)偶問(wèn)題進(jìn)行求解,而它的對(duì)偶問(wèn)題是一個(gè)在對(duì)數(shù)矩母函數(shù)最大值處的遍歷風(fēng)險(xiǎn)敏感度控制問(wèn)題,具體給出了最優(yōu)投資組合的確定方法,并且研究了模型在邊界點(diǎn)的最優(yōu)投資組合.

關(guān)于相依隨機(jī)序列的大偏差,Schonmann[10]證明了弱混合有界平穩(wěn)序列滿足大偏差原理,Yakimavichyus[11]證明了一維的一致強(qiáng)混合序列滿足大偏差原理,Bryc[12]在前人研究的基礎(chǔ)上證明了有界φ混合平穩(wěn)序列和有界ψ混合平穩(wěn)序列滿足大偏差原理.但這些研究都是基于有界隨機(jī)變量進(jìn)行的.

基于前人的研究,在離散時(shí)間下,投資者將財(cái)富投資于兩類資產(chǎn):風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的增長(zhǎng)率獨(dú)立同分布,每個(gè)時(shí)刻的最優(yōu)投資組合依賴于前一時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)表現(xiàn),在這種情況下,本文結(jié)合引理3.2,通過(guò)借鑒Bryc[12]的定理4的證明思路并且運(yùn)用分塊法思想、Hlder不等式、函數(shù)的凹凸性性質(zhì)等技巧,給出了時(shí)均對(duì)數(shù)收益率滿足大偏差原理的證明,定理不需要隨機(jī)序列有界的假設(shè).

基于投資組合固定不變的假設(shè),利用MATLAB計(jì)算了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從兩點(diǎn)分布時(shí)的最優(yōu)投資組合;接著以投資組合是前一時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的線性函數(shù)為假設(shè),利用MATLAB計(jì)算了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從均勻分布時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)最優(yōu)投資比例函數(shù).

2 大偏差準(zhǔn)則

基于投資期限充分長(zhǎng)的假設(shè),利用大偏差方法建立一個(gè)最優(yōu)投資組合的確定準(zhǔn)則,這個(gè)準(zhǔn)則與個(gè)人偏好無(wú)關(guān).假設(shè)在離散時(shí)間下,財(cái)富只投資于兩種資產(chǎn):風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),并且假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的增長(zhǎng)率是i.i.d.的,即為獨(dú)立同分布的,認(rèn)為每一時(shí)刻的投資組合只與前一時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的增長(zhǎng)率有關(guān),建立模型

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn):Sn=Sn?1ξn,ξn～f(x),n=1,2,3···;

其中Sn表示n時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格,S0表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的初始價(jià)格,ξn表示n時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的增長(zhǎng)率,f(x)為ξn的概率密度函數(shù),表示n時(shí)刻無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格,r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

用π(ξn?1)表示n時(shí)刻投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例,它是前一時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格增長(zhǎng)率的函數(shù),Xn表示n時(shí)刻投資者的財(cái)富,于是有

其中X0,π0為常數(shù),從而有

對(duì)(2.1)式兩邊取對(duì)數(shù),有

前n項(xiàng)連加,得到

定義n時(shí)刻財(cái)富Xn的對(duì)數(shù)增長(zhǎng)率

其中

定義0到n時(shí)刻之間的平均對(duì)數(shù)增長(zhǎng)率

考慮投資期限充分長(zhǎng)的條件下,給定一個(gè)目標(biāo)增長(zhǎng)率l,在投資組合集里尋找能使以下概率達(dá)到最大的組合作為最優(yōu)投資組合.如果滿足大偏差原理,則可以建立最優(yōu)投資組合的大偏差準(zhǔn)則

可以看出,這個(gè)準(zhǔn)則只依賴于客觀的概率P和目標(biāo)增長(zhǎng)率l,與效用函數(shù)無(wú)關(guān),并且是在投資期限充分大的情況下確定的.

3 時(shí)均對(duì)數(shù)收益率的大偏差定理

定義3.1[13]設(shè)G是C(E)中一個(gè)子集,稱G為一個(gè)分離類,若

(i)G包含所有常值函數(shù);

(ii)G對(duì)有限逐點(diǎn)下端運(yùn)算封閉,即g1,g2∈G?g1∧g2∈G;

(iii)G分離E中的點(diǎn).即若x,y∈E且則對(duì)任意a,b∈R,?g∈G使g(x)=a,g(y)=b,

其中C(E)表示E上實(shí)值連續(xù)函數(shù)的全體.

引理3.2設(shè)(με,ε>0)是Polish空間E上一族指數(shù)胎緊概率測(cè)度,設(shè)G是E上一個(gè)分離類,假若對(duì)任意g∈G,

存在,則對(duì)任意φ∈Cb(E),Λ(φ)存在,令

則{με,I,λ(ε)}滿足LDP,I下緊,其中Cb(E)表示E上有界實(shí)值連續(xù)函數(shù)的全體.

定理 3.3?θ,假定E(eθξi)<∞,則

存在,且對(duì)任何閉集F,

對(duì)任何開(kāi)集G,

其中Iπ(x)=sup[θx?Γ(θ,π)].即在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格增長(zhǎng)率獨(dú)立同分布,投資決策只依賴于前一時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)表現(xiàn)的情況下,時(shí)均對(duì)數(shù)收益率滿足大偏差原理.

證令

其中R?表示R上線性有界泛函的全體.

證明對(duì)于任意θ∈G,極限

考慮分塊法,對(duì)n≥1,有n=k(M+1)+l,0≤l≤M+1,k=k(n)=[n/(M+1)],l=n?k(M+1),有

從而Zn可以表示為凸組合

由θ(x)的凹性

由θ(x) 的定義,?a>0,有,從而有

結(jié)合(3.1)式,因此有

另一方面,Zk(M+1)可以表示為凸組合

令

令

由θ(x)的凹性有

同理利用θ(x)的定義,有

結(jié)合(3.3)式,可以推出

結(jié)合(3.2)式,有

其中

由于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例π(ξi?1)有界,所以有Eeθ(Yi)<∞,l≤M+1,所以

由于

對(duì)于θ(Yj(M+1)),總能找到常數(shù)cj和常數(shù)dj,使得,所以有

因此有

結(jié)合 (3.4)–(3.6) 式,得到

由于

故有

因此有

再證{μn,n>0}指數(shù)胎緊.其中對(duì)集合.?M∈[0,∞),?α>0,有

1)顯然,G?C(R)且包含所有常值函數(shù);

2) 假設(shè)θ1,θ2∈G,

其中d=d1+d2,

因此G對(duì)有限逐點(diǎn)下端運(yùn)算封閉得證;

得到λ1∈R?,因此G分離R中的點(diǎn)得證.由引理3.2,的大偏差原理成立.

4 最優(yōu)投資組合的確定

給定π,給定一個(gè)目標(biāo)收益率l,要求,平均增長(zhǎng)率的速率函數(shù)Iπ(?)是Γ(?,π) 的 Legendre 變換Iπ(l)=I(l,π)=supθ[θl?Γ(θ,π)].由定理 3.3 得到

因此有

定義

引理4.1[9]假定Λ+在上是有限且可微的,其中是區(qū)間(0,∞]中的某個(gè)實(shí)數(shù),?θ∈(0,θ),存在 Λ+(θ)的解(θ),則對(duì)于所有的,有,并且當(dāng)時(shí),ν(l)的最優(yōu)控制為,當(dāng)時(shí),ν(l)=0的近似最優(yōu)控制為

此時(shí)有

引理4.1說(shuō)明了收益率高于目標(biāo)收益率的概率最大化的大偏差控制問(wèn)題,在一定條件下可以通過(guò)它的對(duì)偶控制問(wèn)題予以求解.可以看到,當(dāng)目標(biāo)收益率l小于時(shí),此時(shí)ν+(l)=0,也就是說(shuō),在投資期限充分長(zhǎng)的情況下,投資者的實(shí)際收益率高于目標(biāo)收益率的概率幾乎為1,這時(shí)的近似最優(yōu)投資組合與目標(biāo)收益率無(wú)關(guān).而當(dāng)目標(biāo)收益率l介于和Λ0+(θ)之間時(shí),最優(yōu)投資組合由目標(biāo)收益率決定.當(dāng)時(shí),對(duì)于所有的l都可以得到準(zhǔn)確的最優(yōu)投資組合;而當(dāng)時(shí),若,這時(shí)無(wú)法確定最優(yōu)投資組合.

以風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格增長(zhǎng)率ξ服從二點(diǎn)分布,投資組合固定不變?yōu)槔M(jìn)行計(jì)算,假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.02,ξ的概率分布為

則

Λ+(θ)在 [0,1)上是可導(dǎo)的,,根據(jù)引理4.1,

圖1:風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)最優(yōu)投資比例曲線

接著以每一時(shí)刻的投資組合依賴于前一時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)表現(xiàn)為假設(shè),做模擬計(jì)算,假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例π是前一時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的線性函數(shù),即

令初始時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例π1=0.3,對(duì)

進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.

假設(shè)ξi服從區(qū)間[0.9,1.1]的均勻分布.根據(jù)引理4.1,對(duì)于收益率高于目標(biāo)收益率的概率最大化投資準(zhǔn)則,θ∈[0,1),在每一個(gè)θ下,關(guān)于a、b取Γ(θ,π)的最大值,在這些最大值中,再關(guān)于θ取[supπΓ(θ,π)?θl]的最小值,其對(duì)應(yīng)的線性函數(shù)即為最優(yōu)投資組合的確定方法.選取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.02,設(shè)定目標(biāo)收益率l=0.07,對(duì)a以0.02為步長(zhǎng)在區(qū)間[-4.5,-3.6]選取46個(gè)值,對(duì)b以0.02為步長(zhǎng)在區(qū)間[3.6,4.5]選取46個(gè)值,對(duì)θ以0.02為步長(zhǎng)在區(qū)間[0.05,0.95]選取46個(gè)值,計(jì)算得到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資比例函數(shù)為