蘇倩倩

(鄭州成功財(cái)經(jīng)學(xué)院通識(shí)教育中心,河南鄭州 451200)

1 引言

Leslie-Gower作為一個(gè)重要的生態(tài)系統(tǒng)模型,已經(jīng)引起了許多學(xué)者的關(guān)注,并且得到了很多好的結(jié)果(見(jiàn)文獻(xiàn)[1–12]及所引文獻(xiàn)).但是,對(duì)于生命短,世代不重疊的種群或者雖然生命長(zhǎng),世代重疊的種群在其數(shù)量少的時(shí)候,用差分方程(離散的動(dòng)力模型)來(lái)表示更為合理(見(jiàn)文獻(xiàn)[13]).鑒于此,本文將研究如下離散的Leslie-Gower模型

其中xi(n)(i=1,2,3)為種群i在n時(shí)刻的密度,a0,b0,v0,d0,a1,v1,d1,v2,d2,c3,v3和d3均為連續(xù)的有正的上下界的序列,且xi(0)≥0(i=1,2,3).

文[2]對(duì)離散兩種群Leslie-Gower模型的周期解和全局吸引性進(jìn)行了研究,而文[3]首次提出了一類連續(xù)的三種群Leslie-Gower模型.一個(gè)自然而然的問(wèn)題是:離散三維Leslie-Gower模型的動(dòng)力學(xué)行為又將怎樣呢？據(jù)筆者所知,至今尚未有學(xué)者研究離散三維Leslie-Gower模型.本文參照文[14]的分析手法來(lái)研究系統(tǒng)(1.1)的動(dòng)力學(xué)行為.更多有關(guān)Leslie-Gower模型的背景可以參考文獻(xiàn)[3].這里對(duì)任意的序列{a(n)},記au=.

2 引理

引理2.1[15]假設(shè)序列{x(k)}滿足x(k)>0,a(k)和b(k)為有正的上下界的非負(fù)序列,若x(k+1)≤x(k)exp{a(k)?b(k)x(k)},k∈N,則

引理2.2[16]假設(shè)序列{x(k)}滿足x(k)>0,a(k)和b(k)為有正的上下界的非負(fù)序列,若x(k+1)≥x(k)exp{a(k)?b(k)x(k)},k≥N0,x(N0)>0,其中N0∈N,且,則

3 持久性與全局吸引性

定理3.1若

成立,則種群x1與x3持久,而種群x2絕滅.

證設(shè)x(n)=(x1(n),x2(n),x3(n))T為系統(tǒng)(1.1)的任意正解.由系統(tǒng)(1.1)的第一個(gè)方程得

由引理2.1,得到

由系統(tǒng)(1.1)的第二個(gè)方程可得

由條件(H1)知

所以對(duì)于足夠小的ε>0,存在N1>0,N1∈N,對(duì)任意n>N1,都有

由系統(tǒng)(1.1)的第三個(gè)方程得

由引理2.1知

令ε→0得

則對(duì)于上述ε>0,存在N2>N1,N2∈N,對(duì)任意n>N2,都有

所以

因?yàn)棣抛銐蛐?所以仍為正序列.則由引理2.2知

令ε→0得

由系統(tǒng)(1.1)的第三個(gè)方程得

由引理2.2知

下證M1>m1.

綜上所述M1>m1,同理可以證明M3>m3.定理3.1證畢.

定理3.2假設(shè)(H1)成立,且

則系統(tǒng)(1.1)是全局吸引的.

證設(shè)為系統(tǒng)(1.1)的任意兩個(gè)正解.因?yàn)?由定理3.1知,則.所以對(duì)于上述的ε>0,存在N3>N2,N3∈N,對(duì)于任意的n>N3,都有

當(dāng)n>N3時(shí),有m1?ε≤ξ1(n)≤M1+ε.則由(3.13),(3.14)式知

令ε→0 得|u(n+1)|≤λ1|u(n)|.因此,所以

當(dāng)n>N3時(shí),有

令ε→0 得|v(n+1)|≤λ2|v(n)|.因此,所以

定理3.2證畢.

4 數(shù)值模擬

例4.1考慮下面的系統(tǒng)

對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(1.1),計(jì)算可知

滿足定理3.1和定理3.2的條件,下面給出系統(tǒng)(4.1)的模擬圖像.

圖1:具有初始條件(x1(n),x2(n),x3(n))T=(0.62,0.60,0.65)T,(0.7,0.72,0.45)T,(0.45,0.5,0.75)T系統(tǒng)(4.1)的動(dòng)力學(xué)行為

5 結(jié)論

本文研究了一類離散Leslie-Gower三維食物鏈模型,首先運(yùn)用差分不等式的有關(guān)結(jié)論得到:若(H1)成立,則種群x1,x3持久x2絕滅,即當(dāng)中級(jí)捕食者x2的死亡率大于食餌x1的人均減少率的最大值時(shí),高級(jí)捕食者x3和食餌x1持久生存,而中級(jí)捕食者x2將走向絕滅.其次,通過(guò)采用文[14]的手法,構(gòu)造適當(dāng)?shù)牟罘諰yapunov函數(shù),得到了該系統(tǒng)全局吸引的充分性條件.文[2]研究了離散兩種群Leslie-Gower模型的周期解和全局吸引性,文[3]首次提出并研究了一類連續(xù)的三種群Leslie-Gower模型,證明了該系統(tǒng)的有界性,吸引集的存在性,以及表示高級(jí)或中級(jí)捕食者滅絕的均衡的局部或全局穩(wěn)定性.但文[17]指出,文[3]中關(guān)于有界解和不變吸引集的結(jié)論是錯(cuò)誤的.所以對(duì)于連續(xù)模型的動(dòng)力學(xué)行為還有待進(jìn)一步研究.本文是在文[3,17]的基礎(chǔ)上研究了離散三種群Leslie-Gower模型,是對(duì)文[2]的補(bǔ)充和完善.最后,數(shù)值模擬說(shuō)明結(jié)論是可行的.