(1.上海大學(xué)機電工程與自動化學(xué)院 上海 200072；2.寧波慈興軸承有限公司 浙江寧波 315301)

柔性軸承作為諧波減速的關(guān)鍵零部件，對諧波減速器的傳動精度及使用壽命有較大的影響[1]。柔性軸承運動過程中，如果產(chǎn)生的熱量不能有效地散發(fā)，會引起系統(tǒng)溫度升高，導(dǎo)致潤滑油黏度下降，潤滑狀態(tài)惡化，導(dǎo)致膜厚減小，引起軸承過早疲勞失效，降低工作效率和使用壽命[2]。因此，研究柔性軸承的發(fā)熱機制、傳熱過程及溫度分布，對于改善其工作性能有著重要的意義[3-4]。

長期以來，對于普通軸承的發(fā)熱量和溫度場分布計算，一般套用一些經(jīng)典的計算模型，如HARRIS[5]發(fā)熱量計算模型和Palmgren發(fā)熱量計算模型，計算時默認軸承所有零件作為一個整體，每個球的受載一致。而文中以柔性軸承為研究對象，內(nèi)圈裝配有呈橢圓形的波發(fā)生器，內(nèi)外圈發(fā)生大變形，每個球的受載、變形、發(fā)熱量都不一樣，因而必須針對每個球的不同情況進行具體計算。

本文作者充分考慮柔性軸承的變形特殊性，首先計算其載荷分布情況，在此基礎(chǔ)上，計算柔性軸承發(fā)熱量和對流換熱系數(shù)。同時，分別采用熱網(wǎng)絡(luò)法和有限元法進行穩(wěn)態(tài)熱分析并進行對比分析，獲得柔性軸承溫度場分布，研究結(jié)果為柔性軸承的設(shè)計和后續(xù)的優(yōu)化提供指導(dǎo)[6-7]。

1 柔性軸承的受力分析

文中采用ANSYS有限元數(shù)值方法分析得到每個鋼球所受載荷。首先建立軸承有限元模型，軸承幾何參數(shù)和邊界條件由表1給出。

表1 柔性軸承幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of flexible bearing

通過ANSYS的建模功能，建立柔性軸承和波發(fā)生器的有限元模型，如圖1所示。

圖1 幾何模型Fig 1 Geometric model

為了能夠產(chǎn)生諧波，需要在內(nèi)圈裝配一個橢圓形的波發(fā)生器，裝配前后的變形示意圖如圖2所示。

圖2 裝配示意圖Fig 2 Assembly diagram

由圖2可知：柔性軸承裝配到波發(fā)生器時，內(nèi)圈在長軸附近區(qū)域產(chǎn)生過盈，在短軸附近區(qū)域產(chǎn)生間隙。

表2 材料屬性Table 2 Material properties

設(shè)置柔性軸承材料屬性和邊界條件(如表2所示)，計算后得到柔性軸承的載荷分布。利用ANSYS后處理器技術(shù)，將滾動體與滾道的接觸反力提取出來，如圖3所示。結(jié)果表明，23個滾動體中只有13個滾動體承載，且每個滾動體的受載情況不一致，符合實際情況。

圖3 滾動體接觸反力Fig 3 Contact reaction of ball rolling

2 柔性軸承發(fā)熱量計算

柔性軸承的發(fā)熱主要由其內(nèi)部的摩擦引起。其摩擦力矩計算文中主要考慮由載荷引起的摩擦及與潤滑脂相關(guān)的黏滯阻力[8-9]，即：

M=Ml+Mv

(1)

式中：Ml為與柔性軸承的受載相關(guān)的摩擦力矩，N·mm；Mv為與柔性軸承潤滑相關(guān)的摩擦力矩，N·mm。

2.1 載荷引起的摩擦力矩

柔性軸承內(nèi)外圈由于波發(fā)生器的作用將發(fā)生大變形，下面分別計算每個鋼球因載荷引起的摩擦力矩Mi，然后求和得到總的Ml。公式如下：

(2)

(3)

式中：μ為摩擦因數(shù)；dm為節(jié)圓直徑；n為受載滾動體數(shù)；pi為第i個受載荷鋼球所承受的力。

2.2 潤滑相關(guān)的摩擦力矩

柔性軸承在潤滑良好情況下，其黏性摩擦力矩根據(jù)Palmgren總結(jié)的經(jīng)驗公式計算：

式中：f0為與軸承類型及潤滑方式有關(guān)的系數(shù)，文中取為0.7～1.0；n為內(nèi)圈轉(zhuǎn)速，r/min；ν為潤滑脂動力黏度，mm2/s。

最后根據(jù)發(fā)熱量計算公式：H=1.01×10-5Mn得到柔性軸承的總發(fā)熱量[10]。

3 對流換熱系數(shù)的計算

經(jīng)過分析，柔性軸承產(chǎn)生的熱量主要以傳導(dǎo)、對流及輻射3種方式在零部件之間傳遞。由于諧波減速器結(jié)構(gòu)緊湊，柔性軸承零部件之間的輻射可以忽略；熱傳導(dǎo)由材料的屬性直接獲得；而柔性軸承系統(tǒng)零件表面的對流換熱較為重要和復(fù)雜，需要準(zhǔn)確計算[11]。

文中研究的柔性軸承采用合成脂潤滑，因此選擇對流換熱系數(shù)計算模型時，采用計算此類換熱較為準(zhǔn)確的HARRIS對流換熱系數(shù)計算公式：

(5)

式中：k為導(dǎo)熱系數(shù)；Pr為普朗特數(shù)，文中取為10；Re為雷諾數(shù)，Re=vx/νo，其中νo為潤滑脂黏度；x為特征長度，當(dāng)計算鋼球向潤滑脂傳熱時，取x=dm，計算內(nèi)圈向潤滑脂傳熱時，取x=di，計算外圈向潤滑脂傳熱時，取x=D；v為鋼球周向轉(zhuǎn)速。

軸承外表面與空氣間的對流換熱系數(shù)的計算公式為

(6)

(7)

式中：Ta為環(huán)境溫度；Dh為軸承外圈直徑；ka為空氣導(dǎo)熱系數(shù)；v為氣流速度，va為空氣運動黏度。

4 熱網(wǎng)絡(luò)法

熱網(wǎng)絡(luò)法分析柔性軸承時，將整個系統(tǒng)分解成多個單元體，包括波發(fā)生器、內(nèi)圈、鋼球、外圈和柔輪。默認每個單元體內(nèi)溫度均勻，將單元體比擬為熱節(jié)點，而熱節(jié)點之間的換熱均用熱阻代替并聯(lián)接，形成熱網(wǎng)絡(luò)，并對每個單元或回路利用基爾霍夫定律(KCL、KVL定律)，以溫度為待求量建立熱平衡方程，從而得到各節(jié)點溫度[12]。

文中對柔性軸承系統(tǒng)選取9個節(jié)點進行分析，其結(jié)構(gòu)模型和熱節(jié)點分布如圖4所示。

圖4 軸承系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型及節(jié)點分布圖Fig 4 Structure model of bearing system and distribution diagram of heat node

其中，各個熱節(jié)點對應(yīng)的位置信息如表3所示。

表3 節(jié)點編號位置Table 3 Node numbered position

根據(jù)圖4所示的熱結(jié)構(gòu)圖可以建立對應(yīng)的柔性軸承熱網(wǎng)絡(luò)圖，如圖5所示。

圖5 熱網(wǎng)絡(luò)節(jié)點Fig 5 Hot network node

依據(jù)能量守恒，每個節(jié)點中流入、流出的熱量相等。因此對柔性軸承系統(tǒng)從T1到T7的7個節(jié)點(T0和T8分別為潤滑油和空氣溫度，為已知),即可列出7個熱平衡方程，分別為

(1)節(jié)點1：(T1-T8)/R1v8+(T1-T2)/R2c1=0

(2)節(jié)點2：(T2-T1)/R2c1+(T2-T3)/R3c2=0

(3)節(jié)點3：

(T3-T2)/R3c2+(T3-T0)/R3v0+(T3-T4)/R3c4=Q1

(4)節(jié)點4：

(T4-T3)/R3c4+(T4-T5)/R5c4+(T4-T0)/R4v0=Q2

(5)節(jié)點5：

(T5-T4)/R5c4+(T5-T0)/R5v0+(T5-T6)/R5c6=Q3

(6)節(jié)點6：(T6-T5)/R5c6+(T6-T7)/R6c7=0

(7)節(jié)點7：(T7-T6)/R6c7+(T7-T8)/R7v8=0

根據(jù)傅里葉導(dǎo)熱定律和牛頓冷卻定律可以計算出相應(yīng)的導(dǎo)熱熱阻和對流熱阻，計算方法由表4給出。其中，Ravb表示熱節(jié)點a與b之間的對流換熱熱阻；Rxcy表示熱節(jié)點x與y之間的傳導(dǎo)熱阻；αi、αo、αb、αr、αs分別為軸承內(nèi)圈、外圈、鋼球、柔輪和軸端面的對流換熱系數(shù)，其值可由對流換熱計算公式得到；Kb、Kr、Ks分別是柔性軸承、柔輪和主軸的導(dǎo)熱系數(shù)，其值由具體材料屬性決定[13]。

在采用熱網(wǎng)絡(luò)法進行分析時，通常將摩擦生熱的傳遞比例假設(shè)為進入球和進入內(nèi)外圈各占1/2，因此分別代表外圈、球和內(nèi)圈生熱量的Q1、Q2、Q3可由相應(yīng)的軸承發(fā)熱量計算公式得到。

表4 熱阻計算公式Table 4 Calculation formula of thermal resistance

最后通過求解方程組得到各熱節(jié)點的溫度。

5 有限元仿真法

5.1 熱邊界條件的施加

(1)由于鋼球與套圈滾道表面接觸為主要熱源，因此將發(fā)熱量以熱流量的形式施加在內(nèi)外圈溝道以及球體表面上。

(2)在內(nèi)外圈以及滾動體的外表面加載對流換熱。

最終的熱邊界施加方案如圖6所示。

圖6 熱邊界條件施加方案Fig 6 Diagram of thermal boundary conditions

通過上文公式，理論計算得到的柔性軸承發(fā)熱量及對流換熱系數(shù)由表5給出。

表5 熱載荷計算值Table 5 Thermal boundary condition value

5.2 有限元穩(wěn)態(tài)熱分析

通過ANSYS Workbench進行穩(wěn)態(tài)熱分析，施加相關(guān)熱邊界條件并進行計算，設(shè)置環(huán)境溫度為22 ℃，得到柔性軸承的溫度場分布云圖，如圖7所示。

圖7 柔性軸承整體溫度分布Fig 7 Overall temperature distribution of flexible bearings

6 結(jié)果分析與對比

由圖7可以看出，柔性軸承最高溫度出現(xiàn)在滾動體與內(nèi)圈溝道的接觸處，為75.86 ℃，而次高溫在內(nèi)圈表面上，為75.35 ℃，最后沿鋼球表面、外圈溝道、外圈表面依次降低。

將有限元計算結(jié)果與熱網(wǎng)絡(luò)法計算結(jié)果進行對比，結(jié)果較為吻合，如表6所示，其誤差均在10%以內(nèi)，為允許工程誤差范圍，證明了文中有限元及熱網(wǎng)絡(luò)模型具有一定可靠性。

從表6中也可看出有限元法和熱網(wǎng)絡(luò)法的計算結(jié)果存在誤差，主要因為分析方法的區(qū)別，前者為三維分析方法，更接近實際情況，而后者是二維分析方法，在一定程度上做了相應(yīng)的簡化，準(zhǔn)確性會有一定有影響。

表6 計算結(jié)果對比Table 6 Comparison of calculation results

在有限元法分析中，由于柔性軸承需要發(fā)生大變形，為了建模方便和計算更容易收斂，只單獨考慮柔性軸承，未將柔輪與波發(fā)生器考慮進來，而只是換算成了一定熱邊界條件內(nèi)，因此導(dǎo)致熱分析中忽略了部分傳導(dǎo)熱;而熱網(wǎng)絡(luò)法將整個傳動系統(tǒng)作為研究對象，分析更全面一些。

7 結(jié)論

(1)柔性軸承的整體溫度分布具有一定規(guī)律，其中最高溫度點出現(xiàn)在滾動體與內(nèi)圈溝道的接觸處，而次高溫在內(nèi)圈表面上，最后溫度沿滾動體表面、外圈溝道及外圈表面依次降低。

(2)考慮了柔性軸承的特殊性，軸承23個滾動體中，實際受載并產(chǎn)生熱量的滾動體個數(shù)為13個，彌補了運用普通軸承發(fā)熱量計算模型的不足，結(jié)果更精確，更具有工程實用價值，為柔性軸承的熱分析提供了參考依據(jù)。

(3)柔性軸承的仿真分析和理論計算是個非常復(fù)雜的工程，涉及到的學(xué)科非常廣，下一步將對其進行相關(guān)的試驗研究，進一步驗證熱網(wǎng)絡(luò)模型及有限元模型計算的可靠性。