陳燕梅 王淼生

(福建省廈門第一中學 361003)

1 MPCK理論

舒爾曼1986年提出PCK理論后，立即引起各國學者關注，從而使數(shù)學教師特有的學科教學知識從PCK泛學科的研究中獨立出來，形成MPCK(數(shù)學教學內容知識)理論．MPCK理論要求教師必須具備數(shù)學學科知識( MK)、 一般教學法知識( PK) 、有關數(shù)學學習的知識( CK) 以及教育技術知識( TK)[1]，才能夠把學術形態(tài)的數(shù)學知識有效轉化為教育形態(tài)的數(shù)學知識，促進學生的數(shù)學理解，提高數(shù)學能力和提升數(shù)學素養(yǎng)．而這4類知識的綜合與融合就是數(shù)學教學內容知識( MPCK) ，即數(shù)學教師從事數(shù)學教學所應具備的核心知識[2]．

概念是思維的基本單位，數(shù)學概念是導出全部數(shù)學定理法則的邏輯基礎，是建立理論系統(tǒng)的中心環(huán)節(jié)，同時也是解決數(shù)學問題的前提．在日常教學中，教師讓學生記憶、理解、題海訓練是概念教學的普遍現(xiàn)象，往往忽視概念的本質，因而學生在運用概念解決問題時常常出現(xiàn)生搬硬套甚至束手無策的現(xiàn)象．基于此，教師在教學中啟發(fā)學生建構概念、理解概念的內涵和外延尤為重要．

2 MPCK視角下的概念新授課

不久前筆者在廈門市開了一節(jié)公開課《平均數(shù)(1)》．以下分享基于MPCK視角下的教學設計、反思以及專家評析．

本節(jié)選自義務教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》(人教版)八年級下冊，是第20章“數(shù)據(jù)的分析”第1節(jié)“數(shù)據(jù)的集中趨勢”第1課時的內容 ．

本節(jié)是數(shù)據(jù)分析這一章節(jié)的起始課．學生在七年級時學習了數(shù)據(jù)的收集、整理和描述，知道可以用統(tǒng)計圖表整理和描述數(shù)據(jù).以前通過數(shù)據(jù)計算，學生學習了算術平均數(shù)，知道它可以反映一組數(shù)據(jù)的平均水平．

根據(jù)教材內容和學生情況，本節(jié)學習的主要內容是讓學生在實際生活背景中理解算術平均數(shù)、加權平均數(shù)、權的意義；能從統(tǒng)計圖表中獲取信息，計算一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)以及加權平均數(shù)，體會權的作用．

2.1 活動一 創(chuàng)設情境，建構概念

設計意圖讓學生感受引入“權”的合理性，理解“權”的意義．

數(shù)據(jù)分析與日常生活息息相關．之前我們已經(jīng)學習了如何用統(tǒng)計圖表來整理和描述數(shù)據(jù)．為了進一步獲取有效信息，還需要對相關數(shù)據(jù)進一步分析，用數(shù)據(jù)說話．

問題老師根據(jù)學生的期中考試成績和期末考試成績計算學期總評，小明同學期中考60分，期末考90分(百分制)．

(1)你能算出他的平均成績嗎？

追問：如何計算n個數(shù)的算術平均數(shù)？

(2)若以這個算術平均數(shù)作為學期總評，你認為合理嗎?

追問1：為什么不合理？

追問2：期末考試是學期綜合考查，如何體現(xiàn)期末考試的重要性？

(3)你是怎么算的？為什么這么算？

(4)在這個問題中，3和7(舉例)有什么用？

追問1：什么是“權”？什么是“加權平均數(shù)”？

追問2：還有哪些也是權？

(5)如何把這種加權平均數(shù)的計算方法推廣到一般情況？

(6)期中考和期末考的分數(shù)不變，為何得到不同的總評成績？

我校正高級教師王淼生對本節(jié)課進行了評析，以下簡稱“專家評析”.

專家評析活動一是本節(jié)的核心內容．教師運用“概念同化”提出并建構“權”與“加權平均數(shù)”的概念，概念同化過程是學生對概念的主動理解過程，是學生利用已有認知結構對概念進行重新建構的過程．曹才翰、章建躍在《數(shù)學教育心理學》中提出，概念教學得以充分展開的根本原動力是學生已有的認知結構與新概念之間的不平衡．根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展理論，學生在遇到新概念時，總是先用已有的認知結構去同化，如果獲得成功，就得到暫時的平衡；如果同化不成功，則會調節(jié)已有認知結構或重新建立新的認知結構，以順應新概念，從而達到新的平衡．教師應該根據(jù)學生概念學習的這種機制，利用新概念與學生已有認知結構之間的差異來設置相應的教學情境，以使學生能夠意識到這種不平衡，從而引起學生的認知需要，促使學生展開積極主動的學習活動．

從MK上看，教師在引入新課時關注本章知識與已有知識的聯(lián)系，讓學生明確感受到，在收集數(shù)據(jù)后，要進一步獲取信息，需通過計算統(tǒng)計量進行分析．數(shù)學源于生活，教師用學生熟悉的考試成績計算總評來創(chuàng)設問題情境，通過問題串設計引導學生從已有的認知(算術平均數(shù))中尋找差異，自主建立“權”的概念．問題簡潔易懂，跳出繁雜的計算，激發(fā)學生的學習興趣，凸顯統(tǒng)計的意義．

從PK上看，教師通過啟發(fā)式的講授引領學生思考．從“權”的存在，到“權”的含義、加權平均數(shù)的計算，再反思“權”對結果的影響，新概念逐步浮出水面．在探究加權平均數(shù)的計算方法時，教師采用特殊與一般的數(shù)學思想，啟發(fā)學生自主獲得計算公式．

從CK上看，教師在問題(2)環(huán)節(jié)，鼓勵學生思考，并相互交流、討論．課堂上，當學生回答“合理”時，教師及時引導學生闡述原因，并點撥關鍵點：“同樣重要”；當學生回答“不合理”時，教師進一步追問原因，啟發(fā)學生思考如何體現(xiàn)重要性不同．對于學生回答的不同形式的權，教師給予了肯定，學生感受到了“權”的存在．

2.2 活動二 例題教學，應用新知

設計意圖從統(tǒng)計圖表中獲取信息，計算算術平均數(shù)及加權平均數(shù)，進一步理解權的意義．

例1一次演講比賽中，評委將從演講內容、演講能力、演講效果三個方面為選手打分，各項成績均按百分制計，進入決賽的前兩名選手的單項成績如下表所示：

選手演講內容演講能力演講效果A859595B958595

請根據(jù)下列問題計算選手的綜合成績，確定兩人的名次．

(1)按演講內容占50%、演講能力占40%、演講效果占10%，計算選手的綜合成績．

(2)若演講內容、演講能力、演講效果按照1∶3∶1的比確定，計算選手的綜合成績．

專家評析從MK上看，教師靈活處理了教材的例題，增加設計第(2)題，設計不同形式、不同數(shù)據(jù)的權，給予學生計算便利的同時，在對比中識記，鞏固新知，從而感受權的重要性．

從PK上看，第(1)題先由學生猜想判斷，然后師生共同完成，教師規(guī)范書寫解答，為后續(xù)學生解題提供良好的示范．教師展示學生第(2)題的答題情況，并由學生進行點評．

從CK上看，在解答第(1)題時，教師不是直接讓學生計算，而是設問：“不用計算，聰明的你能否直接判斷出他們哪一個的成績高?”，鼓勵學生分析、推斷，讓學生對“權”的作用有更深的體會．在解決問題的過程中，教師引導學生關注以下內容：這兩名選手的平均成績一樣嗎？讓學生發(fā)現(xiàn)加上權重之后顛覆性的結論，引發(fā)認知沖突，凸顯權的意義；通過設問加深對概念的理解，如85的權是多少，40%是誰的權；關注第(1)問列式中的分母(50%+40%+10%)，與前面權的計算公式統(tǒng)一．

2.3 活動三 應用遷移，鞏固提高

設計意圖掌握計算加權平均數(shù)，進一步理解權的意義．

練習某廣告公司欲招聘一名職員，A，B，C 三名應聘者的測試成績(百分制)如下表所示：

應試者測試成績創(chuàng)新能力計算機能力公關能力A725088B857445C677267

(1)如果公司招聘的職員分別是創(chuàng)作總監(jiān)、網(wǎng)絡維護員和客戶經(jīng)理各一名，給三項成績賦予相同的權合理嗎？

(2)請你設計合理的權重，為公司招聘一名職員：

① 創(chuàng)作總監(jiān)；② 網(wǎng)絡維護員；③客戶經(jīng)理．

專家評析從MK上看，此練習背景源于生活，解決問題的過程中需靈活運用加權平均數(shù)．設計開放題問題，有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維．

從PK上看，教師根據(jù)加權平均數(shù)的計算公式預先設計好如下Excel表格程序，根據(jù)學生的回答輸入“權”，計算機直接顯示A、B、C的成績．將現(xiàn)代信息技術有機融入數(shù)據(jù)處理，讓學生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

我來決策

從CK上看，教師通過開放性問題讓學生主動運用“權”影響一組數(shù)據(jù)的平均水平，幫助學生內化對權意義的理解，發(fā)展數(shù)據(jù)分析的觀念．

2.4 活動四 獨抒己見，暢談所得

設計意圖知識與方法的梳理，進一步理解本節(jié)新知識．

問題1：這節(jié)課你學習了什么知識？有什么感受？

追問1：加權平均數(shù)在數(shù)據(jù)分析中的作用是什么？

追問2：權的作用是什么？

問題2：在這節(jié)課中，“權”出現(xiàn)的形式有哪些？

建筑是社會構成的重要組成部分，為社會群體的生活、學習和工作提供了重要平臺，房屋建筑在實體經(jīng)濟中發(fā)揮著重要作用。目前，各種建筑都充斥著人們的生活。因此，為了使人們的生活更加穩(wěn)定和和諧，建筑物的安全和質量必須有更高的保障。這座建筑的建造過程需要更長的時間。在整個施工過程中，必須保證施工強度高度集中。只有這樣才能保證建筑完工后的質量。另外，建筑的施工過程涉及的內容較多，如施工前的檢驗、施工工藝、原材料、施工后的驗收等都很重要，任何一個內容問題都可能對建筑質量產(chǎn)生負面影響。

追問：“權”的不同形式之間可以相互轉化嗎？(課后思考)

問題3：我們今天學習的“加權平均數(shù)”和之前的“算術平均數(shù)”都屬于平均數(shù)，想一想它們之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問題4：數(shù)學源于生活，從剛才的學習中，我們知道權與生活息息相關．你還能舉出其他的例子嗎？

問題5：關于本節(jié)的學習，你還有什么疑問嗎？

專家評析從MK上看，教師緊扣教材重點難點，從以下幾個方面進行引導歸納：

(1)“權”與實際生活息息相關；

(2)當一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)重要程度不同時，加權平均數(shù)能更好地反映這組數(shù)據(jù)的平均水平；權反映數(shù)據(jù)的相對重要程度，數(shù)據(jù)權的改變一般會影響這組數(shù)據(jù)的平均水平．

(3)如何計算加權平均數(shù)．

問題2教師從學生的回答出發(fā)，指出百分比的形式有時也以小數(shù)或分數(shù)的形式出現(xiàn)，當然，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的相對重要程度，不止上述形式，比如下節(jié)課將學習“權”出現(xiàn)的另一種形式，鼓勵學生提前預習，為新課學習做下鋪墊．

問題3教師啟發(fā)學生議關聯(lián)，理頭緒，建構知識體系．在獲得概念的過程中，通過概念之間的關系認識新概念，同時使學生對已有的相關概念獲得更深刻的理解．

從PK上看，教師組織學生小組討論，課堂氣氛濃厚．

從CK上看，教師設置層層遞進的問題引導學生思考、討論、舉例．課堂教學中，學生暢所欲言，列舉了許多生活中的實例．比如有的學生談到中考總分計算的方式(不同學科不同權重)，對應于自己的學習，應如何科學合理分配時間才更加高效；有的學生談到將來自己在參加招聘或招聘員工時，要注意根據(jù)崗位需求關注或設置權重等．

3 優(yōu)化教師MPCK的策略

3.1 鉆研教材，力透紙背分析，發(fā)展教師MK

鉆研教材有助于發(fā)展教師MK，因為教材是許多專家、學者智慧的結晶，是師生對話的“話題”，是引導學生認知、建構學科知識的范例，也是促進學生智力和能力發(fā)展的平臺．章建躍教授提出一堂好的數(shù)學課基于三個理解：理解數(shù)學、理解學生、理解教學，這里的“理解數(shù)學”的前提就是挖掘教材中數(shù)學知識蘊含的價值資源．因此，在備一堂新課時，教師不但要“逐字逐句”研讀教材，還要“力透紙背”，“精致”地處理教材，從而發(fā)展MK．教師要解讀課標，把握本節(jié)的教學目標，確定本節(jié)課的重點和難點；遵循學生的認知規(guī)律和思維發(fā)展水平，巧妙設計新知識的生成過程，并根據(jù)學情進行教學內容的增減；挖掘本節(jié)課蘊含的數(shù)學思想方法，挖掘本節(jié)課對學生后續(xù)學習最重要的遷移價值，挖掘本節(jié)課的教育意義等．

研讀本節(jié)教材，明確本節(jié)教學的重點是理解加權平均數(shù)的意義，體會權的意義；難點是對“權”意義的理解，用加權平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢；關鍵點是引導學生了解權的含義，進而認識加權平均數(shù)的統(tǒng)計意義及加權平均數(shù)從一個側面反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，即平均水平．

統(tǒng)計的教學價值在于發(fā)展學生的理性思維，讓人講道理，以理服人．數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的重要環(huán)節(jié)，平均數(shù)是衡量一組數(shù)據(jù)集中趨勢的重要統(tǒng)計量，它反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，是度量一組數(shù)據(jù)波動大小的基準，為后續(xù)學習方差奠定堅實的基礎.

3.2 實踐課改，體現(xiàn)學生主體，提升教師CK

實踐課改，教師作為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，應關注學情，體現(xiàn)學生的主體地位，提升自我的CK．

章建躍的“理解學生”就是以學生為主體的最好的體現(xiàn)，它的核心是“理解學生的數(shù)學認知規(guī)律和情感發(fā)展規(guī)律”．因此，提升教師CK，需以學生為基點設計新知識的發(fā)生和發(fā)展過程．

本節(jié)的授課對象是八年級的學生，他們思維活躍，對觀察、猜想、探索性的問題充滿好奇．針對學生的心理特征，本課時在“權對于結果的影響”的教學環(huán)節(jié)，采用讓先學生分析、推斷的探究方式，讓學生感受到探索的樂趣．

由于生活經(jīng)驗的局限，同時受認知水平的影響，學生對權的意義和作用的理解存在一定的困難．因為缺乏對概念本質的理解，在運用加權平均數(shù)分析數(shù)據(jù)時，容易混淆數(shù)據(jù)和權，部分學生往往只會記住公式，而不會解釋數(shù)據(jù)分析結果的實際意義或統(tǒng)計意義，把統(tǒng)計問題的學習僅僅停留在計算層面．基于此，教學中要讓學生感受引入“權”的必要性、凸顯“權”的重要性、揭示“權”的本質性．同時，讓學生了解在現(xiàn)實生活中有許多問題可以通過分析數(shù)據(jù)做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊含著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的意識，發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

3.3 立足目標，導航教學全程，靈活選擇PK

教學目標是一切教學活動的出發(fā)點和最終歸宿，以教學目標為基點導航教學全程，靈活選擇PK．

本節(jié)的知識與技能教學目標為：理解平均數(shù)、加權平均數(shù)、權的意義；能從統(tǒng)計圖表中獲取信息，計算一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)以及加權平均數(shù). 過程與方法：學生通過加權平均數(shù)分析一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力，逐步形成數(shù)據(jù)分析觀念.情感態(tài)度與價值觀：在課堂互動中鼓勵學生全程參與數(shù)學活動，誘發(fā)好奇心，激發(fā)求知欲；進一步培養(yǎng)學生獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣．在對“權”統(tǒng)計意義理解的基礎上，滲透公平公正、實事求是的價值觀．

圍繞著教學目標，細化到每一個教學環(huán)節(jié)，靈活選擇PK．本節(jié)中教師進行啟發(fā)性的講授，設計層層遞進的問題引領學生思考；設計有效的例題與鞏固訓練題(如活動二、三)，學生對于新知理解掌握，遷移應用．

綜上所述，提升數(shù)學教師所應具備的核心知識(MPCK)，需準確理解教材內容，充分理解教學和課程目標，以及教材中蘊涵的數(shù)學思想等；掌握學生已有的知識儲備、活動經(jīng)驗，預設學生學習過程中存在的困難，從而遵循學生的認知規(guī)律和思維發(fā)展水平，確定科學有效的教學方法和教學策略．每一次公開課，都是優(yōu)化教師MPCK的重要平臺，而教學中教師對數(shù)學知識的自覺追問和不斷反思是優(yōu)化MPCK的重要策略，最終構建魅力課堂．