羅雪萍

(西南民族大學計算機科學與技術(shù)學院，四川 成都 610041)

1 引言

變分不等式是的理論分析及應用近年來受到廣泛關(guān)注，參見文獻[1-15].作為變分不等式的重要推廣，廣義混合變分不等式引起眾多學者的研究興趣，并獲得了大量的研究成果，參見文獻[1-6].其中，廣義混合變分不等式解集的性質(zhì)是一個有趣的課題，引起了研究者們的廣泛興趣.關(guān)于廣義混合變分不等式解集的有界性、閉性、連通性與連續(xù)性等均受到了關(guān)注，并涌現(xiàn)了許多相關(guān)的文獻.

He[7]在自反巴拿赫空間中，討論了廣義變分不等式解集的有界性.Zhong與Huang[4]將文獻[7]的有界性結(jié)果推廣到f-偽單調(diào)的廣義混合變分不等式的情形.其中，文獻[4]中的有界性條件涉及到函數(shù)的回收函數(shù).然而，研究發(fā)現(xiàn)利用共軛函數(shù)來刻畫廣義混合變分不等式的有界性條件較文獻[4]中的條件會更弱.這樣，一個新的有界性條件被論證是廣義混合變分不等式具有非空有界解集的充要條件，同時還給出了具體例子支撐主要定理.

文章的結(jié)構(gòu)如下：第二部分給出需用的概念及基礎知識；第三部分在自反巴拿赫空間中，介紹廣義混合變分不等式解集的有界性條件.第四部分證明了此有界性條件的充要性.第五部分總結(jié)全文.

2 預備知識

令X為自反巴拿赫空間且其對偶空間為X*，‖·‖為X中的范數(shù)，為X與X*的對偶對.設K為X中的非空閉凸集，F(xiàn)：K→2X*為具有非空值的集值映射，f：K→R∪{+∞}為真凸下半連續(xù)函數(shù).將討論以下廣義混合變分不等式問題(簡稱為GMVI(F，K))，i.e.，求x∈K與x*∈F(x)使得

眾所周知，與GMVI(F，K)緊密聯(lián)系的對偶變分不等式，即Minty型混合變分不等(稱為MMVI(F，K))，i.e.，求x∈K使得

表示序列 {x}弱收斂到x.對于A?X，A的內(nèi)部表示為intA.K的匣錐barrK被定義為

n barrK：={x*∈X*：supx∈K〈x*，x〉＜∞}.

K的回收錐K∞是閉凸錐，被定義為：

任意給定x0∈K，

K∞={d∈X：x0+λd∈K，?λ＞0}.

令f：K→R∪{+∞}是真凸下半連續(xù)函數(shù).f的回收函數(shù)f∞被定義為

其中x0∈domf.因此，

令：X*→R∪{+∞}被定義為

稱為f的共軛函數(shù).

K的指示函數(shù)IK被定義為

K的支撐函數(shù)σK：X*→R∪{+∞}被定義為

明顯地，IK*=σK，domσK=barr(K).

定義1令F：K→2X*是具有非空值的集值映射，f：K→R∪{+∞}是函數(shù).稱F

(i)在K上單調(diào)，如果對于任意的x，y∈K及任意的x*∈F(x)，y*∈F(y)，

〈y*-x*，y-x〉 ≥0；

(ii)在K上偽單調(diào)，如果對于任意的x，y∈K及任意的x*∈F(x)，y*∈F(y)，〈x*，y-x〉≥0?〈y*，y-x〉 ≥0；

(iii)在K上f-偽單調(diào)，如果對于所有的x，y∈K及任意的x*∈F(x)，y*∈F(y)，〈x*，y-x〉+f(y)-f(x) ≥0?〈y*，y-x〉+f(y)-f(x) ≥0；

(iv)在x0∈K處上半連續(xù)，如果對于F(x0)的任意鄰域N(F(x0))，存在x0的一個鄰

域N(x0)，使得

(v)在K上沿線節(jié)上半連續(xù)，如果F在X*中關(guān)于弱拓撲在K中的任意線段都是上半

連續(xù).

引理1[4，引理4.1]令K在中是非空閉凸集，F(xiàn)：K→2x*是非空值的集值映射，f：K→R∪{+∞}是凸函數(shù).以下(i)與(ii)均成立：

(i)如果F在K上是f-偽單調(diào)，則GMVI(F，K)的任意解是MMVI(F，K)的解；

(ii)如果F在K上是沿線節(jié)上半連續(xù)，則MMVI(F，K)的任意解是GMVI(F，K)的解.

3 新的有界性條件

首先在自反巴拿赫空間中，給出一個新的廣義混合變分不等式的有界性條件(W).假設K是X中的無界子集且int(barrK)≠?，有

注釋：如果f≡IK∞＼{0}，則≡σK∞＼{0}.由(1)，有

這樣，存在∈F(K)，對于任意的x∈K∞＼{0}，有

即為，〈y0*，x〉＞0.因此，K∞∩F(K)-={0}，此式為廣義變分不等式的有界性條件，被眾多研究學者討論，參見文獻[7].

在文獻[4]中的定理3.2給出了以下廣義混合變分不等式有界性條件(S)并證明了其充分必要性.

事實上，有界性條件(W)是弱于有界性條件(S)的.下面，將證實在自反巴拿赫空間中，有界性條件(W)是一個較弱的條件.

定理1令X是自反巴拿赫空間，K在X中是非空閉凸集，F(xiàn)：K→2x*是非空值的集值映射，f：K→R∪{+∞}是真凸下半連續(xù)函數(shù).如果有界性條件(S)成立，則

證明：因為有界性條件(S)成立，所以對于任意的d∈K∞＼{0}，存在y0*∈F(K)，使得

由f∞(·) 的定義可知

這樣，對于足夠大的t＞0，有

以下例子說明滿足有界性條件(W)的廣義混合變分不等式未必對有界性條件(S)成立.

例1令X=R，K=[0，+∞[.定義f：K→R為

與F：K?R為

因此，對于所有的x∈R，K∞=K=[0，+∞[，

下面，將證實廣義混合變分不等式滿足有界性條件(W)，事實上，

然而，有界性條件(S)并不成立，

4 主要結(jié)果

第3節(jié)證明了有界性(W)是一個較弱的條件.鑒于文獻[4]證明了有界性(S)是確保解集非空有界的充要條件，只需要證實(W)是確保廣義混合變分不等式解集非空有界的充分條件即可.

定理2令K在X中是非空閉凸集且int(barrK)≠?，F(xiàn)：K→2x*是沿線節(jié)上半連續(xù)與f-偽單調(diào)的非空值映射，f：K→R是真凸下半連續(xù)函數(shù).如果有界性條件(W)成立，則GMVI(F，K)的解集非空有界.

證明：只需要證明存在有界集C?K，使得對于任意x∈K＼C，存在y∈C滿足supy*∈F(y)〈y*，x-y〉+f(x)-f(y)＞0即可.若不然，類似文獻[4]中定理3.2的證明，存在d∈K∞＼{0}使得

由f∞(·)的定義可知對任意的y*∈F(K)，有

這樣，對于足夠大的t＞0，有

即為〈-y*，td〉-f(td)≥0.因為d∈K∞＼{0}和K∞是一個錐，td∈K∞＼{0}.對于任意的y*，存在d0=td∈K∞＼{0}，使得〈-y*，d0〉-f(d0)≥0.這樣，與已知條件產(chǎn)生矛盾.類似文獻[4]中定理3.2的證明，得到MMVI(F，K)的解集是非空有界的.然后，利用引理2.3即得證.證畢.

下面例子說明有界性條件(W)是廣義混合變分不等式解集非空有界的充要條件.

例2令X=R，K=[0，+∞[.定義f：K→R為

與F：K?R為

因此，對于所有的x∈R，K∞=K=[0，+∞[，

下面，將證實廣義混合變分不等式滿足有界性條件(W)，事實上，

然而，有界性條件(S)并不成立，

通過簡單的計算，可知此廣義混合變分不等式解集是有界的單點集{0}.

5 結(jié)論

首次引入了廣義混合變分不等式的一個新的有界性條件，并證明了此條件是確保解集非空有界的充分必要條件.最后，還給出了具體例子支撐主要定理.