向開恒 李人杰， 陳楊

(1. 航天科工空間工程發(fā)展有限公司, 北京 100854； 2. 北京電子工程總體研究所, 北京 100854)

空間飛越是指運(yùn)行在停泊軌道的航天器，收到指令后沿著設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)移軌道，從距離目標(biāo)航天器或天體極近的空間一點(diǎn)(飛越點(diǎn))掠過，進(jìn)行短時(shí)間觀測并遠(yuǎn)離的過程[1]。對空間飛越的研究具有重要意義。首先，飛越探測是深空探測的一種重要方式，如嫦娥二號(hào)對4179 Toutatis小行星的飛越探測[2]。其次，在進(jìn)行在軌服務(wù)之前，對目標(biāo)實(shí)施飛越可以對其進(jìn)行快速有效的觀察，獲取目標(biāo)運(yùn)行狀況、故障類別等信息[3]。最后，飛越式接近還可以作為一種安全接近方法，使在軌服務(wù)航天器沿一條無碰撞路徑到達(dá)目標(biāo)，且保證出現(xiàn)故障時(shí)也能安全撤離[4-5]。

飛越軌道的優(yōu)化設(shè)計(jì)是實(shí)施空間飛越的基礎(chǔ)，然而因?yàn)楦鞣N不確定性因素的存在，航天器難以按照預(yù)先設(shè)計(jì)的最優(yōu)軌道進(jìn)行飛越，所以相對于軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)，更為關(guān)注的是在一定初始條件下發(fā)射窗口的計(jì)算方法。目前對運(yùn)載火箭的發(fā)射窗口計(jì)算已較為成熟，但是對從停泊軌道出發(fā)的發(fā)射窗口研究較少。文獻(xiàn)[6]使用遍歷搜索方法，研究了嫦娥二號(hào)從環(huán)日地L2點(diǎn)軌道出發(fā)，飛越探測小行星的發(fā)射窗口；文獻(xiàn)[7]提出了基于發(fā)射窗口的天基發(fā)射方案，在給定初始條件下計(jì)算了發(fā)射窗口，研究了軌道規(guī)劃策略。在進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，不同初始條件下的發(fā)射窗口不同，初始條件是一個(gè)重要的影響因素，所以有必要對此進(jìn)行研究。

為研究初始條件的影響，需要對若干組不同初始條件下的發(fā)射窗口進(jìn)行分析，而每一組都需要采用數(shù)值方法進(jìn)行遍歷搜索來計(jì)算，因此計(jì)算量大、耗時(shí)長，需要研究高效的計(jì)算方法。代理模型(surrogate models)技術(shù)是一種降低計(jì)算成本的有效方法，所謂代理模型是指計(jì)算量小、但計(jì)算結(jié)果與真實(shí)模型的結(jié)果相近似的分析模型。在研究過程中用代理模型替代真實(shí)的高精度模型，可以有效地減少計(jì)算量、提高仿真計(jì)算的效率[8-9]。代理模型技術(shù)是多學(xué)科優(yōu)化領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容之一，但在航天器軌道設(shè)計(jì)與發(fā)射窗口計(jì)算中的應(yīng)用較少。文獻(xiàn)[10]通過構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back Propagation Neural Network，BPNN)代理模型，進(jìn)行了空間飛行器可遭遇區(qū)與最小速度增量遭遇點(diǎn)的計(jì)算。

本文針對空間飛越問題，研究不同初始條件下發(fā)射窗口的數(shù)值計(jì)算方法和代理模型技術(shù)，對比分析不同的代理模型構(gòu)造方法在解決該問題中的效果和適用性，基于代理模型快速分析初始條件對發(fā)射窗口的影響。

1 考慮初始條件的發(fā)射窗口計(jì)算

1.1 空間飛越任務(wù)流程

一次空間飛越任務(wù)如圖1所示。

都市生態(tài)的內(nèi)涵十分豐富，除了自然生態(tài)之外，還涉及到了都市的人文生態(tài)，因此都市生態(tài)不僅關(guān)系著城市居民的生活環(huán)境質(zhì)量，同時(shí)也影響著其精神層面的發(fā)展[1]。通常情況下，我們會(huì)將都市生態(tài)分為兩個(gè)部分，其中自然生態(tài)即是指城市環(huán)境，人文生態(tài)則是指一些歷史遺留的古建筑和非物質(zhì)文化遺產(chǎn)。當(dāng)前階段的市政工程管理存在明顯的片面性，普遍存在重視自然生態(tài)保護(hù)，忽視人文生態(tài)保護(hù)的情況，對文化遺產(chǎn)的繼承發(fā)展造成了嚴(yán)重的阻礙。

從接收飛越任務(wù)指令到完成飛越任務(wù)的具體流程如下:

Cloumn-Bot采用Arduino mega 2560單片機(jī)作為核心控制器，其上具有54路數(shù)字輸入輸出，適合需要大量IO接口的設(shè)計(jì).

1)t0時(shí)刻接收指令，此時(shí)飛越航天器和目標(biāo)航天器的位置分別為rf0、rt0。

圖4是美國前三輪加息周期中上證指數(shù)的月線波浪形態(tài)。通過觀察不難看出，美國加息時(shí)段中的A股存在一個(gè)共性之處，即大致都呈現(xiàn)出先跌后漲的V形走勢，并與中國股市特有的浪形態(tài)勢相契合。自2015年12月以來的美聯(lián)儲(chǔ)這輪加息周期時(shí)間最長，共已加息9次。2016年1月至今三年時(shí)間里，A股主要經(jīng)歷了前兩年的緩慢上揚(yáng)和今年的持續(xù)大幅調(diào)整。有預(yù)期認(rèn)為2019年美國還將加息兩次，那么，中國A股是否會(huì)在新的一年里止跌并出現(xiàn)一波上漲呢？目前看來的確有這樣的可能。關(guān)于近幾年A股市場走勢的浪形分析，讀者朋友可參考上期專欄文章及圖示。

3) 在t1時(shí)刻，飛越航天器施加脈沖進(jìn)行變軌。

4) 飛越航天器變軌后，飛行Δt時(shí)間，到達(dá)t2時(shí)刻，t2=t1+Δt。此時(shí)飛越航天器到達(dá)飛越點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)飛越。因?yàn)轱w越點(diǎn)與目標(biāo)航天器的距離和該點(diǎn)與地心的距離相比極小，可以忽略，所以假定此時(shí)飛越航天器和目標(biāo)航天器的位置均為rt。

相似度比較計(jì)算是信息分類及判別的關(guān)鍵技術(shù)。由于自然語句是由字、詞語及關(guān)鍵字等組成，相似度的比較計(jì)算可以分為詞語相似度、語義相似度、句子相似度、句長相似度等多個(gè)特征方面。其中，詞語相似度是指兩個(gè)或幾個(gè)詞語所表達(dá)的內(nèi)涵相同或相近，可以互相替換使用而不改變整個(gè)語句的文義的程度，常用的詞語相似度算法有基于統(tǒng)計(jì)和基于規(guī)則的兩種方法；句子相似度主要由基于語法的分析和基于詞匯相似度矩陣的分析方法。通過多個(gè)特征相似度的分析計(jì)算，對語句及其含義進(jìn)行綜合對比研究，從而達(dá)到自動(dòng)評閱的目的。

圖1 空間飛越任務(wù)示意圖Fig.1 Schematic diagram of space fly-by mission

完整的飛越任務(wù)時(shí)序如圖2所示。定義從接收指令到施加脈沖前的時(shí)間Δt0為等待時(shí)間，從施加脈沖到完成飛越的時(shí)間Δt為轉(zhuǎn)移時(shí)間，總時(shí)間為飛越時(shí)間Δts= Δt0+Δt。

圖2 空間飛越任務(wù)時(shí)序Fig.2 Timing sequence of space fly-by mission

1.2 不同初始條件下發(fā)射窗口計(jì)算方法

學(xué)校里教什么行業(yè)的班級(jí)都有：廚師（刀功、面案、烹飪、擺臺(tái)），汽車修理和駕駛，公共電汽車售票員，園藝工（花匠），開城市灑水車，美容美發(fā)，電影放映員，澡堂子服務(wù)員，商店售貨員，服裝裁剪，倉庫保管員，會(huì)計(jì)、出納和文秘，差不多就是一個(gè)綜合性社會(huì)服務(wù)業(yè)預(yù)備班。

2.2 NAFLD組與對照組CD4+CD25+T細(xì)胞結(jié)果比較 NAFLD患者外周血CD4+CD25+T細(xì)胞百分率較對照組明顯降低，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05），見表2。

將所有滿足約束的t1時(shí)刻的集合作為發(fā)射窗口，發(fā)射窗口隨t0時(shí)刻初始條件的變化而變化。假設(shè)不考慮攝動(dòng)力的影響，飛越航天器和目標(biāo)航天器的軌道在空間固定不變，則t0時(shí)刻兩者的初始位置rf0和rt0只與其平近點(diǎn)角mf0和mt0有關(guān)。所以，研究初始條件對發(fā)射窗口的影響即研究平近點(diǎn)角的影響，具體步驟如下：

步驟1初始化飛越航天器平近點(diǎn)角mf0=0°。

Put the optimized formula of glass holder profile into SAP system, and extend BOM list code[5-7]. The length of each profile can be calculated for actual need. The result can be listed in related order as below:

步驟2初始化目標(biāo)航天器平近點(diǎn)角mt0=0°。

清朝沿襲明朝的閉關(guān)鎖國政策，直到1684年之前都禁止海外貿(mào)易。1684年，清政府設(shè)廣州、漳州、寧波、云臺(tái)山(今江蘇鎮(zhèn)江)四處為對外通商口岸，并引用已有的內(nèi)陸口岸的規(guī)定管理海關(guān)。1757年(乾隆二十三年)，清政府撤銷其他口岸，限定廣州一口通商，直到鴉片戰(zhàn)爭，一直實(shí)行單口貿(mào)易政策。關(guān)稅稅率大體為進(jìn)口稅率是16%，出口稅率4%④。進(jìn)出口關(guān)稅稅率的差異一定程度上體現(xiàn)了清政府鼓勵(lì)出口、抑制進(jìn)口的初衷。但由于進(jìn)出口規(guī)模有限、海關(guān)行政效率低下及貪污腐敗盛行，關(guān)稅對整個(gè)財(cái)政收入的貢獻(xiàn)微乎其微。

步驟4初始化轉(zhuǎn)移時(shí)間Δt=Δtmin，Δtmin為最小轉(zhuǎn)移時(shí)間。

步驟5根據(jù)mf0和mt0計(jì)算飛越航天器和目標(biāo)航天器的初始位置rf0、rt0，然后根據(jù)Δt0和Δt計(jì)算出rf、rt，使用普適變量法求解Lambert問題得到速度增量Δv；計(jì)算飛越時(shí)間Δts=Δt0+Δt；如果Δv<Δvmax且Δts<Δtsmax，則t1時(shí)刻屬于初始條件為mf0和mt0時(shí)的發(fā)射窗口，其中Δvmax和Δtsmax分別為變軌速度增量和飛越時(shí)間的最大允許值。

因?yàn)楸疚难芯康氖强臻g飛越而非空間交會(huì)，所以飛越點(diǎn)速度約束暫不考慮；本文采用二體動(dòng)力學(xué)模型下的Lambert變軌，不考慮攝動(dòng)因素，因而可以保證飛越點(diǎn)位置約束滿足要求，且無需考慮中途修正及其燃料約束；在飛越點(diǎn)附近對目標(biāo)航天器進(jìn)行觀測時(shí)要求日光、月光、地氣光等不能進(jìn)入觀測設(shè)備的視場影響觀測效果，仿真結(jié)果表明，光照條件在短時(shí)間內(nèi)變化極小，因此本文假設(shè)在任務(wù)期間飛越點(diǎn)光照條件不變且滿足約束。而變軌速度增量和飛越時(shí)間是最重要、最基本的2個(gè)約束，如文獻(xiàn)[7,10-11]均在只考慮這2個(gè)約束的條件下來計(jì)算發(fā)射窗口。綜上，本文重點(diǎn)考慮變軌速度增量約束和飛越時(shí)間約束。

步驟3初始化等待時(shí)間Δt0=Δt0 min，Δt0min為最小等待時(shí)間。

步驟6更新Δt=Δt+Δtstep，Δtstep為轉(zhuǎn)移時(shí)間的步長；如果Δt<Δtmax，則返回步驟5，否則進(jìn)行步驟7，其中Δtmax為最大轉(zhuǎn)移時(shí)間。

（一）多閱讀積累故事。每天在課每周我會(huì)用一節(jié)課時(shí)間，給同學(xué)們講故事，有時(shí)是我站在講臺(tái)上給同學(xué)們繪聲繪色手舞足蹈的邊說邊演；有時(shí)我把故事說完，會(huì)讓孩子根據(jù)故事中的角色進(jìn)行表演，并且允許他們自行改編。這也為他們改變故事和給故事寫續(xù)集做好了充分的準(zhǔn)備。

步驟7更新Δt0=Δt0+Δt0step，Δt0step為等待時(shí)間的步長；如果Δt0<Δt0max，則返回步驟4，否則進(jìn)行步驟8，其中Δt0max為最大等待時(shí)間。

步驟8更新mt0=mt0+mtstep，mtstep為目標(biāo)航天器平近點(diǎn)角的步長；如果mt0<360°，則返回步驟3，否則進(jìn)行步驟9。

步驟9更新mf0=mf0+mfstep，mfstep為飛越航天器平近點(diǎn)角的步長；如果mf0<360°，則返回步驟2，否則結(jié)束。

計(jì)算過程如圖3所示。

可以看出，研究初始條件對發(fā)射窗口的影響，需要對mf0、mt0、Δt0和Δt4個(gè)變量進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，計(jì)算量極大。

文獻(xiàn)[11]研究了一種特殊的情況：飛越航天器和目標(biāo)航天器的軌道為共面圓軌道時(shí)，初始條件對發(fā)射窗口的影響。定義初始相位角θ0為t0時(shí)刻飛越航天器與目標(biāo)航天器的地心角，即兩者緯度幅角之差，則在共面圓軌道的假設(shè)下，初始條件的變化只與初始相位角θ0的變化有關(guān)。因此，只需研究初始相位角的變化對發(fā)射窗口的影響，即在計(jì)算過程中只需θ0、Δt0和Δt3個(gè)變量的循環(huán)。研究結(jié)果顯示，在共面圓軌道情況下計(jì)算耗時(shí)約為10 min。而對于一般情況，初始條件與平近點(diǎn)角mf0和mt0有關(guān)，相比于共面圓軌道，計(jì)算過程多了一重循環(huán)，假設(shè)以1°為步長，則計(jì)算量為原來的360倍，預(yù)計(jì)耗時(shí)約60 h，計(jì)算時(shí)間過長，因此需要研究提高計(jì)算效率的方法。

1.闊盤吸蟲病。闊盤吸蟲病感染的環(huán)境需要含蟲卵糞便、蝸牛及牧草混合在一起，我國南方牛、羊受感染的季節(jié)主要在秋季(7～10月)。其它季節(jié)發(fā)病率不高。

圖3 發(fā)射窗口計(jì)算過程Fig.3 Calculation process of launch window

2 代理模型技術(shù)

代理模型是根據(jù)真實(shí)模型的輸入/輸出樣本數(shù)據(jù)來構(gòu)造的一個(gè)替代模型。構(gòu)造代理模型一般需要3個(gè)步驟：首先,選取樣本點(diǎn)，通過真實(shí)模型計(jì)算出對應(yīng)的輸出值，生成輸入/輸出樣本數(shù)據(jù)；然后,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造出代理模型；最后,對代理模型的精度進(jìn)行校驗(yàn)，評估其可信度[12-13]。

2.1 生成樣本數(shù)據(jù)

構(gòu)建代理模型，首先是選取樣本點(diǎn)并計(jì)算樣本點(diǎn)的輸出值。通常使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)作為采樣策略，通過科學(xué)合理的數(shù)學(xué)安排，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)生成能夠反映真實(shí)計(jì)算模型的數(shù)值特征的樣本點(diǎn)[14]。常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法包括：全析因設(shè)計(jì)、正交設(shè)計(jì)、中心復(fù)合設(shè)計(jì)、均勻設(shè)計(jì)、拉丁超立方設(shè)計(jì)等。

在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，輸入變量被稱為因素，因素所處的狀態(tài)稱為水平[15]。本文選用全析因設(shè)計(jì)方法，該方法將所有因素的所有水平進(jìn)行組合來選取樣本點(diǎn)，能夠全面反映輸入變量及其相互間的交互作用對輸出值的影響。全析因設(shè)計(jì)生成的樣本點(diǎn)數(shù)ns為

ns=(nl)nv

(1)

式中：nv為因素?cái)?shù)，即輸入變量的個(gè)數(shù)；nl為水平數(shù)。

通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)得出樣本點(diǎn)x=[x1,x2, …,xns]之后，需要計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)所對應(yīng)的輸出值，針對本文研究的問題來說，即為樣本點(diǎn)所對應(yīng)的發(fā)射窗口長度。發(fā)射窗口長度的計(jì)算使用1.2節(jié)的方法，只是對于每個(gè)樣本點(diǎn)來說，mf0和mt0確定，只需計(jì)算Δt0和Δt2個(gè)變量的循環(huán)，即步驟3～步驟7。最終得到樣本點(diǎn)輸出數(shù)據(jù)y=[y1,y2,…,yns]。

生成輸入/輸出樣本數(shù)據(jù)后，可以進(jìn)行代理模型的構(gòu)造。

2.2 構(gòu)造代理模型

常用的代理模型構(gòu)造方法包括多項(xiàng)式響應(yīng)面法(Response Surface Method，RSM)、移動(dòng)最小二乘(Moving Least Square，MLS)、徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)、Kriging模型、BPNN和支持向量回歸(Support Vector Regression，SVR)等。文獻(xiàn)[14]從近似精度、計(jì)算成本、實(shí)現(xiàn)難度等方面對典型的代理模型構(gòu)造方法進(jìn)行了對比評估，得出RBF模型和Kriging模型的綜合性能優(yōu)于其他代理模型。因此，本文研究這2種代理模型在空間飛越發(fā)射窗口計(jì)算中的應(yīng)用。

設(shè)計(jì)導(dǎo)入期的目的，一是穩(wěn)定基線，二是洗脫藥物。14項(xiàng)研究中有6項(xiàng)（42.86%）設(shè)計(jì)了導(dǎo)入期，時(shí)長1～4周。其中1周1項(xiàng)，2周2項(xiàng)，4周3項(xiàng)。隨訪目的為觀察腹痛的復(fù)發(fā)率。14項(xiàng)研究中10項(xiàng)設(shè)計(jì)了4周～6個(gè)月隨訪。其中，4周5項(xiàng)（35.71%），8周3項(xiàng)（21.43%），12周及6月各1項(xiàng)（各占7.14%）。

μ=(dTQ-1d)-1dTQ-1y

徑向函數(shù)是以未知點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間的歐氏距離為自變量的一類函數(shù)。以徑向函數(shù)為基函數(shù)，通過線性疊加構(gòu)造出來的模型即為RBF模型，其基本形式為[14,16]

(2)

式中：fR(xu)為未知設(shè)計(jì)點(diǎn)xu處RBF模型的預(yù)測值；α=[α1,α2,…,αns]T為權(quán)重系數(shù)向量；gi(xu)為徑向函數(shù)，常用的徑向函數(shù)有

(3)

構(gòu)建RBF模型的重點(diǎn)是求解權(quán)重系數(shù)α，α應(yīng)滿足插值條件，使樣本點(diǎn)處的預(yù)測值與真實(shí)值相等，即

(4)

式中：xj為第j個(gè)樣本點(diǎn)；yj為第j個(gè)樣本點(diǎn)的輸出。式(4)的矩陣形式為

Gα=y

(5)

式中：G為徑向函數(shù)矩陣

(6)

則權(quán)重系數(shù)

α=G-1y

(7)

2.2.2 Kriging模型

Kriging模型是由南非地質(zhì)學(xué)者Krige提出的一種針對空間分布數(shù)據(jù)的無偏最優(yōu)估計(jì)插值模型，由全局模型和局部偏差模型疊加而成，其基本形式為[14,17]

fK(xu)=w(xu)+Z(xu)

(8)

式中：w(xu)為多項(xiàng)式全局近似模型，反映近似對象在設(shè)計(jì)空間內(nèi)的總體變化趨勢，可取常數(shù)μ；局部偏差項(xiàng)Z(xu)是一個(gè)隨機(jī)過程，其均值為零、方差為σ2、協(xié)方差非零。Kriging模型的近似能力主要由局部偏差項(xiàng)Z(xu)決定，其協(xié)方差矩陣可表示為

Cov[Z(xi),Z(xj)]=σ2Q[q(xi,xj)]

(9)

式中：Q為對稱相關(guān)矩陣;q(xi,xj)為高斯相關(guān)函數(shù)

(10)

對任一設(shè)計(jì)點(diǎn)xu，引入相關(guān)向量p(xu)為

fK(xu)=μ+pT(xu)Q-1(y-dμ)

(11)

由此，Kriging模型可以表示為

我的母校已不復(fù)存在了，連身后那幢曾與我們朝夕相伴的水房也龜裂了，坍塌了。在那些山墻下的垃圾與瓦礫堆中，躥出的紫棒花和野草正敘說著不盡的孤寂。秋風(fēng)中那一排粗大的楊樹，正不斷地往下飄落著桔紅色的葉子。羈旅行役，半世蹉跎，這一生我已經(jīng)走完了大半了呵……

p(xu)=[q(xu,x1),q(xu,x2),…,q(xu,xns)]T

(12)

式中：d可設(shè)為元素全為1的ns維列向量。模型中存在3個(gè)未知量：μ、θ和σ2，其中μ和σ2都是θ的函數(shù)，兩者的最小二乘估計(jì)可通過式(13)和式(14)求出：

2.2.1 RBF模型

(13)

(14)

將μ和σ2的表達(dá)式代入式(15)所示的一維優(yōu)化問題可求解得到相關(guān)參數(shù)：

s.t.0≤θ≤∞

(15)

2.3 校驗(yàn)代理模型精度

代理模型構(gòu)建完成之后，需要對其精度進(jìn)行評估和校驗(yàn)。通常根據(jù)以下2個(gè)準(zhǔn)則來判斷代理模型的精度[8]：復(fù)相關(guān)系數(shù)R2和均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)，其表達(dá)式為

(16)

(17)

R2越接近1，表示代理模型的全局近似程度越好，一般認(rèn)為大于0.9即滿足要求，此處R2為統(tǒng)計(jì)學(xué)符號(hào)，并非平方，其值可能為負(fù)；RMSE越接近0，表示最大的局部誤差越小，一般認(rèn)為小于0.2即滿足要求。

空間飛越發(fā)射窗口的計(jì)算需要考慮多個(gè)約束條件，包括變軌速度增量、飛越時(shí)間、飛越點(diǎn)狀態(tài)、飛越過程燃料等。其中飛越點(diǎn)狀態(tài)約束包括飛越點(diǎn)位置和速度約束、飛越點(diǎn)光照條件約束等；飛越過程燃料約束是為了保證飛越點(diǎn)精度，進(jìn)行中途修正所需的燃料約束。

3 兩種代理模型方法的對比

針對本文研究的空間飛越過程中初始條件對發(fā)射窗口影響的問題，利用1.2節(jié)提出的數(shù)值計(jì)算方法，根據(jù)代理模型技術(shù)構(gòu)造RBF模型和Kriging模型，對2種模型的精度進(jìn)行對比分析。

設(shè)t0時(shí)刻飛越航天器和目標(biāo)航天器的軌道根數(shù)如表1所示。表中，a為半長軸，e為偏心率，i為軌道傾角，Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)，ω為近地點(diǎn)幅角。

覆蓋在頂管上的載荷主要由管節(jié)上方土壓力和道路交通載荷組成，管節(jié)上方土壓力主要與覆土深度和土層有關(guān)，在考慮卸荷拱效應(yīng)的作用下，采用散粒體的極限平衡理論的馬斯頓法計(jì)算土壓力，馬斯頓法相比其他土壓力理論方法考慮了土體內(nèi)聚力的影響［1-2］。

采用全析因試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選取樣本點(diǎn)。本文研究的是初始條件對發(fā)射窗口的影響，因此輸入變量設(shè)為飛越航天器和目標(biāo)航天器的平近點(diǎn)角mf0和mt0，因素?cái)?shù)為2；在設(shè)計(jì)空間[0°,360°)內(nèi)以10°為步長取值，因素?cái)?shù)為36；因此是一個(gè)2因素36水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題，樣本點(diǎn)數(shù)ns=362=1 296。

計(jì)算出每個(gè)樣本點(diǎn)所對應(yīng)的輸出值，利用輸入/輸出樣本數(shù)據(jù)x、y構(gòu)建RBF模型和Kriging模型。

為校驗(yàn)代理模型的精度，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)隨機(jī)選取200個(gè)測試樣本點(diǎn)，計(jì)算2個(gè)代理模型的R2和RMSE。計(jì)算結(jié)果如表2所示。

從表2可以看出，以R2和RMSE 2個(gè)準(zhǔn)則來判斷，RBF模型的精度都高于Kriging模型。測試樣本點(diǎn)的預(yù)測值與真實(shí)值的對比如圖4所示，圖中的點(diǎn)越靠近對角線，表示該點(diǎn)的預(yù)測值與真實(shí)值越接近?？梢钥闯觯鄬τ贙riging模型，RBF模型的點(diǎn)在對角線附近更集中，精度更高。

表1 t0時(shí)刻軌道根數(shù)Table 1 Orbit elements at moment t0

表2 兩種代理模型精度對比Table 2 Accuracy comparison of two surrogate models

圖4 測試樣本點(diǎn)分布Fig.4 Distribution of test sample points

因此，本文采用RBF模型研究空間飛越過程中初始條件對發(fā)射窗口影響。

4 實(shí)例驗(yàn)證

以表1中的軌道根數(shù)為例，基于RBF模型進(jìn)行分析。計(jì)算發(fā)射窗口時(shí)，變軌速度增量約束Δvmax=500 m/s，飛越時(shí)間約束Δtsmax= 9 000 s。

提高計(jì)算效率、減小計(jì)算耗時(shí)是本文研究代理模型的初衷和目的，因此首先檢驗(yàn)應(yīng)用代理模型后計(jì)算時(shí)間上的變化。根據(jù)第1節(jié)中的分析，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)以1°為步長使用真實(shí)模型進(jìn)行計(jì)算，預(yù)計(jì)耗時(shí)約60 h，計(jì)算時(shí)間過長。因此以2°為步長使用真實(shí)模型和代理模型分別進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算時(shí)間如表3所示。

從表3可以看出，使用RBF模型計(jì)算發(fā)射窗口耗時(shí)僅為使用真實(shí)模型的0.29%，計(jì)算效率得到極大提高。使用代理模型之前需要先進(jìn)行構(gòu)建，因?yàn)樵跇?gòu)建和校驗(yàn)精度時(shí)需要大量樣本數(shù)據(jù)，而這些樣本數(shù)據(jù)是通過使用真實(shí)模型計(jì)算得出的，所以需要花費(fèi)一定的時(shí)間。但總計(jì)算時(shí)間也僅為使用真實(shí)模型的6.31%，相比而言效率還是較高。而且代理模型的構(gòu)建是一次性的，一旦構(gòu)建完成，對于相同軌道根數(shù)情況的計(jì)算就可以重復(fù)使用，無需再次構(gòu)建。

代理模型除了極大地提高計(jì)算效率外，還需要滿足一定的精度要求。表2中的數(shù)據(jù)顯示，RBF模型的R2>0.9，RMSE<0.2，均滿足要求。為直觀顯示其應(yīng)用效果，繪制發(fā)射窗口長度相對于平近點(diǎn)角mf0和mt0的等值線圖，如圖5所示?？梢钥闯觯瑧?yīng)用RBF模型計(jì)算得到的等值線圖與使用真實(shí)模型得到的結(jié)果基本相同，可以反映出初始條件對發(fā)射窗口的影響。

通過對等值線圖分析可以看出：

1) 對于飛越航天器和目標(biāo)航天器為非共面圓軌道的情況，發(fā)射窗口長度取決于初始時(shí)刻兩者的平近點(diǎn)角，平近點(diǎn)角之差相同并不能保證發(fā)射窗口長度相同。圖6中的虛線為兩者平近點(diǎn)角之差為零的點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)對應(yīng)的發(fā)射窗口長度不等，最長為2 204.4 s，最短為0 s。

表3 代理模型和真實(shí)模型計(jì)算時(shí)間對比Table 3 Comparison of calculation time between surrogate model and true model s

2) 對于任意的mf0，都存在對應(yīng)的可行mt0區(qū)間，使發(fā)射窗口存在，即當(dāng)目標(biāo)航天器位于該區(qū)間內(nèi)時(shí)，飛越航天器在速度增量和時(shí)間約束下能夠?qū)崿F(xiàn)飛越。不同的mf0對應(yīng)的mt0區(qū)間不同，區(qū)間長度108°～172°；同樣，對于任意的mt0，都存在mf0區(qū)間，區(qū)間長度108°～188°。如圖7所示，當(dāng)mf0=160°時(shí)，可行mt0區(qū)間為[40°,158°]，區(qū)間長度118°；當(dāng)mt0=160°時(shí)，可行mf0區(qū)間為[162°,288°]，區(qū)間長度126°。

圖5 真實(shí)模型和RBF模型的發(fā)射窗口長度等值線圖Fig.5 Contour map of launch window length of true model and RBF model

圖6 平近點(diǎn)角相等時(shí)的發(fā)射窗口長度Fig.6 Launch window length of equal mean anomalies

3) 從圖5能夠直觀地看出發(fā)射窗口長度的分布情況和變化趨勢，可以選取發(fā)射窗口較長的點(diǎn)，在實(shí)施空間飛越任務(wù)時(shí)將其作為初始條件。從圖5(b)可以看出，當(dāng)以mf0=112°、mt0=72°為初始條件時(shí)發(fā)射窗口最長，為5 743.1 s。而飛越航天器的軌道周期為5 801.1 s，這意味著在一個(gè)周期之內(nèi)基本都可以實(shí)施飛越。

4) 對任意一點(diǎn)，可以根據(jù)圖5直接判斷其是否具備飛越條件及其發(fā)射窗口長度；若以某點(diǎn)為初始條件的發(fā)射窗口為0，則可以判斷出多長時(shí)間后可以具備飛越條件。如圖8所示，A點(diǎn)對應(yīng)的mf0和mt0為(40°,80°)，以其為初始條件，發(fā)射窗口為0，根據(jù)飛越航天器和目標(biāo)航天器的軌道根數(shù)，兩者平均角速度n1/n2=1.2，則兩者的位置隨時(shí)間的變化在圖上表示為以A為起點(diǎn)、斜率為1.2的線段，如圖中的虛線所示?？梢钥闯?，經(jīng)過2 526.2 s后虛線與等值線圖首次相交于B點(diǎn)，以該點(diǎn)為初始點(diǎn)發(fā)射窗口長度為500 s；若要求發(fā)射窗口長度不少于某值，如2 000 s，則需要從A點(diǎn)起經(jīng)過4 124.6 s后到達(dá)C點(diǎn)，以C點(diǎn)為初始條件開始飛越。以A點(diǎn)為起點(diǎn)，發(fā)射窗口長度隨時(shí)間變化如圖9所示。

圖7 可行的平近點(diǎn)角區(qū)間示意圖Fig.7 Schematic diagram of feasible region of mean anomaly

圖8 任意一點(diǎn)的發(fā)射窗口分析Fig.8 Analysis of launch window of one point

圖9 發(fā)射窗口長度隨時(shí)間的變化Fig.9 Change of launch window length with time

5 結(jié) 論

1) 本文分析了空間飛越任務(wù)流程，建立了用于分析初始條件對發(fā)射窗口影響的數(shù)值計(jì)算模型，該模型包含4個(gè)變量的循環(huán)，計(jì)算耗時(shí)約60 h，效率較低。

2) 研究了代理模型技術(shù)，采用全析因試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法生成樣本數(shù)據(jù)，構(gòu)建了RBF模型和Kriging模型，以R2和RMSE準(zhǔn)則對比了2種模型的精度，結(jié)果表明RBF模型精度較高。

3) 應(yīng)用RBF模型計(jì)算發(fā)射窗口長度，計(jì)算耗時(shí)僅為真實(shí)模型0.29%，而且精度校驗(yàn)滿足要求。根據(jù)發(fā)射窗口長度的等值線圖，分析了初始條件對發(fā)射窗口的影響。

4) 后續(xù)可以在2個(gè)方面進(jìn)一步開展研究：一方面，提高發(fā)射窗口計(jì)算模型的精度，如采用高精度軌道動(dòng)力學(xué)模型，考慮飛越點(diǎn)狀態(tài)約束、飛越過程燃料約束等；另一方面，提高代理模型的效率和精度，如改善樣本點(diǎn)選取方法來減少構(gòu)建代理模型的成本，研究代理模型的更新和修正方法來提高模型精度等。