李艷艷

（文山學(xué)院 數(shù)學(xué)與工程學(xué)院，云南 文山 663099）

線性互補(bǔ)問題（Lcp (M,q)）廣泛應(yīng)用于二次規(guī)劃、雙矩陣對策、期權(quán)定價(jià)問題等交通、經(jīng)濟(jì)和控制等領(lǐng)域[1-4],它的模型是指求x∈Rn，滿足

其中M是實(shí)矩陣，q是實(shí)向量。

當(dāng)線性互補(bǔ)問題中所定義的M矩陣具有較好的性質(zhì)時(shí)，它的求解將會容易許多，例如當(dāng)M是主子式都為正的實(shí)矩陣（P矩陣）時(shí)，該問題不僅有唯一解，且能較容易的得到誤差界[5]。

例如，陳小君等在文獻(xiàn)[6]中給出了P矩陣線性互補(bǔ)的誤差界

r, 在該誤差界問題中，最難求的是，關(guān)于該難點(diǎn)，最近幾年許多學(xué)者在文獻(xiàn)[7-9]中進(jìn)行了大量的研究。

本文將研究主對角元素為正的Nekrasov矩陣的線性互補(bǔ)誤差界估計(jì)問題，通過利用Nekrasov矩陣逆的無窮范數(shù)上界的估計(jì)式，結(jié)合它的性質(zhì)和不等式性質(zhì)，給出該問題的一些新估計(jì)式。

1 預(yù)備知識

設(shè)矩陣M= (mij)∈Cn×n（Cn×n為復(fù)矩陣集），對?i∈N， 有，稱M是Nekrasov矩陣。

關(guān)mii＞ 0的Nekrasov矩陣的線性互補(bǔ)誤差界估計(jì)問題. 李朝遷，高磊分別在文獻(xiàn)[10-11]中給出下面的兩個(gè)估計(jì)式

引理 1[10]設(shè)M= (mij)∈Cn×n是mii＞0 的 Nekrasov矩陣，令0≤di≤1，則是Nekrasov矩陣，進(jìn)一步，對任意的

引理 2[12]設(shè)γ＞0,η＞0，則?x∈[0,1]有

引理 3[10]設(shè)M= (mij)∈Cn×n是mii＞0 的 Nekrasov矩陣，令

引理 4[13]設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n是 Nekrasov 矩陣，若

則

引 理 5[13]設(shè) 矩 陣A=(aij)∈Rn×n是 Nekrasov 矩陣，若

則

2 主要結(jié)果

本部分給出對角元素為正的Nekrasov矩陣的線性互補(bǔ)誤差界估計(jì)式。

定理 1設(shè)M= (mij)∈Cn×n是mii＞0 的 Nekrasov矩陣，，則

證明：設(shè)0≤di≤1，則由引理1知是Nekrasov矩陣，應(yīng)用引理2中的不等式和zi(M)，ηj(M)的關(guān)系得

應(yīng)用引理4中Nekrasov矩陣逆矩陣無窮范數(shù)的估計(jì)式和（1），（2）式知下面的結(jié)果

定理證畢。

定理 2設(shè)M= (mij)∈Cn×n是mii＞0 的 Nekrasov矩陣，，則

證明：設(shè)0≤di≤1，則由引理1知是Nekrasov矩陣，應(yīng)用定義和不等式的性質(zhì)得

由定理1的證明知

應(yīng)用引理5中Nekrasov矩陣逆矩陣無窮范數(shù)的估計(jì)式和（3），（4）式知下面的結(jié)果

3 數(shù)值算例

應(yīng)用本文定理1中的估計(jì)式，當(dāng)μ取不同值時(shí)的結(jié)果見表1。

表1 μ取不同值時(shí)的結(jié)果