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        奇妙的勾股數(shù)

        2019-01-11 19:57:29文陳壽來(lái)
        初中生世界 2019年42期
        關(guān)鍵詞:股數(shù)互質(zhì)公因數(shù)

        文陳壽來(lái)

        (作者單位:江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué))

        3、4、5是一組有趣的數(shù)字:32+42=52。5、12、13 也是同樣的關(guān)系:52+122=132。還有8、15、17,82+152=172。這樣一組三個(gè)正整數(shù)a、b、c,滿(mǎn)足a2+b2=c2這個(gè)關(guān)系,叫作勾股數(shù),也叫“畢氏三元數(shù)”。

        據(jù)考證,遠(yuǎn)在公元前1800年,古巴比倫人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了若干組勾股數(shù)。中國(guó)歷史上的《周髀算經(jīng)》(成書(shū)于公元前500年左右)記載,遠(yuǎn)在公元前1100年,西周時(shí)代的數(shù)學(xué)家商高也已經(jīng)觀(guān)察到(3,4,5)是一組勾股數(shù)的例子。

        從形的角度,我們已經(jīng)知道如果一組勾股數(shù)作為一個(gè)三角形的三條邊,那么這就一定是個(gè)“完美”的直角三角形。從數(shù)的角度,我們知道一組勾股數(shù)(a,b,c)一定滿(mǎn)足a2+b2=c2。除了這些,從數(shù)的角度看,勾股數(shù)還有哪些奇妙的地方呢?

        首先,如果(a,b,c)是一組勾股數(shù),把a(bǔ)、b、c都乘上一個(gè)正整數(shù),當(dāng)然(ka,kb,kc)也是一組勾股數(shù)。例如(3,4,5)是一組勾股數(shù),(6,8,10)(30,40,50)也是。根據(jù)這個(gè)結(jié)論,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)肯定有無(wú)數(shù)組。

        讓我們排除這種延伸,規(guī)定a、b、c中任何兩個(gè)數(shù)字都是互質(zhì)的,就是在正整數(shù)范圍內(nèi),任何兩個(gè)數(shù)除了1以外沒(méi)有公因數(shù)。那么還有多少組勾股數(shù)呢?答案還是無(wú)窮的。遠(yuǎn)在古希臘時(shí)期,數(shù)學(xué)家歐幾里得就已經(jīng)得出了這個(gè)結(jié)論。在這個(gè)前提下,還有哪些有趣而且似乎讓人意料不到的結(jié)論呢?

        1.在a、b、c中,a和b一個(gè)是奇數(shù)、一個(gè)是偶數(shù)。

        2.在a、b、c中,c一定是奇數(shù)。

        3.在a、b中,有且只有一個(gè)數(shù)字能被3整除。

        4.在a、b中,有且只有一個(gè)數(shù)字能被4整除。

        5.在a、b、c中,有且只有一個(gè)數(shù)字能被5整除。

        6.在a、b、a+b、a-b中,有且只有一個(gè)數(shù)字能被7整除。例如在(3,4,5)中,3+4=7,能被7整除;在(8,15,17)中,15-8=7,能被7整除。

        7.在a+c、b+c、c-a、c-b中,有且只有一個(gè)數(shù)字能被8整除,有且只有一個(gè)數(shù)字能被9整除。例如在(3,4,5)中,3+5=8,能被8整除;4+5=9,能被9整除。

        8.c本身也一定是兩個(gè)正整數(shù)平方的和。例如在(3,4,5)中,5=12+22;在(8,15,17)中,17=12+42。

        9.在 a、b、c中,最多只有一個(gè)數(shù)字是完全平方數(shù)。例如在(3,4,5)中,4是2的平方;在(8,15,17)中,沒(méi)有一個(gè)是完全平方數(shù)。

        其實(shí)勾股數(shù)還有很多奇妙的地方,有興趣的同學(xué)可以自己去發(fā)現(xiàn)哦!

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