歐陽凡，陳 林

（武漢科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，武漢 430081）

永磁同步電機(jī)（PMSM）因其結(jié)構(gòu)簡單、體積小、效率高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛地應(yīng)用于眾多領(lǐng)域。為了進(jìn)一步提高PMSM調(diào)速系統(tǒng)的控制性能，滑?？刂圃谝欢ǖ姆秶鷥?nèi)得到了應(yīng)用[1-5]，但傳統(tǒng)滑?？刂撇豢杀苊鈺a(chǎn)生高頻抖振，削弱抖振成為提高PMSM滑?？刂菩阅艿闹匾椒ㄖ籟6]。文獻(xiàn)[7]在變指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上引入了飽和函數(shù)來代替符號函數(shù)，能夠削弱系統(tǒng)的抖振。文獻(xiàn)[8]提出了一種新的雙冪次組合函數(shù)趨近律，使滑模變量在有限時間內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)誤差內(nèi)，且減少穩(wěn)態(tài)誤差。文獻(xiàn)[9]基于反雙曲正弦函數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量，采用變帶寬趨近方式，提出一種新型趨近律，有效地抑制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)矩脈動。文獻(xiàn)[10]是將冪次趨近律和變速趨近律結(jié)合在一起，有效地削弱系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。以上文獻(xiàn)的趨近律存在到達(dá)滑模面時間過長的問題，且系統(tǒng)的控制律均為積分形式，但沒有涉及系統(tǒng)的抗積分飽和。

針對以上問題，本文設(shè)計了一種新型趨近律。該趨近律引入一種新型飽和函數(shù)取代符號函數(shù)，由變速趨近律與冪次趨近律結(jié)合而成。在此基礎(chǔ)上，加入反饋抑制抗積分飽和的控制。經(jīng)過仿真驗(yàn)證，該方案可以很好的削弱系統(tǒng)的抖振，抑制了電機(jī)速度的超調(diào)量，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。使得系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)性能與動態(tài)性能。

1PMSM數(shù)學(xué)模型

建立永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，電機(jī)在d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的定子電壓方程為

式中：ud，uq分別為 d，q 軸電壓；id，iq分別為 d，q 軸電流；Ld，Lq分別為 d，q 軸電感；Rs為定子相電阻；Ψf為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈；ωe為轉(zhuǎn)子電角度。

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

運(yùn)動方程為

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；p為極對數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；B為摩擦系數(shù)；ωm為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度，且 ωe=pωm[6]。

2 滑模變結(jié)構(gòu)速度控制器設(shè)計

2.1 設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)速度控制器

將PMSM速度控制系統(tǒng)的角速度誤差eω和角速度誤差的導(dǎo)數(shù)分別定義為狀態(tài)變量x1和x2。選擇id=0控制策略作為永磁同步電機(jī)系統(tǒng)的控制策略。將q軸的電流iq作狀態(tài)輸出。

式中：ω*為給定機(jī)械角速度。

由式（3）～式（6）可以得到速度環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

本文選取一般滑模面：

常用的趨近律有指數(shù)趨近律、冪次趨近律和等速趨近律等，但以上趨近律都存在不足。等速趨近律在削弱抖振與縮短到達(dá)時間之間存在比較大的矛盾。冪次趨近律可以很好地減小抖振，但到達(dá)的時間比較長。而指數(shù)趨近律中存在的等速項使得系統(tǒng)的抖振無法消除。

在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，本文提出一種變速冪次趨近律，使得系統(tǒng)能夠在削弱系統(tǒng)的抖振同時加快系統(tǒng)到達(dá)滑模面的時間。其具體形式為

式中：k1＞0；k2＞0；0＜α＜1。

該趨近律是由冪次趨近律與變速趨近律組成的。當(dāng)系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面時，此時系統(tǒng)是按照冪次趨近律與變速趨近律的速率趨近滑模面，這樣有效地增強(qiáng)了系統(tǒng)在遠(yuǎn)離滑模面時的趨近速率。當(dāng)系統(tǒng)接進(jìn)滑模面時，相比于文獻(xiàn)[10]，本文趨近律不存在無法到達(dá)滑模面的分量，參數(shù)變少，縮短系統(tǒng)到達(dá)滑模面的時間。這樣既能保證系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時間短，又能削弱系統(tǒng)的抖振。

將式（9）分為兩部分：

對式（10）兩邊同時積分，可以得到系統(tǒng)由初始狀態(tài)s（0）到達(dá)滑模面的時間t1為[11]

對式（11）兩邊同時積分，可以得到系統(tǒng)由初始狀態(tài)s（0）到達(dá)滑模面的時間t2為

本文所選的趨近律到達(dá)滑模面所需的時間ta為

令˙3=-k3｜x1｜s，兩邊同時積分得：

由式（15）可以得到s≠0，即文獻(xiàn)[10]中的趨近律的變指數(shù)項無法到達(dá)滑模面，而本文的趨近律是可以在有限時間內(nèi)達(dá)到滑模面的。

為了得到帶寬，將式（9）離散化得到：

同理可以得到文獻(xiàn)[3]中所示趨近律得帶寬為

由式（16）與式（17）可以得到 Δ1=Δ2，即兩種趨近律在理論上都可以達(dá)到無抖振。

系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，為了加快抖振削弱，本文在文獻(xiàn)[12]的特殊免疫函數(shù)的基礎(chǔ)上引入了一種新的連續(xù)性函數(shù)f（s）來替代冪次趨近律中的開關(guān)函數(shù)sgn（s）。f（s）表達(dá)式為

式中：δ＞0；e為自然對數(shù)的底數(shù)。

圖1為新的符號函數(shù)與普通的符號函數(shù)對比仿真圖。從圖中可以看出，新符號函數(shù)變化比較平滑，不存在普通符號函數(shù)因跳變而存在的抖振問題，由此可以比較好的削弱系統(tǒng)的抖振而且不會對系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時間產(chǎn)生很大的影響。

圖1 兩種符號函數(shù)對比圖Fig.1 Comparison of two symbolic functions

將式（7）中的e作為系統(tǒng)的擾動，由式（7）～式（9）得系統(tǒng)的控制律：

由式（21）可以看出，系統(tǒng)的控制律可以看作是一種積分。當(dāng)控制器的輸出iq達(dá)到了電機(jī)的電流限定值iqmax后，系統(tǒng)輸出存在積分飽和現(xiàn)象，這會促使電機(jī)的速度的超調(diào)量過大。本文在滑?？刂粕霞尤肓丝狗e分飽和方案，如圖2所示。

圖2 滑?？狗e分飽和控制系統(tǒng)框架Fig.2 Frame diagram of sliding mode anti integral saturation control system

圖2中iq為系統(tǒng)通過控制律得到的輸出，iq*為iq經(jīng)過飽和輸出后的輸出。當(dāng)iq*=iq時，此時系統(tǒng)沒有進(jìn)入飽和狀態(tài)。當(dāng)iq＞iq*時，此時系統(tǒng)進(jìn)入了積分飽和狀態(tài)，利用抗積分飽和策略，這能夠很好地削弱系統(tǒng)的超調(diào)量。由圖2可知利用抗積分飽和的滑?？刂葡到y(tǒng)的控制律為

2.2 穩(wěn)定性分析

即滿足滑?？刂频竭_(dá)條件。

將式（9）代入到式（23）中，得：

式中：k1＞0，k2＞0，0＜α＜1。

綜上所述，s與s˙異號，本文趨近律滿足穩(wěn)定性條件，能夠保證系統(tǒng)能夠進(jìn)入滑動模態(tài)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

PMSM滑模調(diào)速系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。在Matlab環(huán)境下建立系統(tǒng)的仿真模型進(jìn)行仿真。電機(jī)的仿真參數(shù)：額定轉(zhuǎn)速為1000 r/min，定子電阻為0.985 Ω，定子直軸電感 Ld為5.25 mH，定子交軸電感Lq為 12 mH，極對數(shù)為4，轉(zhuǎn)子磁通 Ψf為0.1827 Wb，轉(zhuǎn)動慣量 J為 0.003 kg·m2，阻尼系數(shù) B為 0.008 N·m·s。

仿真條件設(shè)置：直流側(cè)電流Udc為311 V，PWM開關(guān)頻率 fpwm為 10 kHz，采樣周期 TS為 10 μs，仿真時間為0.4 s。在0.2 s時，將電機(jī)的負(fù)載從0 N·m增加到10 N·m。電機(jī)的電流限幅值為-30 A～30 A。

圖3 PMSM滑模調(diào)速系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Block diagram of PMSM sliding mode speed regulation system

滑模速度控制器的參數(shù)為k1=2000，k2=3000，c=600，δ=0.25?？狗e分飽和參數(shù)為K=15。仿真結(jié)果如圖4～圖7所示。

圖8～圖11為一般指數(shù)趨近律滑模控制仿真結(jié)果圖，一般指數(shù)趨近律的形式為

仿真參數(shù)為 k1=200，k2=300，c=30。

分析以上仿真波形可以看出：

圖4 新型趨近律抗飽和滑模速度環(huán)控制輸出Fig.4 New reaching law anti saturation sliding mode speed loop control output

圖5 新型趨近律抗飽和SMC轉(zhuǎn)矩響應(yīng)Fig.5 Torque response of the new reaching law anti saturation SMC

圖6 新型趨近律抗飽和SMC轉(zhuǎn)速響應(yīng)Fig.6 Speed response of the new reaching law anti saturation SMC

圖7 新型趨近律抗飽和SMC三相電流響應(yīng)Fig.7 Three phase current response of the new reaching law anti saturation SMC

圖8 一般指數(shù)趨近律SMC控制iq*響應(yīng)Fig.8 General exponential reaching law SMC response iq*

圖9 一般指數(shù)趨近律SMC控制電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)Fig.9 Electromagnetic torque response of the general exponential reachinglaw SMC

圖10 一般指數(shù)趨近律SMC速度響應(yīng)Fig.10 Speed response of the general exponential reaching law SMC

圖11 一般指數(shù)趨近律SMC三相電流響應(yīng)Fig.11 Three phase current response of the general exponential reaching law SMC

（1）在電機(jī)啟動的時候，電機(jī)的電流達(dá)到限幅值，新型趨近律抗積分飽和滑?？刂破鞯淖饔孟拢D(zhuǎn)速能夠在0.02 s到達(dá)給定速度，且超調(diào)量小。轉(zhuǎn)矩的抖動幅度比一般指數(shù)趨近律滑?？仄鞯亩秳臃刃?。控制器的輸出值iq*也能夠很快的到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。

（2）在0.2 s時，電機(jī)突加負(fù)載，此時電機(jī)的電流是沒有達(dá)到限幅值，抗積分飽和控制不起作用。對比以上仿真結(jié)果圖可知，新型滑?？刂破髯饔孟?，電機(jī)能夠很快的到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。并且電機(jī)的轉(zhuǎn)速下將比較小，轉(zhuǎn)矩的抖動也很小。

4 結(jié)語

針對傳統(tǒng)的一般指數(shù)趨近律在遠(yuǎn)離滑模面時的速度慢且到達(dá)滑模面時的速度過快的問題，本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，將冪次趨近律與變速趨近律結(jié)合在一起，并引入新的開關(guān)函數(shù) f（s），得到新的趨近律。該方案能夠加快系統(tǒng)趨近滑模面的速度，并且能夠削弱系統(tǒng)到達(dá)滑模面后的抖動。相比較于文獻(xiàn)[3]的趨近律，本文所選用的趨近律能夠加快系統(tǒng)在滑模面上的抖振虛弱速度。由于文獻(xiàn)[3]中沒有考慮到系統(tǒng)的積分飽和問題，本文加入了反饋抗積分飽和控制策略。將新型冪次趨近律抗積分飽和滑模控制器應(yīng)用到電機(jī)的速度控制中。仿真結(jié)果證明，本文的控制策略能夠很好的削弱系統(tǒng)的抖振，縮短了系統(tǒng)的到達(dá)滑模面的時間，抑制了系統(tǒng)的超調(diào)量，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)與動態(tài)性能。