□許 蕓

在解決問(wèn)題當(dāng)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)面對(duì)復(fù)雜多變的問(wèn)題情境，學(xué)生無(wú)從下手胡亂解答的情況。

比如人教版五上“出租車(chē)中的分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題”，有這樣一道題：

下面是某市出租車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)。（不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算）

行駛里程收費(fèi)不超過(guò)3km（行駛里程≤3km）11元3-10km（3km＜行駛里程≤10km）3.5元/km超過(guò)10km行駛里程＞10km 4.5元/km

李叔叔打車(chē)從家到單位一共行駛11.2km，算算李叔叔一共要付多少錢(qián)？

這道題跟課本例題一樣，都是出租車(chē)情境，只是由二段計(jì)費(fèi)拓展到三段計(jì)費(fèi)。學(xué)生的錯(cuò)誤率就非常高，常見(jiàn)錯(cuò)誤如下圖：

錯(cuò)誤原因是第二段的行駛路程弄錯(cuò)，本質(zhì)是缺乏幾何直觀的抓手，對(duì)每段的分段數(shù)量不清楚。

還比如在學(xué)習(xí)用公因數(shù)和公倍數(shù)解決問(wèn)題當(dāng)中，很多學(xué)生容易弄混這兩種不同的類(lèi)型，比如在人教版數(shù)學(xué)書(shū)81頁(yè)練習(xí)十二中的這道習(xí)題：

題目應(yīng)該是求最大公因數(shù)，學(xué)生卻求了最小公倍數(shù)，說(shuō)明學(xué)生沒(méi)有理解這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)。

因此在教學(xué)中，如果能夠運(yùn)用一定的手段對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行溝通，如建構(gòu)直觀形象的幾何模型，使學(xué)生有解決問(wèn)題的方法，就能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

一、引入方法，幫助審題

幾何直觀有利于把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、形象，特別在問(wèn)題的數(shù)學(xué)化表征中有著很大的作用。在常規(guī)的教學(xué)中我們應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行多樣化的信息表征，然后進(jìn)行優(yōu)化，最后凸顯幾何直觀表達(dá)信息的優(yōu)越性。建立幾何直觀模型，是為審題搭建腳手架。

比如這道分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題：

某市按以下規(guī)定收取水費(fèi)：用水量不超過(guò)3噸的，每噸收費(fèi)2.5元；超過(guò)3噸不超過(guò)10噸的部分，每噸收費(fèi)3.5元，超過(guò)10噸的部分，每噸收費(fèi)4元。小強(qiáng)家9月份的用水量是12.5噸，應(yīng)付水費(fèi)多少錢(qián)？

學(xué)生用文字、畫(huà)表格和畫(huà)線段圖等不同方式表征信息。如圖：

在確定線段圖是最簡(jiǎn)單、形象的表征方式后，教師再追問(wèn)一句：畫(huà)表格和畫(huà)線段這兩種方法有什么共同的地方？然后將兩幅圖疊在一起（如下圖），學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者都清晰地表示出了每段的數(shù)量和對(duì)應(yīng)的單價(jià)，由此學(xué)生初步感知了分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題的幾何模型。

還比如“用最大公因數(shù)解決問(wèn)題”中的例題，在信息呈現(xiàn)方式中這種畫(huà)圖的方式特別優(yōu)化，在分析解答中，學(xué)生明確問(wèn)題的本質(zhì)就是求長(zhǎng)和寬的公因數(shù)后，再在原先的直觀圖中抽象出平面數(shù)軸圖（如下圖）。三幅圖層層遞進(jìn)，幫助學(xué)生對(duì)題意本質(zhì)的理解。

二、妙用方法，明了算理

妙用幾何直觀，使學(xué)生在類(lèi)比溝通中明了算理。如設(shè)計(jì)鞏固練習(xí)題，讓學(xué)生運(yùn)用建立的幾何直觀，掌握同類(lèi)問(wèn)題的解題方法。

在“分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題”中可設(shè)計(jì)一道選擇題，如：

某停車(chē)場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：前3h內(nèi)收費(fèi)5元，超過(guò)3h不超過(guò)10h的部分每小時(shí)收費(fèi)2.5元，超過(guò)10h的部分每小時(shí)收費(fèi)4元。李叔叔的車(chē)在該停車(chē)場(chǎng)停了12.5h，他一共要付多少錢(qián)？（不足1h按1h算）

A.12.5×4

B.5+（12.5-3）×4

C.5+（10-3）×2.5+（12.5-10）×4

D.3×5+（10-3）×2.5+（12.5-10）×4

此題的正確答案是C，但教師不僅要求學(xué)生能找準(zhǔn)正確答案，還要求學(xué)生能根據(jù)錯(cuò)誤的選項(xiàng)改編題目，達(dá)到一題多練和逆向運(yùn)用方法的效果。如果答案是A，題目應(yīng)該這樣改編（劃去題目中的條件）：

同時(shí)出示線段圖，讓學(xué)生明確其實(shí)它是一段計(jì)費(fèi)問(wèn)題。

如果答案是B，應(yīng)該這樣改：

配合線段圖理解，它是兩段計(jì)費(fèi)問(wèn)題。

如果答案是D，在條件中添加“每小時(shí)”。

配合線段圖，可直觀理解它是三段計(jì)費(fèi)問(wèn)題。如此可鍛煉學(xué)生仔細(xì)審題的品質(zhì)。

最后將3個(gè)線段圖合成一幅圖，明確不管是一段計(jì)費(fèi)、二段計(jì)費(fèi)還是三段計(jì)費(fèi)問(wèn)題，都要明確每段的數(shù)量和對(duì)應(yīng)的單價(jià)，然后將每段的總價(jià)加起來(lái)。這是解答這類(lèi)問(wèn)題的幾何模型和方法。

三、活用方法，提升能力

任何模型的建構(gòu)都是為了靈活廣泛地運(yùn)用。因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生從深度和廣度上靈活運(yùn)用幾何直觀方法，進(jìn)行深層次和多維度的類(lèi)比溝通，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

比如在分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題的提高練習(xí)中，可根據(jù)這個(gè)幾何直觀模型結(jié)構(gòu)讓學(xué)生自己嘗試著編一道分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題。在課堂中很多學(xué)生還突破模型結(jié)構(gòu)，創(chuàng)造出四段、五段的計(jì)費(fèi)問(wèn)題和逆向思維的題目（如下圖），深刻體現(xiàn)出對(duì)幾何直觀模型方法不是僵化地理解，而是靈活地運(yùn)用。

同樣在用公因數(shù)解決問(wèn)題后，教師讓學(xué)生探討可以放棱長(zhǎng)最大是幾分米的正方體紙箱疊滿房間的問(wèn)題。最后通過(guò)直觀操作，抽象出空間數(shù)軸圖，并對(duì)比之前的平面數(shù)軸圖，明確這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)就是求多個(gè)數(shù)的公因數(shù)。

兩次課堂實(shí)踐驗(yàn)證了運(yùn)用幾何直觀方法類(lèi)比溝通解答同類(lèi)問(wèn)題的可行性和有效性。在平常的教學(xué)中如果能夠善用幾何直觀方法，建立與同類(lèi)問(wèn)題的聯(lián)系，相信會(huì)帶來(lái)更多的驚喜。比如在低段教學(xué)中我們經(jīng)常遇到的里程問(wèn)題、水電表問(wèn)題、經(jīng)過(guò)時(shí)間問(wèn)題、看書(shū)頁(yè)數(shù)問(wèn)題等，其實(shí)都屬于累計(jì)計(jì)數(shù)問(wèn)題。教師同樣可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)軸圖幾何直觀的方法建立聯(lián)系，提升學(xué)生解決同類(lèi)問(wèn)題的能力。

小紅看一本書(shū)，星期一看到43頁(yè)，星期二看到78頁(yè)，星期三看到120頁(yè)，小紅星期三一共看了多少頁(yè)？

運(yùn)用幾何直觀方法類(lèi)比解答同類(lèi)問(wèn)題是非常有效的教學(xué)方法，它不僅能幫助學(xué)生理解分析題目，還能為學(xué)生找到同類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)聯(lián)系建立直觀的形象支撐，有助于學(xué)生掌握同類(lèi)問(wèn)題解答的基本方法。