□ 胡燕峰 陸躍強(qiáng)

小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”領(lǐng)域中屬于圖形的變換有“平移”“旋轉(zhuǎn)”“對稱”等，教學(xué)難點是“旋轉(zhuǎn)”。有研究測試表明，小學(xué)生的“心理旋轉(zhuǎn)”，空間認(rèn)知是比較弱的，特別是立體圖形的“心理旋轉(zhuǎn)”學(xué)生往往束手無策。如果采用抽象的語言進(jìn)行教學(xué)，顯然連師生交流都會很困難。因為教材呈現(xiàn)的圖形內(nèi)容是靜態(tài)的，學(xué)生看到的是圖形變換的結(jié)果，圖形變換過程的缺失是學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知瓶頸的原因。要破解這一難點，教學(xué)中除了安排還原圖形的運(yùn)動過程為學(xué)生積累經(jīng)驗外，還可以通過數(shù)學(xué)實驗加深學(xué)生的感悟，給學(xué)生充分的動手機(jī)會，實實在在地去實踐，操作并體悟運(yùn)動的過程。在實驗過程中，學(xué)生的思維可以立體起來，從而產(chǎn)生平面到立體的“質(zhì)飛躍”，突破“圖形變換”的瓶頸問題，學(xué)生的空間認(rèn)知思維由此也得以發(fā)展。

帶著這樣的思考，我們進(jìn)行了“智慧珠”實驗，總時長1小時，在初步認(rèn)識實驗材料之后，學(xué)生可按研究興趣分組實驗。

“智慧珠”由一個半圓形游戲盤和12組不同形狀的珠胚組成，共有19887種平面組合方式，2582種立體組合方式,可見“智慧珠”的實驗空間很大。單從12個珠胚（圖1按字母取名）結(jié)構(gòu)角度看，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)因素是豐富的。從數(shù)量角度看：有3珠的F，有4珠的A、J、K,另外是5珠的 B、C、D、E、G、H、I、L；從形狀對稱角度看：不對稱的有A、B、C、D、E，對稱的有F、G、H、I、J、K、L；從形狀來看：有一字形、V字形、十字形、方形……既然智慧胚珠有如此多的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，那么我們就應(yīng)該把數(shù)學(xué)實驗的維度進(jìn)行拓寬，為學(xué)生提供能展開“心理旋轉(zhuǎn)”的媒介，從而發(fā)展學(xué)生的高階思維。另外，游戲的場景也是多元的，學(xué)生可以參與游戲場景的設(shè)計，由學(xué)生根據(jù)自己的解讀去創(chuàng)新實驗的方法、路徑。學(xué)生不只是參與者，還可以是設(shè)計者、改造者，或是創(chuàng)造者，成為高階思維者。

圖1

一、教學(xué)模塊1：基礎(chǔ)性“分解”實驗

實驗?zāi)繕?biāo)：多維解讀胚珠的構(gòu)成，體會數(shù)形結(jié)合思想。

實驗材料：

（1）胚珠，A～L12個，兩人一袋（圖1）。

（2）半圓形游戲盤，每2人一個（圖2）。

圖2

實驗過程：

活動情境：分析胚珠（投影見圖3）。

師：這是“智慧珠”，仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？如果把這些“智慧珠”分一分，你們會怎么分呢？

生：我會按照顏色分，紅、黃、藍(lán)……

師：好的，還有其他的想法嗎？

生：按照形狀分，L形、W形、V形……

師：這名學(xué)生的想法很好，我們可以用他的方法來給這些智慧珠命名，如“十”字形、“U”形……

生：老師，還可以按照對稱來分，如W、V、U……

生：有兩個U形，怎么辦?

師：你們說呢？對了，可以是大U和小U，那為什么會有大U和小U呢？真奇怪呀！

生：老師，我知道，它們的數(shù)量不同。

生：我可以按照數(shù)量來分，如3個、4個、5個，一共是3類。

師：為了交流方便，我們可以用字母來命名這12個“智慧珠”……（A、B……L）

（設(shè)計意圖：“智慧珠”的“胚珠”顏色各異、數(shù)量多樣、形狀不同，豐富的結(jié)構(gòu)勢必會刺激學(xué)生的思維起點。分類材料的結(jié)構(gòu)直接影響了學(xué)生的思維。實驗表明，三、四年級學(xué)生能夠較好地進(jìn)行“胚珠”分類。這個年齡階段的學(xué)生的形象思維、抽象邏輯思維能力的發(fā)展已經(jīng)形成。學(xué)生只有對思維對象的屬性進(jìn)行全面了解，才能促成其思維的廣闊性和靈活性，使他們可能進(jìn)行多種組合分析的分類。思維需要“靜觀”才能“深慮”，通過“近思”才能“遠(yuǎn)謀”。以靜態(tài)的方式呈現(xiàn)智慧珠，有利于學(xué)生冷靜地思考，理性地分析。關(guān)注“智慧珠”的類別不同，有利于學(xué)生分類、對應(yīng)、數(shù)形等思想的形成，為實踐操作打下理性的思維基礎(chǔ)。）

師：我們已經(jīng)認(rèn)識了“智慧珠”，你覺得它有哪些玩法？

根據(jù)討論，經(jīng)過挑選，師生從中確定了以下兩個實驗，學(xué)生可以自選其中一個完成，也可以完成一個后再完成另一個。

二、教學(xué)模塊2：選擇性“高階”實驗

實驗分析：

實驗A：整體解讀胚珠的構(gòu)成，激發(fā)學(xué)生的實驗興趣，形成“數(shù)形結(jié)合”的觀念。

實驗B：設(shè)計拼組的背景圖紙，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換及推理能力，發(fā)展空間觀念；根據(jù)圖紙拼組胚珠，在實踐中分析、探究、解決問題，發(fā)展學(xué)生的高階思維。

實驗材料：

（1）背景圖紙（見圖3）。

（2）半圓形游戲盤，每人一個（見圖4）。

圖3

圖4

實驗過程：

實驗A：分析胚珠的組合形狀，計算它的總數(shù)。

智慧珠的設(shè)計本身富含數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)（見圖1），學(xué)生通過靜心觀察、深度思考就可以了解智慧珠整體的情況。獨立思考后小組交流。此實驗不需要教師指導(dǎo)，全由學(xué)生自行完成。

實驗B：智慧珠的“家”（設(shè)計拼組圖）。

（1）設(shè)計。

師：在畫設(shè)計圖之前，大家先來設(shè)想一下，智慧珠的“家”會是怎樣的形狀呢？

生：我覺得是圓形的，因為智慧珠是圓的（其實是球形）。

生：長方形、正方形、三角形……

師：如果要密鋪，最小的“家”形狀是怎樣的呢？讓我們來設(shè)計一下吧。

學(xué)生拿出圖紙進(jìn)行設(shè)計，然后交流。

生：（出示圖5）5×11或11×5。

圖5

師：有道理，那還有其他可能嗎？

生：正方形不可能。

生：正方形有可能，可以在長方形里面。里面是3×3，也可以是4×4，比如圖6。

圖6

師：你的意思是可以在長方形的“家”里，劃出正方形的“房間”，真厲害！

生：我畫的是三角形的“家”（圖7），這樣正好55個，上面1，然后2、3、4……10，一共55個。1+2+3+4+……+10=55。

圖7

師：那么，現(xiàn)在我們已經(jīng)找到智慧珠的2個“家”，如果是剛才學(xué)生提到5×5的“家”，有可能嗎？

生：不可能，55大于25，多了30個。

生：有可能。

師：你是怎么想的？

生：疊起來。

師：嗯，立體的也可以。多的30個在哪里呢？

師：我們來看圖，金字塔型（見圖8），它有55個你看出來了嗎？

圖8

生：1+4+9+16+25=55（個）。

生：老師，我發(fā)現(xiàn)每一層都是正方形的。每一層的數(shù)量都是平方數(shù)：1，4，9，16，25。

（設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)是一門講結(jié)構(gòu)的學(xué)科。通過數(shù)量的計算，讓學(xué)生從整體把握，逆推背景圖的結(jié)構(gòu)。學(xué)生從生活經(jīng)驗“圓形”判斷開始，這是符合學(xué)生元認(rèn)知特點的，真實且有價值。隨著數(shù)形結(jié)合的推理，學(xué)生得出長方形背景的結(jié)論，就有了自己獨特的思考，理性的成分要多一些。最后特殊的正方形呈現(xiàn)，既有部分與整體的區(qū)分，又有平面到立體架構(gòu)的提升。這樣的設(shè)計促使學(xué)生不斷地去判斷、思考、創(chuàng)造，其空間思維的火花在這一過程中不斷閃現(xiàn)。）

（2）操作（見圖9）。

圖9

師：同學(xué)們很厲害，已經(jīng)找到了多種智慧珠的“家”，那趕快讓它們回家吧！

學(xué)生根據(jù)自己的喜好，商量好選定一個“家”，長方形、正方形、平面立體都可以，一起試試吧！（下發(fā)底盤，兩人一組，見圖3）另外幾組進(jìn)行iPad游戲?qū)嶒災(zāi)M。

實驗之后交流反饋。

師：匯報一下，你們的實驗情況。

生：老師，我們采用了3×3的方格，這個比較簡單。

生：我們發(fā)現(xiàn)4顆長的那種不行。只有A、B……

師：只有A、B嗎？

生：G、K也可以。

師：還有什么發(fā)現(xiàn)？

（iPad組）

生：老師，我發(fā)現(xiàn)最后一個旋轉(zhuǎn)不行。

生：可以，翻過來……

師：翻過來，什么意思？

生：翻過來就是翻轉(zhuǎn)。

師：對啊，圖形變化除了平移、旋轉(zhuǎn)，還可以翻轉(zhuǎn)哦！大家試一試吧?。▽W(xué)生嘗試）

（設(shè)計意圖：“心理旋轉(zhuǎn)”是人在頭腦中運(yùn)用表象對物體進(jìn)行二維或三維旋轉(zhuǎn)的想象過程，它是學(xué)生認(rèn)知圖形變換的短板。如果采用傳統(tǒng)的教學(xué)語言進(jìn)行交流，學(xué)生的“心理旋轉(zhuǎn)”障礙難以逾越。通過實驗物體的實際操作，學(xué)生建立“翻轉(zhuǎn)”的動作感悟，有了實驗的經(jīng)驗，認(rèn)知自然得到螺旋提升。從平面抽象到立體的空間想象，從真實物體到類似物體，再從類似物體到抽象物體，逐步克服心理認(rèn)知的瓶頸。此時，大腦對表象的加工操作，正是基于真實的物體翻轉(zhuǎn)的正遷移。胚珠的翻轉(zhuǎn)完全可以在學(xué)生頭腦中復(fù)現(xiàn)，并且此時心理的復(fù)現(xiàn)已經(jīng)不受任何感覺通道的束縛，所以實驗操作很重要?。?/p>

師：另外，還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我們用長方形5×11，一開始是簡單的，到后來很麻煩。

生：立體的很難，我想回家去試試，能不能讓我?guī)Щ丶遥?/p>

學(xué)生可以自主選擇實驗內(nèi)容（背景圖），可以平面密鋪，也可以立體架構(gòu)。學(xué)生從“智慧珠”的不同研究興趣出發(fā)，自主選擇實驗內(nèi)容結(jié)伴研究，從而形成個性化的實驗結(jié)果。通過合作交流、動手實踐、思維碰撞后，感悟得出屬于個人的見解。數(shù)學(xué)實驗的主要價值在于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的累積，讓學(xué)生在“做中學(xué)”，通過實物操作培養(yǎng)學(xué)生的多種能力。任務(wù)是真實而復(fù)雜的，需要學(xué)生付出努力，自我反思，需要不斷地嘗試、判斷、調(diào)整。在操作過程中，學(xué)生的分析、實踐、創(chuàng)新思維都得到了鍛煉，高階思維在動手操作中得以提升。

“智慧珠”實驗可簡可難，千變?nèi)f化，讓學(xué)生樂在其中，多種的平面及立體的變化，可以持續(xù)不斷地迎接挑戰(zhàn)，帶給學(xué)生持續(xù)的快樂和成就感。在實驗過程中，學(xué)生判斷事物的速度與能力提升了，其敏捷思維的能力加強(qiáng)了，高階思維的火花在不斷地碰撞、激發(fā)。當(dāng)然，在結(jié)伴研究的過程中，學(xué)生合作的意識、組織協(xié)調(diào)能力也得到了鍛煉，評價思維也有了歷練。可以說，通過實驗，學(xué)生的各項隱性認(rèn)知都得到了發(fā)展。

圖10

數(shù)學(xué)實驗是一個內(nèi)涵豐富的世界，里面充滿了學(xué)生的情感和認(rèn)知。學(xué)生的想法各式各樣，從學(xué)生的經(jīng)驗出發(fā)，和他們一起去體驗、思考、探索。數(shù)學(xué)隱性知識需要活動經(jīng)驗來滋養(yǎng)，因此數(shù)學(xué)實驗任重而道遠(yuǎn)。