張權(quán)，史治宇

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016)

0 引言

基于靈敏度分析的參數(shù)模型修正基本思路是通過構(gòu)造理論模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)之間在相同條件下動(dòng)態(tài)特性的誤差，然后選擇修正參數(shù)進(jìn)行修正，以盡量縮小理論模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)之間的誤差為目的，最終獲得一個(gè)較為精確的有限元模型。要實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)，首先初始模型需要建立得盡量準(zhǔn)確，避免結(jié)構(gòu)上的誤差；其次要設(shè)法提高試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精度；同時(shí)要開發(fā)穩(wěn)定高效的修正算法。目前，使用較多的算法是二次規(guī)劃優(yōu)化算法，其在仿真算例的應(yīng)用中，收斂速度快、修正效率高、修正結(jié)果準(zhǔn)確可信。但在解決工程實(shí)際問題時(shí)，由于目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建問題，無法得到一個(gè)較為準(zhǔn)確的有限元模型。

本文基于這樣的背景，通過MATLAB編程調(diào)用NASTRAN進(jìn)行計(jì)算分析，采用二次規(guī)劃優(yōu)化算法，并在此基礎(chǔ)上研究了加權(quán)方法在模型修正中的應(yīng)用，通過復(fù)合材料安裝架的實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 模型修正理論

結(jié)構(gòu)的有限元模型總共有n個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，其中前m個(gè)為待修正的參數(shù)，設(shè)計(jì)參數(shù)可以表示為：

P=[P1,P2…Pm…Pn]T

(1)

對(duì)應(yīng)的特征量可以表示為：

f=F(K,M)=F(fK(p),fM(p))=f(p)

(2)

其中：f 可以是結(jié)構(gòu)任意的特征量，如模態(tài)頻率、振型等。模型修正問題轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問題：

(3)

一般情況下，{fa(p)}是設(shè)計(jì)參數(shù)的非線性函數(shù)。為

了將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，在初始設(shè)計(jì)點(diǎn)將{fa(p)}對(duì)待修正參數(shù)進(jìn)行一階泰勒展開：

{fa(p)}=fa(p0)+SΔP

(4)

其中p0是設(shè)計(jì)參數(shù)初始值。

(5)

S代表結(jié)構(gòu)特征量對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度矩陣。Δp=p-p0代表設(shè)計(jì)參數(shù)的誤差。利用拉各朗日乘數(shù)法，式(3)的極值問題轉(zhuǎn)化為如下的線性問題：

SΔp=fe(p)-fa(p0)

(6)

式(6)就是常見的模型修正方程，且是一個(gè)迭代優(yōu)化的過程。

2 加權(quán)方法的應(yīng)用

在式(3)的基礎(chǔ)上引入加權(quán)矩陣Wf，用來設(shè)定不同殘差在模型修正過程中所占的權(quán)重；在優(yōu)化目標(biāo)中加入修正參數(shù)變化值，引入加權(quán)系數(shù)Wp，通過改變Wp的大小來限制修正參數(shù)的變化。則模型修正問題轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問題：

(7)

其中: Wf表示各殘差的加權(quán)矩陣，具體如下：

(8)

式中：Wλ、WΦ、WMAC表示頻率、振型和振型相關(guān)系數(shù)的加權(quán)系數(shù)。

Δp=p-p0代表修正參數(shù)的變化，Wp代表修正參數(shù)變化量的加權(quán)矩陣，具體如下：

Wp=wpB

(9)

(10)

g=diag(STWFS)

(11)

其中：mean表示對(duì)矩陣取平均，diag表示取矩陣的對(duì)角元素。當(dāng)wp取較大值時(shí)，則修正參數(shù)的變化將變小。

3 安裝架結(jié)構(gòu)實(shí)例

3.1 模型介紹

圖1所示為鋁基復(fù)合材料安裝架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)長660mm，寬448mm，高550mm?？蚣芙Y(jié)構(gòu)由U型和L型型材通過鋁質(zhì)角鐵和螺栓連接而成。框架底部由作用在2條長的U型型材下部的壓板將其固定在地面上。對(duì)安裝架結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，布置52個(gè)x向測點(diǎn)、54個(gè)y向測點(diǎn)，總共106個(gè)測點(diǎn)(圖2)。

圖1 鋁基復(fù)合材料安裝架實(shí)物圖

圖2 安裝架有限元模型

結(jié)構(gòu)由薄壁U型、L型鋁基復(fù)合材料以及鋁材角鐵通過螺栓連接而成，采用殼單元對(duì)U型、L型型材和角鐵進(jìn)行有限元建模，采用剛性單元模擬螺栓連接，對(duì)底部Y向的U型型材下部節(jié)點(diǎn)施加約束，將其6個(gè)自由度的變形都設(shè)定為0，以此來模擬固支。這樣建模能較精確模擬結(jié)構(gòu)形式，又能得到較好的計(jì)算效率。其中四邊形殼單元19 842個(gè)、三邊形殼單元2 466個(gè)、剛性單元324個(gè)，節(jié)點(diǎn)總數(shù)24 673個(gè)，去除約束后結(jié)構(gòu)的總自由度數(shù)為103 278。各種型材的材料厚度和力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 各種型材的材料參數(shù)和厚度

3.2 模型修正計(jì)算與分析

建立好初始有限元模型后，在Nastran中對(duì)安裝架結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析。有限元模態(tài)分析結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的匹配情況如圖3所示。

圖3 安裝架模型試驗(yàn)/有限元模態(tài)匹配圖

U型和L型型材的E2和G12事先并不知曉，故在建模時(shí)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給了一個(gè)值，這也是有限元模型無法與試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃芎闷ヅ涞脑?。故在修正時(shí)，選取U型和L型型材的E2和G12作為修正參數(shù)，對(duì)有限元模型進(jìn)行修正。

以下分3種情況對(duì)模型進(jìn)行修正：

1) Wλ=1，WMAC=1，wp=0，以1∶6階模態(tài)頻率和1∶6階振型相關(guān)系數(shù)為目標(biāo)(圖4-圖6)。

2) Wλ=1，WMAC=0.2，wp=0，以1∶6階模態(tài)頻率和1∶6階振型相關(guān)系數(shù)為目標(biāo)(圖7-圖9)。

3) Wλ=1，WMAC=0.2，wp=1，以1∶6階模態(tài)頻率和1∶6階振型相關(guān)系數(shù)為目標(biāo)(圖10-圖12)。

第1種情況修正結(jié)果如下：

圖4 前6階模態(tài)頻率收斂圖(1-6依次表 示第1至第6階固有頻率)

圖5 MAC值收斂圖(1-6依次表 示第1至6階MAC值)

圖6 參數(shù)收斂圖(1-4依次代表U型型材的E2、G12和L型型材的E2、G12)

第2種情況修正結(jié)果如下：

圖7 前6階模態(tài)頻率收斂圖(1-6依次表 示第1至第6階固有頻率)

圖8 MAC值收斂圖(1-6依次表 示第1至6階MAC值)

圖9 參數(shù)收斂圖(1-4依次代表U型型材的E2、G12和L型型材的E2、G12)

第3種情況修正結(jié)果如下：

圖10 前6階模態(tài)頻率收斂圖(1-6依次表 示第1至第6階固有頻率)

圖11 MAC值收斂圖(1-6依次表 示第1至6階MAC值)

第1種情況Wλ=1，WMAC=1，wp=0，表示修正目標(biāo)中頻率殘差和振型相關(guān)系數(shù)占相同的權(quán)重，即式(3)的模型修正問題。第2種情況Wλ=1，WMAC=0.2，wp=0，表示修正目標(biāo)中頻率殘差占的權(quán)重要大于振型相關(guān)系數(shù)。

圖12 參數(shù)收斂圖(1-4依次代表 U型型材的E2、G12和L型型材的E2、G12)

第3種情況Wλ=1，WMAC=0.2，wp=1，在上一種情況的基礎(chǔ)上加入了對(duì)修正參數(shù)變化量的限制，即式(7)的模型修正問題。

修正前，前6階模態(tài)頻率平均誤差為8.01%，最大誤差為13.83%，前6階MAC值平均為0.89。1) 修正后，前6階模態(tài)頻率平均誤差為4.24%，最大誤差為7.79%，MAC值最大提升0.01。2) 修正后，前6階模態(tài)頻率平均誤差為1.84%，最大誤差為5.44%，MAC值最大提升0.06。3) 修正后，前6階模態(tài)頻率平均誤差為1.92%，最大誤差為5.54%，MAC值最大提升0.06。

比較1) 和2) 可以看出，當(dāng)頻率殘差在修正中所占權(quán)重較大時(shí)，修正效果要遠(yuǎn)好于各殘差所占權(quán)重相同時(shí)的修正結(jié)果。比較2) 和3) 可以看出，在進(jìn)行相同次數(shù)迭代修正后，模態(tài)頻率和MAC值變化幾乎相同，且效果都遠(yuǎn)好于1) 。但是，從圖9和圖12，可以看出，2) 的修正參數(shù)變化太過劇烈，在目標(biāo)函數(shù)中殘差幾乎不變的情況下，修正參數(shù)依然在大幅度改變，沒有收斂的趨勢；3) 的修正參數(shù)在目標(biāo)函數(shù)中殘差不怎么改變后也減小了改變量，修正參數(shù)緩慢變化，最后收斂。綜合比較可知，3) 的結(jié)果更好，修正后有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)貼合很好，修正參數(shù)的變化也在正常范圍內(nèi)，修正結(jié)果可信度高(表2)，具有較好的工程應(yīng)用意義。

表2 3種情況修正后模態(tài)頻率和MAC值變化對(duì)比

4 結(jié)語

目前工程實(shí)際中進(jìn)行有限元模型修正時(shí)大多采用模態(tài)頻率、模態(tài)振型和振型相關(guān)系數(shù)3種殘差，本文采用了模態(tài)頻率和振型相關(guān)系數(shù)2種殘差。若在修正時(shí)目標(biāo)函數(shù)中各種殘差項(xiàng)所占權(quán)重相同，則修正效果不太好，因?yàn)槟B(tài)頻率是系統(tǒng)的主要特征參數(shù)，且識(shí)別精度高，修正時(shí)所占權(quán)重應(yīng)該較大。當(dāng)處理工程實(shí)際問題時(shí)，需要考察的不僅僅是修正后各項(xiàng)殘差的變化，修正參數(shù)的變化也很重要。通過在目標(biāo)函數(shù)中引入加權(quán)矩陣，控制修正參數(shù)的變化量，在獲得幾乎相同修正效果的同時(shí)避免修正參數(shù)無意義的變化，最后獲得的結(jié)果更具有工程實(shí)際意義。