劉 彬 潘貴翔 李 鵬 姜甲浩 劉 爽 劉兆倫

1.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，秦皇島，066004 2. 燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，秦皇島，066004

0 引言

板帶軋機(jī)在重工業(yè)機(jī)械領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，隨著科技的飛速發(fā)展，高端領(lǐng)域?qū)Π鍘к垯C(jī)的要求越來(lái)越高[1]。然而板帶軋機(jī)輥系在工作過(guò)程中經(jīng)常發(fā)生振動(dòng)，影響軋制產(chǎn)品的質(zhì)量和生產(chǎn)效率，很難達(dá)到現(xiàn)在高端領(lǐng)域?qū)堉飘a(chǎn)品的要求，嚴(yán)重時(shí)損壞軋制設(shè)備，造成經(jīng)濟(jì)損失，在很大程度上限制了軋制產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展[2-4]。

板帶軋機(jī)振動(dòng)問題的研究已經(jīng)持續(xù)了近半個(gè)世紀(jì)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從不同角度進(jìn)行了分析研究。文獻(xiàn)[5]研究了張力對(duì)軋機(jī)非線性振動(dòng)的影響，通過(guò)改變外激頻率分析軋機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得出軋制速度和帶鋼厚度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有很大影響的結(jié)論。文獻(xiàn)[6]研究了軋輥與液壓缸之間的分段非線性因素，通過(guò)建立軋機(jī)單自由度分段非線性垂直振動(dòng)模型，發(fā)現(xiàn)分段非線性約束可能是導(dǎo)致軋機(jī)顫振發(fā)生的一個(gè)原因。文獻(xiàn)[7]考慮軋件和軋輥間的相互作用， 建立了基于輥縫動(dòng)態(tài)摩擦方程的軋機(jī)輥系垂直振動(dòng)模型，研究了軋件-軋輥工作界面動(dòng)態(tài)摩擦機(jī)制影響下的冷軋機(jī)輥系垂振機(jī)理及系統(tǒng)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[8]引入Duffing振子和參激剛度項(xiàng)，建立了軋機(jī)輥系垂直振動(dòng)模型，仿真分析了軋機(jī)輥系振幅在非線性參數(shù)變化下的分岔特性。文獻(xiàn)[9-10]認(rèn)為速度改變引起液壓缸內(nèi)部摩擦因數(shù)的變化，動(dòng)態(tài)載荷引起液壓缸等效剛度的變化，摩擦因數(shù)和等效剛度的變化都會(huì)使液壓缸產(chǎn)生非線性。以上研究主要對(duì)入口張力、軋件和軋輥的相互作用以及液壓缸摩擦力對(duì)軋機(jī)輥系振動(dòng)的影響進(jìn)行了分析，沒有給出抑制消除軋機(jī)輥系垂直振動(dòng)的具體方法。

筆者以軋機(jī)輥系為研究對(duì)象，考慮液壓缸非線性彈簧力，建立非線性約束作用下的軋機(jī)輥系振動(dòng)模型。通過(guò)仿真分析軋機(jī)輥系振動(dòng)的特性規(guī)律，引入吸振器控制裝置，研究吸振器的質(zhì)量、彈簧力和摩擦力對(duì)控制軋機(jī)輥系振動(dòng)行為的影響。

1 軋機(jī)輥系振動(dòng)模型

1.1 非線性彈簧力

液壓彈簧剛度是指液壓缸工作腔完全封閉時(shí)，在外力作用下，油液體積被壓縮后所形成的液體非線性彈簧剛度。本文以軋機(jī)工業(yè)中常用的雙作用單活塞液壓缸為研究對(duì)象進(jìn)行分析,圖1為雙作用單活塞液壓缸的結(jié)構(gòu)圖。

圖1 雙作用單活塞液壓缸的結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural diagram of double acting single piston hydraulic cylinder

軋機(jī)液壓缸的彈簧剛度由液壓油剛度和活塞桿剛度串聯(lián)組成[11]。活塞桿的體積模量是液壓油體積模量的近百倍，所以把活塞桿視為剛體，液壓缸的非線性剛度主要由液壓油的剛度決定[12]。兩腔油液始終存在壓力并均處于壓縮狀態(tài)，而且兩腔油液是同時(shí)起作用的，因此液壓缸總液壓彈簧剛度可等效為兩腔液壓彈簧剛度的并聯(lián)[13]：

(1)

式中，K為液壓缸油液體積彈性模量；A1、A2分別為液壓缸無(wú)桿腔和有桿腔的活塞側(cè)有效面積；L為液壓缸總行程；L1為活塞桿初始位置；Vl1、Vl2分別為進(jìn)油閥與無(wú)桿腔之間油管內(nèi)油液體積和進(jìn)油閥與有桿腔之間油管內(nèi)油液體積，它們相對(duì)于兩油腔體積很小；x為液壓缸活塞桿的振顫位移。

則原點(diǎn)x=0處k(x)展成的泰勒級(jí)數(shù)為

(2)

(3)

非線性彈簧力為

(4)

對(duì)式(4)積分，由于彈簧彈性勢(shì)能Ep具有對(duì)稱性，故忽略奇次冪項(xiàng)，即有

(5)

對(duì)式(5)求導(dǎo)，則液壓缸的彈簧力可表示為

(6)

1.2 非線性彈簧力約束下的軋機(jī)輥系振動(dòng)模型

根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)，研究軋機(jī)液壓缸系統(tǒng)的非線性彈簧力動(dòng)態(tài)特性對(duì)軋機(jī)輥系振動(dòng)的影響[14]，根據(jù)軋機(jī)的機(jī)械結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化軋機(jī)輥系的結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 四輥軋機(jī)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Structural diagram of four high mill

為簡(jiǎn)化研究，只對(duì)軋機(jī)上部輥系進(jìn)行分析，建立一種液壓缸非線性彈簧力約束下的軋機(jī)輥系振動(dòng)模型,其振動(dòng)模型如圖3所示。

圖3 軋機(jī)輥系振動(dòng)模型Fig.3 Roll system vibration model of rolling mill

根據(jù)廣義耗散拉格朗日原理，建立軋機(jī)輥系垂直振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程：

(7)

式中，m為四輥軋機(jī)上支承輥、上工作輥及其軸承座的等效質(zhì)量；c為軋機(jī)系統(tǒng)軋件的等效阻尼；k為軋機(jī)系統(tǒng)軋件的等效剛度；F為等效負(fù)載力。

為了研究不同非線性約束對(duì)軋機(jī)輥系振動(dòng)行為的影響，給方程非線性彈簧力冠以系數(shù)α。

2 軋機(jī)輥系動(dòng)態(tài)響應(yīng)

為了方便計(jì)算，將動(dòng)力學(xué)方程式(式(7))化簡(jiǎn)為

F*cosωt

(8)

(9)

αx[ρ1+ρ2+(γ1+γ2)x2]

(10)

式中，ε為非線性項(xiàng)系數(shù)；σ為頻率調(diào)諧因子。

當(dāng)ε=0時(shí)，式(8)的派生系統(tǒng)為線性保守系統(tǒng)，導(dǎo)出派生系統(tǒng)的解及其導(dǎo)數(shù)：

(11)

(12)

(13)

φ=ωt-θ

式中，a、θ為時(shí)間的慢變函數(shù)。

將式(10)代入式(13)得

(14)

將式(14)代入式(12)得

(15)

0.75αa2(γ1+γ2)]2

(16)

式(16)為軋機(jī)輥系振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性方程，是研究軋機(jī)液壓缸非線性約束下軋機(jī)輥系振動(dòng)的基礎(chǔ)。

3 軋機(jī)輥系振動(dòng)行為特性

以某廠板帶軋機(jī)參數(shù)為例，對(duì)液壓缸非線性作用下的軋機(jī)輥系垂直振動(dòng)模型進(jìn)行數(shù)值仿真求解。通過(guò)理論研究，探索液壓缸非線性彈簧力和摩擦力等非線性因素對(duì)軋機(jī)輥系動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。系統(tǒng)模型中的參數(shù)取值如表1所示。

表1 軋機(jī)輥系振動(dòng)參數(shù)

3.1 頻域特性

軋機(jī)輥系振動(dòng)規(guī)律受不同軋制參數(shù)的影響，采用表1所列參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻特性進(jìn)行仿真，分析活塞桿初始位移和液壓缸非線性彈簧力對(duì)軋機(jī)輥系振動(dòng)規(guī)律的影響。

圖4為軋機(jī)液壓缸活塞桿不同初始位移的幅頻特性曲線，可以看出，幅頻特性曲線對(duì)活塞桿初始位移的變化非常敏感，當(dāng)初始位移稍微減小，系統(tǒng)的幅頻曲線右移，軋機(jī)固有頻率小幅變大，同時(shí)幅頻特性曲線的彎曲度也變大，即系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域變寬。在工藝允許的范圍內(nèi)，適當(dāng)調(diào)整軋機(jī)活塞桿初始位移可以增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖4 不同初始位移的幅頻特性Fig.4 Amplitude frequency characteristics of different initial displacements

比較圖5中不同非線性彈簧力系數(shù)曲線發(fā)現(xiàn)，隨著非線性彈簧力系數(shù)α的增大，系統(tǒng)的幅頻曲線右移，軋機(jī)固有頻率變大，同時(shí)幅頻特性曲線的彎曲度也變大，系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域變寬，軋機(jī)輥系的軋制過(guò)程會(huì)因此而更易于失穩(wěn)。

圖5 非線性彈簧力系數(shù)對(duì)幅頻特性曲線的影響規(guī)律Fig.5 Influence law of nonlinear spring force coefficient on amplitude frequency characteristic curve

3.2 分岔特性

以外激勵(lì)幅值作為分岔參數(shù)，分析系統(tǒng)分岔響應(yīng)隨外激勵(lì)幅值的變化規(guī)律，研究外激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

由圖6可知：外激勵(lì)取不同值時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生了不同程度的分岔現(xiàn)象，在分岔圖上出現(xiàn)單值曲線、多值曲線和無(wú)窮多值曲線；系統(tǒng)方程存在單解、多解和無(wú)窮解，即軋機(jī)輥系振動(dòng)在單周期運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)等之間交替變化。外激勵(lì)F=591 kN時(shí)的仿真結(jié)果如圖7所示，相軌跡在有限區(qū)域內(nèi)重復(fù)，呈一封閉曲線，Poincare截面上只有一個(gè)孤立的點(diǎn)，說(shuō)明此時(shí)軋機(jī)輥系振動(dòng)系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。外激勵(lì)F=601.2 kN時(shí)的仿真結(jié)果如圖8所示，相軌跡仍在有限區(qū)域內(nèi)重復(fù)，呈一封閉曲線，從局部放大圖中可以看出，此時(shí)軋機(jī)輥系振動(dòng)有2個(gè)振動(dòng)速度，Poincare截面上有2個(gè)孤立的點(diǎn)，說(shuō)明此時(shí)軋機(jī)輥系振動(dòng)系統(tǒng)為2倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。外激勵(lì)為F=627 kN時(shí)的仿真結(jié)果如圖9所示，相軌跡不再是一封閉曲線了，Poincare截面上變現(xiàn)為離散的點(diǎn)，說(shuō)明此時(shí)的軋機(jī)輥系振動(dòng)系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖6 軋機(jī)輥系的分叉特性Fig.6 Bifurcation characteristics of mill roll system

圖7 F=591kN時(shí)的1倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.7 One times periodic motion at F=591 kN

圖8 F=601.2kN時(shí)的2倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.8 Two times periodic motion at F=601.2 kN

圖9 F=627kN時(shí)的混沌運(yùn)動(dòng)Fig.9 Chaotic motion at F=627 kN

4 軋機(jī)輥系振動(dòng)控制

4.1 吸振器控制模型建立

軋機(jī)吸振器是通過(guò)彈性元件和阻尼元件，把輔助質(zhì)量連接到軋機(jī)主系統(tǒng)(軋機(jī)支架)上的減振裝置，吸振器安裝到軋機(jī)輥系后，二者構(gòu)成一個(gè)兩自由度系統(tǒng)，減振器在空間和結(jié)構(gòu)上的安裝情況如圖10所示。軋機(jī)輥系和吸振器裝置只做垂直方向的直線運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)靜止時(shí)，軋機(jī)上輥系和吸振器裝置的平衡位置為運(yùn)動(dòng)原點(diǎn)，軋機(jī)輥系和吸振器裝置的振動(dòng)位移的大小代表振動(dòng)強(qiáng)度，減小軋機(jī)輥系的振動(dòng)，就需要減小振動(dòng)位移。軋機(jī)輥系在簡(jiǎn)諧外激勵(lì)作用下振動(dòng)，軋機(jī)輥系的振動(dòng)能量通過(guò)吸振器的彈性元件和阻尼元件轉(zhuǎn)移到吸振器裝置上。吸振器通過(guò)彈性元件和阻尼元件作用在軋機(jī)輥系上的作用力，與外界對(duì)軋機(jī)輥系的作用力方向相反，把軋機(jī)輥系的振動(dòng)能量轉(zhuǎn)化為摩擦力熱能和吸振器動(dòng)能，從而減小軋機(jī)輥系的振動(dòng)位移，達(dá)到抑制振動(dòng)的目的。

圖10 安裝減振器后的軋機(jī)輥系簡(jiǎn)圖Fig.10 Roll diagram of rolling mill after shock absorber installation

如圖11所示，在軋機(jī)上輥系(等效質(zhì)量為m1)上安裝一個(gè)質(zhì)量為m2的動(dòng)力吸振器，x1為軋機(jī)上輥系的絕對(duì)位移，x2為吸振器的絕對(duì)位移，k1、c1分別為軋機(jī)上輥系和軋件之間的等效剛度和等效阻尼，k2、c2分別為吸振器和軋機(jī)上輥系之間的等效剛度和等效阻尼，F(xiàn)l(t)=Fcosωt為等效負(fù)載力，其中，F(xiàn)為外激勵(lì)幅值，ω為外激勵(lì)的角頻率。

軋機(jī)上輥系和吸振器以及軋機(jī)上輥系和軋件之間的等效剛度和等效阻尼是線性的，液壓缸的彈簧力是非線性的。帶吸振器的兩自由度系統(tǒng)模型的運(yùn)動(dòng)方程為

(17)

圖11 帶吸振器兩自由度系統(tǒng)模型Fig.11 System model of two degrees of freedom with vibration absorber

4.2 帶吸振器控制裝置的系統(tǒng)響應(yīng)

式(17)可簡(jiǎn)化為

(18)

令質(zhì)量比μ=m2/m1，根據(jù)吸振器的最優(yōu)控制原理可近似得[15]：

式(18)等號(hào)右邊非線性項(xiàng)冠以系數(shù)ε，得

δ=εδ1ξ=εξ1ρ=ερ1F0=εF10

(19)

采用多尺度法求解：引入不同時(shí)間尺度T0=t和T1=εt。

對(duì)T0=t和T1=εt中的時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)：

(20)

只研究式(20)的一次近似解，設(shè)解x1和x2的形式為

(21)

將式(20)、式(21)代入式(19)，使方程兩端帶有參數(shù)ε且同次冪的系數(shù)和相等，得到各階近似方程：

(22)

(23)

將零次近似方程組(式(23))的解寫為復(fù)數(shù)形式如下：

(24)

將式(24)代入一次近似方程組(式(23))的右邊得到：

(25)

式中，cc代表左邊各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)。

考慮內(nèi)共振情況，假設(shè)ω=ω10+εσ，ω20=ω10+εσ1，并將其代入式(25)并消去久期項(xiàng)，可得

(26)

為求解式(26)，引入復(fù)函數(shù)B1=0.5a·exp(iφ1)，B2=0.5bexp(iφ2)，其中，a、b、φ1、φ2都是時(shí)間T1的函數(shù)，引入中間變量θ1=φ2-φ1+σ1T1，θ=σT1-φ1，將B1、B2、θ1、θ2代入式(26)，令等式兩邊的實(shí)部和虛部相等，可得

(27)

(28)

式(28)為帶吸振器軋機(jī)輥系振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性方程，是研究吸振器控制特性的基礎(chǔ)。

4.3 吸振器控制特性研究

為了對(duì)比吸振器控制裝置對(duì)軋機(jī)輥系振動(dòng)行為的影響，仿真分析了加入吸振器控制裝置前后的時(shí)域特性曲線和幅頻特性曲線，分析了吸振器控制裝置的質(zhì)量、彈簧力和摩擦力對(duì)幅頻特性的影響。圖 12為加入吸振器控制裝置前后的時(shí)域曲線，可以看出，吸振器控制裝置減小了軋機(jī)輥系的振動(dòng)幅值。

圖12 加入吸振器前后時(shí)域曲線Fig.12 Time domain curve with and without vibration absorber

圖13～圖15分別為不同吸振器質(zhì)量、彈簧力和摩擦力的振動(dòng)幅頻特性曲線。比較圖4、圖13可以清晰看到，吸振器的加入使軋機(jī)輥系的幅頻曲線高度減小，說(shuō)明吸振器控制裝置對(duì)軋機(jī)輥系振動(dòng)控制的有效性。由圖13可以看出，不同吸振器質(zhì)量對(duì)應(yīng)不同彎曲度和高度的幅頻特性曲線，即吸振器質(zhì)量的大小影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；由圖14可以看出，吸振器彈簧力的改變使幅頻特性曲線的彎曲度隨之改變，改變了系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍；由圖15可以看出，吸振器摩擦力的改變使幅頻特性曲線的高度發(fā)生變化，即吸振器摩擦力影響系統(tǒng)的振動(dòng)幅值。

圖13 不同吸振器質(zhì)量的幅頻特性曲線Fig.13 Amplitude frequency characteristics of different absorbers

圖14 不同吸振器彈簧力的幅頻特性曲線Fig.14 Amplitude frequency characteristics of spring force of different vibration absorbers

圖15 不同吸振器摩擦力的幅頻特性曲線Fig.15 Amplitude frequency characteristics of friction force of different vibration absorbers

5 結(jié)論

(1)液壓缸活塞桿初始位置和非線性彈簧力的改變，影響軋機(jī)固有頻率的大小和系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域的范圍。隨著活塞桿初始位置的增大，軋機(jī)固有頻率減小，不穩(wěn)定區(qū)域的范圍減?。环蔷€性彈簧力的增大使軋機(jī)輥系的不穩(wěn)定區(qū)域變寬，軋機(jī)固有頻率增大。

(2)為了抑制軋機(jī)輥系的振動(dòng)，本文考慮吸振器在減振過(guò)程中的作用，構(gòu)造了一種帶吸振器裝置的軋機(jī)輥系振動(dòng)模型，通過(guò)吸振器吸收軋機(jī)主振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)能量。通過(guò)調(diào)整吸振器的質(zhì)量、剛度及阻尼參數(shù)，使吸振器能盡量多地吸收主系統(tǒng)的能量。

(3)不同的吸振器質(zhì)量、彈簧力和摩擦力對(duì)軋機(jī)輥系振動(dòng)幅頻特性曲線的幅值和穩(wěn)定區(qū)域有著不同的影響。在一定范圍內(nèi)減小吸振器的質(zhì)量可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性；一定范圍內(nèi)增大吸振器彈簧力可以縮小系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域；一定范圍內(nèi)增大吸振器摩擦力可以減小系統(tǒng)的振動(dòng)幅值。為了提高軋機(jī)輥系的穩(wěn)定性，選取最理想的吸振器質(zhì)量、彈簧力和摩擦力至關(guān)重要。