方 淼, 謝苗苗, 方 帆

(1. 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 理工部, 安徽 合肥 230039; 2. 巢湖學(xué)院 教務(wù)處, 安徽 巢湖 238000)

自1963年著名的氣象學(xué)家Lorenz在研究大氣湍流現(xiàn)象時(shí)提出經(jīng)典Lorenz系統(tǒng)[1]以來,各種混沌系統(tǒng)被相繼提出,對(duì)混沌現(xiàn)象和理論的研究成為研究熱點(diǎn)和重點(diǎn).隨著對(duì)混沌科學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展,混沌研究從對(duì)混沌現(xiàn)象的揭示和刻畫轉(zhuǎn)向理論研究和實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合[2],對(duì)混沌生成模型的探究及混沌信號(hào)的處理和應(yīng)用研究已成為重要的研究課題.Lü系統(tǒng)[3]是Lorenz系統(tǒng)族中結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的混沌系統(tǒng),但具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為,其隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變會(huì)在Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)之間轉(zhuǎn)換,是混沌理論與應(yīng)用研究的經(jīng)典三維混沌模型.為了更好地滿足保密通信和信息隱藏的需要,人們提出構(gòu)造超混沌電路系統(tǒng)來提高系統(tǒng)的復(fù)雜性,超混沌系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為.目前往往通過給三維連續(xù)混沌系統(tǒng)上加載反饋控制器的方式構(gòu)建超混沌系統(tǒng).反饋控制器分為線性和非線性[4],非線性的反饋項(xiàng)將進(jìn)一步增加系統(tǒng)的復(fù)雜性和不可預(yù)測(cè)性,更適用于構(gòu)建超混沌系統(tǒng).

憶阻器[5]是蔡少棠教授1971年根據(jù)電路的完備性提出的描述電荷和磁通關(guān)系的非線性元件,由Strukov等[6]在物理上成功實(shí)現(xiàn).憶阻器具有電阻、電感、電容3種基本元件不能復(fù)制的記憶特性,能夠記憶流經(jīng)它的電荷量,通過控制電流可改變其阻值,是一種具有記憶特性的非線性元件.利用憶阻器的非線性和記憶特性,將其作為超混沌系統(tǒng)的反饋項(xiàng),可產(chǎn)生復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,為超混沌電路的設(shè)計(jì)提供了全新的發(fā)展空間.

目前構(gòu)建超混沌系統(tǒng)主要有以下2種實(shí)現(xiàn)方法.

(1) 采用憶阻器作為典型混沌系統(tǒng)的反饋項(xiàng)構(gòu)建超混沌電路系統(tǒng).包伯成[7]等人通過在三維Bao系統(tǒng)中加入1個(gè)新的狀態(tài)變量,實(shí)現(xiàn)了四維超混沌系統(tǒng);阮靜雅等人[8]利用憶阻器作為正反饋項(xiàng)構(gòu)建了Lorenz超混沌系統(tǒng),設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的模擬等效電路.

(2) 通過給振蕩電路增加非線性元件或進(jìn)行非線性耦合實(shí)現(xiàn)超混沌.Li等[9]將2個(gè)文氏電路進(jìn)行非線性耦合獲得文氏超混沌電路,但這些憶阻電路結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜,不利于進(jìn)行電路實(shí)現(xiàn).

為此,如何構(gòu)建一種電路結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單,動(dòng)力學(xué)行為更豐富的電路系統(tǒng),以滿足保密通信和信息隱藏等領(lǐng)域的要求,也是超混沌系統(tǒng)的研究思路.

本文采用3次型磁控憶阻器作為L(zhǎng)ü系統(tǒng)的非線性反饋項(xiàng),構(gòu)成1個(gè)簡(jiǎn)單的四維憶阻系統(tǒng),獲得了超混沌信號(hào),同時(shí)對(duì)該超混沌系統(tǒng)的特性進(jìn)行了分析,采用相圖、Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖等基本動(dòng)力學(xué)分析方法對(duì)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究,分析了系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響,最后設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了該超混沌系統(tǒng)的模擬等效電路,并利用PSPICE軟件進(jìn)行仿真,實(shí)驗(yàn)仿真的結(jié)果和數(shù)值仿真的結(jié)果一致,對(duì)超混沌電路的工程應(yīng)用具有一定的理論和實(shí)際意義.

1 基于Lü系統(tǒng)的超混沌憶阻系統(tǒng)模型

1.1 Lü系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和電路實(shí)現(xiàn)

Lü系統(tǒng)是介于Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換系統(tǒng),是Lorenz系統(tǒng)族中結(jié)構(gòu)最為簡(jiǎn)單的系統(tǒng),其數(shù)學(xué)模型[3]可用1個(gè)連續(xù)自治耗散三維常微分方程組描述為

(1)

式中:x,y,z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;a、b、c為實(shí)參數(shù).

固定參數(shù)a=36,b=3,當(dāng)參數(shù)c∈(18,22)時(shí),系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),能產(chǎn)生不同于Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的新的混沌吸引子,如圖1所示.采用模擬集成運(yùn)放和乘法器可實(shí)現(xiàn)該混沌系統(tǒng)(1),如圖2所示.

圖1混沌吸引子
Fig.1 The chaotic attractor

圖2 Lü系統(tǒng)模擬電路圖Fig.2 Analog circuit of the Lü system

為提高系統(tǒng)的復(fù)雜性和不可預(yù)測(cè)性,在該系統(tǒng)中增加1個(gè)非線性反饋項(xiàng),構(gòu)建新的超混沌電路系統(tǒng).憶阻器作為具有記憶特性的非線性電阻器,適于作為系統(tǒng)的非線性反饋項(xiàng)構(gòu)建超混沌系統(tǒng).本系統(tǒng)采用Bao提出的磁控憶阻器作為系統(tǒng)的反饋項(xiàng),該磁控憶阻器由1條光滑單調(diào)上升的3次非線性特性曲線描述[10],即

q(φ)=αφ+Bφ3.

(2)

式中:q為電荷;φ為磁通;α>0,β>0為實(shí)參數(shù).

該曲線的斜率,即其電荷隨磁鏈的變化率,稱為憶阻器的憶導(dǎo),為

(3)

式中,α>0,β>0,憶導(dǎo)是隨內(nèi)部狀態(tài)變量φ變化的函數(shù).設(shè)給憶阻器兩端施加電壓V,則流過憶阻器的電流為I,可得

1.2 Lü超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

令憶阻器的控制電壓V=x+y,w=φ,則有

I=W(w)V=(α+3βw2)(x+y).

(6)

將憶阻器的電流I作為反饋項(xiàng)引入Lü系統(tǒng),根據(jù)基爾霍夫定律可得基于憶阻器反饋的Lü系統(tǒng)的系統(tǒng)方程:

(7)

為了獲得無量綱方程,令w=φ,選擇參數(shù)a=36,b=3,c=29,α=0.2,β=0.04,并設(shè)置初始條件為(10 10 10 0),系統(tǒng)(7)產(chǎn)生雙渦卷超混沌吸引子,如圖3所示.圖4a、圖4b分別給出了超混沌吸引子在x-y和y-w平面上的投影.

由圖3、圖4可見, 由于憶阻器的憶導(dǎo)值受憶阻器內(nèi)部控制變量的影響, 當(dāng)將憶阻器引入Lü系統(tǒng)時(shí), 引入了1個(gè)新的狀態(tài)變量, 該系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比三維的Lü系統(tǒng)復(fù)雜. 通過尋找合適的Poincaré截面, 能將系統(tǒng)隨時(shí)間連續(xù)變化運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為Poincaré截面上的離散映射, 該映射降低了系統(tǒng)的維數(shù), 但仍能保持原有動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)[8], 能更好地刻畫出該憶阻電路的混沌特性. 圖5a、圖5b分別給出了x=0和z=30截面上的Poincaré映射, 顯然基于憶阻器的并聯(lián)混沌電路的Poincaré映射上存在無窮多個(gè)密集點(diǎn), 吸引子的輪廓清晰可見, 表現(xiàn)出分形的幾何特征, 進(jìn)一步說明該系統(tǒng)是超混沌的.

圖3超混沌系統(tǒng)吸引子
Fig.3 The chaotic attractor of hyper-chaotic system

圖4 超混沌系統(tǒng)相軌圖Fig.4 The phase portrait of hyper-chaotic system

圖5 系統(tǒng)(7)的Poincaré映射Fig.5 Poincaré section of system (7)

利用Jacobi方法計(jì)算該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)得:LE1=9.73;LE2=0.04;LE3=-0.81;LE4=-10.04.系統(tǒng)包含2個(gè)正的Lyapunov指數(shù),且滿足所有Lyapunov指數(shù)之和小于零,表明該系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).從吸引子的相軌圖和Lyapunov指數(shù)可以判斷出憶阻系統(tǒng)是超混沌振蕩的.

2 動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 對(duì)稱性

由于系統(tǒng)(7)滿足(x,y,z,w)～(-x,-y,z,-w)的變化下保持不變,因此該系統(tǒng)關(guān)于z軸對(duì)稱,這種對(duì)稱關(guān)系對(duì)系統(tǒng)所有的參數(shù)均成立.

2.2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

E={(x,y,z,w|x=y=z=0,w=m)},

其中m為實(shí)常數(shù),即w坐標(biāo)上所有的點(diǎn)均為平衡點(diǎn),系統(tǒng)存在無窮的平衡點(diǎn)集.在平衡點(diǎn)處對(duì)系統(tǒng)(7)進(jìn)行線性化,可得Jacobi矩陣JE為

選取數(shù)值仿真時(shí)所采用的參數(shù),且取平衡點(diǎn)m=0,可求得系統(tǒng)的特征值λ1=0,λ2=-3,λ3=-18.06,λ4=28.9,即系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是1個(gè)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn),并且當(dāng)|m|<31.04時(shí),系統(tǒng)平衡點(diǎn)均為不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn),否則平衡點(diǎn)集是穩(wěn)定的.

2.3 參數(shù)改變對(duì)系統(tǒng)的影響

由于系統(tǒng)(7)具有無限平衡點(diǎn)集,包含無限的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的平衡點(diǎn),因此該系統(tǒng)具有豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為.為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,通過改變電路參數(shù)對(duì)Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖進(jìn)行分析.隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變,系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性也將隨著改變,從而使系統(tǒng)處于不同的狀態(tài).在初始條件(10 10 10 0)下,固定電路參數(shù)a=36,c=29,α=0.2,β=0.04,選擇b為可變電路參數(shù).當(dāng)b∈[1,15]時(shí),Lyapunov指數(shù)譜和狀態(tài)變量x的分岔圖如圖6所示.

圖6 系數(shù)隨參數(shù)b變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.6 The Lyapunov exponential spectrum and bifurcation diagram of the system change with b

由圖6可見,系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)間基本一致.當(dāng)02.4時(shí),Lyapunov指數(shù)形式為(+,+,-,-),系統(tǒng)失穩(wěn),進(jìn)入超混沌狀態(tài).當(dāng)b>6時(shí),Lyapunov指數(shù)基本保持恒定,系統(tǒng)處于恒定混沌狀態(tài),說明此時(shí)系統(tǒng)不因參數(shù)b的擾動(dòng)或微小變化而導(dǎo)致狀態(tài)發(fā)生變化,其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定,具有強(qiáng)魯棒性[11],適合作為隨機(jī)信號(hào)源,產(chǎn)生性能良好的偽隨機(jī)序列.

同樣,參數(shù)c也會(huì)影響系統(tǒng)狀態(tài),在相同的初始條件下,固定其他電路參數(shù),選擇c為可變電路參數(shù).當(dāng)c在[10,40]范圍內(nèi)變化時(shí),系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和狀態(tài)變量x的分岔圖如圖7所示.

圖7 系數(shù)隨參數(shù)c變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.7 Lyapunov exponential spectrum and bifurcation diagram of the system change with c

由圖7可見,Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖所表現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)軌跡一致.隨著參數(shù)c的增加,系統(tǒng)從周期態(tài)進(jìn)入混沌和超混沌狀態(tài),其中出現(xiàn)了若干個(gè)周期窗口,經(jīng)歷了復(fù)雜的非線性變化過程.并且從圖中可以看出,系統(tǒng)在c=[28,35]的很長(zhǎng)一段區(qū)域內(nèi)均處于超混沌狀態(tài),在保密通信和信息隱藏中具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

3 等效電路實(shí)現(xiàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)的超混沌行為,采用電阻、電容、運(yùn)放和乘法器構(gòu)建出跟隨器,積分器和電流轉(zhuǎn)換器來等效實(shí)現(xiàn)憶阻器,如圖8所示.

圖8 憶阻器的等效電路原理圖Fig.8 The equivalent schematic circuit diagram of the memristor

將該憶阻器作為反饋項(xiàng)引入Lü系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(7)的運(yùn)算,電路中采用AD712運(yùn)放,乘法器為AD633,由于模擬乘法器的容許電壓范圍為±10 V,運(yùn)放的容許電壓范圍為±15 V,為確保電路變量工作在合適的動(dòng)態(tài)范圍內(nèi),在不改變系統(tǒng)性能的條件下對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量做合適的線性變換,即

變換后系統(tǒng)(7)對(duì)應(yīng)的方程為

(8)

設(shè)計(jì)的系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)仿真電路如圖9所示.

圖9 超混沌系統(tǒng)電路圖Fig.9 The circuit diagram of the hyper-chaotic system

采用PSPICE軟件對(duì)上述電路進(jìn)行仿真驗(yàn)證,將式(7)和式(8)對(duì)應(yīng)的系數(shù)進(jìn)行比較,并合理地設(shè)置,相應(yīng)的元件值分別為:Ci(i=1,2,3,4)=1 μF;Ri(i=1,2,7,18,19,20)=1 kΩ;R3=360 Ω;R8=2.9 kΩ;R9=290 Ω;R12=3 kΩ;R13=300 Ω;R17=100 kΩ;Ri(j=4,5,6,10,11,14,15,16,21,22)=10 kΩ.得到仿真結(jié)果如圖10所示,電路仿真結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果基本一致,驗(yàn)證了該超混沌電路的正確性.

4 結(jié) 論

本文基于Lü系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種新的超混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)具有無限的平衡點(diǎn)集,并且由于磁控憶阻器的非線性反饋,使得系統(tǒng)包含豐富的動(dòng)力學(xué)行為. 數(shù)值仿真結(jié)果表明, 該系統(tǒng)能夠產(chǎn)生超混沌吸引子, 當(dāng)參數(shù)增加到一定值時(shí),

出現(xiàn)了恒定

圖10 超混沌系統(tǒng)電路仿真圖Fig.10 The circuit simulation diagram of the hyper-chaotic system

Lyapunov指數(shù)譜,說明該超混沌系統(tǒng)不僅結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定,且具有很好的魯棒性.為了進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,采用通用的運(yùn)算放大器和模擬乘法器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的模擬等效電路,并對(duì)該等效電路通過PSPICE軟件進(jìn)行了電路仿真,仿真結(jié)果與數(shù)值仿真及理論仿真結(jié)果一致,驗(yàn)證了電路的有效性和可實(shí)現(xiàn)性,其復(fù)雜的超混沌特性和恒Lyapunov指數(shù)譜現(xiàn)象使該系統(tǒng)在混沌保密通信中具備潛在的應(yīng)用價(jià)值.