宋盼盼

[摘? ?要]結(jié)合兩個(gè)典型例題研究拋物線中平行四邊形存在性問(wèn)題的求解策略，以提高學(xué)生的探索能力與創(chuàng)新能力.

[關(guān)鍵詞]拋物線;平行四邊形;存在性問(wèn)題;策略

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）35-0005-02

存在性問(wèn)題，考查知識(shí)點(diǎn)較多，成為中考數(shù)學(xué)的拉分題目.拋物線中的平行四邊形存在性問(wèn)題是中考的?？碱}型之一.其解決問(wèn)題的關(guān)鍵：一是恰當(dāng)?shù)胤诸?lèi)，分類(lèi)適合，結(jié)果的個(gè)數(shù)找得又快又準(zhǔn)確;二是通過(guò)畫(huà)圖，利用平行四邊形的性質(zhì)，通過(guò)計(jì)算加以解決.

類(lèi)型一：已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，求第四個(gè)頂點(diǎn)，探究其存在性

已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，求第四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造三角形，然后過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的平行線，三條平行線兩兩相交，形成三個(gè)交點(diǎn)，這三個(gè)交點(diǎn)都是符合題意的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn).

[例1]如圖1，拋物線y = ax2+bx-3過(guò)A（1，0），B（-3，0），直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2，點(diǎn)P（m，n）是線段AD上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求直線AD及拋物線的解析式;

（2）過(guò)點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長(zhǎng)？（3）在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)）R，使得P，Q，D，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)R的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.

解析：（1）將A（1，0），B（-3，0）代入y=ax2+bx-3得 [a+b-3=0，9a-3b-3=0，]解得[a=1，b=2，]∴拋物線的解析式為y=x2+2x-3.當(dāng)x=-2時(shí)，y=（-2）2-4-3=-3，∴D（-2，-3）.設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，將A（1，0），D（-2，-3）代入得：[k+b=0，-2k+b=-3，]解得[k=1，b=-1，]∴直線AD的解析式為y=x-1.因此直線AD的解析式為y=x-1，拋物線的解析式為y=x2+2x-3.

（2）∵點(diǎn)P在直線AD上，Q在拋物線上，P（m，n），∴n=m-1，Q（m，m2+2m-3），∴PQ的長(zhǎng)l=（m-1）-（m2+2m-3）=-m2-m+2（-2≤m≤1），∴當(dāng)m=[--1-1×2] =[-12]時(shí)，PQ的長(zhǎng)l最大=-[-122]-[-12]+2=[94].

[∴]線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式為l=-m2-m+2（-2≤m≤1）. 當(dāng)m=[-12]時(shí)，PQ最長(zhǎng)，最大值為[94].

（3）∵PQ的長(zhǎng)為0[<]PQ≤[94]的整數(shù)，∴PQ=1或PQ=2.

①如圖2，當(dāng)PQ=1時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)D、Q、P作PQ、DP、DQ的平行線，平行線兩兩相交于點(diǎn)R1、R2、R3，∵PQ⊥x軸，∴R1R2⊥x軸，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得D R1=D R2=1，∵D（-2，-3），∴點(diǎn)R1（-2，-2），點(diǎn)R2（-2，-4），∵PQ= -m2-m+2（-2≤m≤1），當(dāng)-m2-m+2=1時(shí)，m= [-1±52]，∴m-1= [-3±52]，∴點(diǎn)P [-1±52，-3±52]，PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為[-1±52，-4±52]，∵點(diǎn)D（-2，-3），根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，可得點(diǎn)R3的坐標(biāo)一定為無(wú)理數(shù)，不符合題意，故舍去.

②如圖3，當(dāng)PQ=2時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)D、Q、P作PQ、DP、DQ的平行線，平行線兩兩相交于點(diǎn)R4、R5、R6， ∵PQ⊥x軸，∴R4R5⊥x軸，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DR4=DR5=2，∵D（-2，-3），∴點(diǎn)R4（-2，-5），點(diǎn)R5（-2，-1）， ∵PQ= -m2-m+2（-2≤m≤1），當(dāng)-m2-m+2=2時(shí)，m=0或-1，m-1=-1或-2，點(diǎn)P（0，-1）或（-1，-2），此時(shí)PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2）或（-1，-3），設(shè)點(diǎn)R6的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得[-2+a2=0 ，-3+b2=-2 ，]或[-2+a2=-1，-3+b2=-3，]解得[a=2，b=-1，]或[a=0，b=-3.]所以R6的坐標(biāo)為（2，-1）或（0，-3）.

[∴]符合條件的點(diǎn)R共有6個(gè)，即R1（-2，-2），R2（-2，-4），R5（-2，-1），R4（-2，-5），R6（0，-3），R7（2，-1）.

評(píng)注：本題利用作平行線的方法不重不漏地找出了所有符合題意的點(diǎn).其中在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，利用了平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，利用了平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，其實(shí)質(zhì)相當(dāng)于先假設(shè)存在這樣的平行四邊形，然后利用它的性質(zhì)去求解.

類(lèi)型二：已知平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，求另兩個(gè)頂點(diǎn)，探究其存在性

已知平行四邊形兩個(gè)頂點(diǎn)，求另外兩個(gè)頂點(diǎn)，通常以這兩個(gè)頂點(diǎn)確定的線段，分別作為平行四邊形的邊或?qū)蔷€構(gòu)造平行四邊形，作為邊時(shí)通過(guò)平移得到另兩個(gè)頂點(diǎn)，作為對(duì)角線時(shí)通過(guò)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到另兩個(gè)頂點(diǎn).

[例2]如圖4，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），頂點(diǎn)為D，

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

（2）判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由;

（3）點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在直線y=x上，是否存在點(diǎn)P、Q以使點(diǎn)P、Q、C、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得[1+b+c=0，c=-3，]解得[b=2，c=-3.]拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x-3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-4）;

（2）y=x2+2x-3，令y=0，則x=1或-3，故點(diǎn)B（-3，0），而C、D的坐標(biāo)分別為（0，-3）、（-1，-4），則BD=[20]，CD=[2]，BC=[18]，∴BD2=CD2+BC2，故△BCD為直角三角形;

（3）存在.理由：①當(dāng)OC是平行四邊形的一條邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（m，m2+2m-3），點(diǎn)Q（m，m），則PQ=OC=3，PQ=[m2+2m-3-m=3]，解得m = -1或2或0或-3（舍去0），故m=-1或2或-3;②當(dāng)CO是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（m，m2+2m-3），點(diǎn)Q（n，n），∵線段OC的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1.5），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式 得[m+n=0，m2+2m-3+n=-3，]解得m=0或-1（舍去0）;故m=? -1或2.則點(diǎn)P（-1，4），（2，5）或（-3，0）.

評(píng)注：在拋物線中探究平行四邊形存在性問(wèn)題，一方面，使用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可以快速地求出第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).中點(diǎn)坐標(biāo)公式是已知點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2），則線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為[x1+x22 ，y1+y22] .利用這個(gè)公式可以由線段兩端點(diǎn)及中點(diǎn)任意兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);另一方面，使用函數(shù)解析式來(lái)表示其圖像點(diǎn)的坐標(biāo)，便于對(duì)函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行控制，如點(diǎn)P在拋物線y=ax2+bx+c上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可表示為（m，am2+bm+c）.

總之，新課程背景下，在常態(tài)化教學(xué)中，要不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想，圖形變換思想，培養(yǎng)學(xué)生從多個(gè)角度思考問(wèn)題意識(shí)，不斷挖掘課本中常見(jiàn)試題的價(jià)值.如此，才能提高學(xué)生的探索能力與創(chuàng)新能力.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）