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(上海電力學(xué)院 電氣工程學(xué)院, 上海 200090)

近年來,越來越多的非線性負(fù)載接入電網(wǎng),使得電網(wǎng)信號中存在大量諧波和間諧波,而諧波和間諧波的準(zhǔn)確檢測對諧波源的定位和諧波治理具有十分重要的意義[1]。

快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)是改進(jìn)的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT),能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)高效運(yùn)算,已成為目前最常用的諧波分析方法之一。由于實(shí)際情況下對信號的同步采樣很難嚴(yán)格實(shí)現(xiàn),所以頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)難以避免。加窗能夠抑制頻譜泄漏,插值能夠校正柵欄效應(yīng)帶來的誤差,所以加窗插值FFT算法被廣泛應(yīng)用于諧波分析中[2-4]。此方法將信號在頻域展開,搜索譜峰并利用主瓣內(nèi)的譜線來校正諧波參數(shù),在處理不含頻率相近成分的信號時,通常具有較高的精度。旁瓣性能優(yōu)良,窗函數(shù)能有效抑制主瓣所受泄漏的影響,但是旁瓣性能越好,窗函數(shù)的主瓣寬度往往越大,頻率分辨率也就越低,在處理含有頻率相近諧波和間諧波成分的信號時,頻率相近分量的主瓣會相互干擾,這一現(xiàn)象影響了加窗插值FFT算法的精度。針對加窗插值FFT算法頻譜分辨率不足的缺點(diǎn),許多學(xué)者使用時域算法來處理間諧波信號。常用的時域算法有MUSIC 算法[5]、ESPRIT算法[6]和Prony算法[7]等。這些方法在理論上具有無限小的信號頻率分辨率[8],可以分辨頻率相近的諧波和間諧波,但是算法的穩(wěn)定性和精度與信號中諧波和間諧波成分的個數(shù)有關(guān),且計(jì)算速度較慢。

在進(jìn)行諧波分析時,應(yīng)優(yōu)先采用精度和穩(wěn)定性較高的加窗插值FFT算法;當(dāng)信號中存在頻率相近的諧波和間諧波成分時,再考慮使用時域算法來處理。因此,準(zhǔn)確判斷信號中頻率相近的分量之間是否存在主瓣干擾就顯得尤為重要。本文從理論上推導(dǎo)了主瓣內(nèi)譜線的相位特性,以此為判據(jù)建立了主瓣干擾的判斷方法,并利用仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證該方法的有效性。結(jié)果表明,本文的方法能夠準(zhǔn)確判斷主瓣干擾是否存在,進(jìn)而判斷信號是否含有頻率相近的成分。

1 頻率相近成分的頻譜分析

當(dāng)待測信號僅含有整數(shù)次諧波時,選用主瓣寬度適宜的窗函數(shù)并使用加窗FFT算法能夠得到主瓣互相分離的頻譜,諧波個數(shù)與主瓣數(shù)量一一對應(yīng)。在這一情況下,插值算法能夠得到精度很高的諧波參數(shù)。若信號中存在頻率相近的諧波和間諧波分量,它們的主瓣會重疊,甚至?xí)蠟橐粋€主瓣。

設(shè)信號表達(dá)式為

(1)

式中:A1,A2——兩個分量的幅值;

f1,f2——兩個數(shù)值接近的頻率;

φ1,φ2——相位。

為此,通過信號加窗得到加窗信號,加窗信號的幅值譜如圖1所示。

從圖1可以看出,兩個頻率分量的主瓣由于位置過于接近而重疊在一起,這種現(xiàn)象被稱為主瓣干擾。信號的真實(shí)頻譜是兩個分量的頻譜矢量疊加的結(jié)果。在此幅值譜中僅有一個主瓣被呈現(xiàn),若此時使用插值算法校正諧波的頻率、幅值和相位參數(shù),將會得到誤差較大的參數(shù)。通常,信號中大部分分量的頻率都有一定距離,它們對應(yīng)的主瓣沒有受到干擾,而只有個別諧波和間諧波分量的主瓣距離會太近而相互干擾。如果在加窗FFT得到的頻譜基礎(chǔ)上,增加一個判斷主瓣干擾的步驟,根據(jù)主瓣干擾的判定結(jié)果采取不同的處理方式,將會得到更理想的諧波和間諧波參數(shù)的檢測結(jié)果。

圖1 加窗信號的幅值譜

2 主瓣干擾的判據(jù)

主瓣干擾發(fā)生時,主瓣內(nèi)譜線相位將會明顯改變,因此可以將主瓣內(nèi)譜線的相位作為主瓣干擾的判據(jù)。余弦組合窗是目前最常用的一類窗函數(shù),其時域通用表達(dá)式為

(2)

式中:M——窗函數(shù)的項(xiàng)數(shù);M=0,1,2,…,M-1;

n——窗函數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù),n=1,2,3,…,N-1;

am——窗函數(shù)的系數(shù)。

式(2)所示余弦組合窗的頻譜表達(dá)式為

(3)

式中:WR(k)——矩形窗的離散傅里葉變換。

(4)

將式(4)代入式(3)并簡化得到

(5)

設(shè)W(k)的實(shí)數(shù)部分為

(6)

則式(5)變?yōu)?/p>

W(k)=F(k)·e-jkπ

(7)

F(k)的圖像如圖2所示。由圖2可知,當(dāng)-M0,即主瓣內(nèi)F(k)為正數(shù)。

圖2 函數(shù)F(k)的圖像

設(shè)加窗信號為xw(n)=x(n)w(n),其離散傅里葉變換為Xw(k)。文獻(xiàn)[3]指出,在計(jì)算第i項(xiàng)諧波參數(shù)時,可忽略負(fù)頻率和頻譜泄漏的影響,認(rèn)為

(8)

式中:Ai,φi——第i項(xiàng)諧波的幅值和相位;

ki——第i項(xiàng)諧波的頻率在DFT中的等效值。

設(shè)主瓣內(nèi)相鄰的兩根譜線分別為第k1和(k1+1)根,忽略頻譜泄漏的影響,兩根譜線的值分別為

(9)

(10)

兩根譜線的相位差為

arg[Xw(k1)]-arg[Xw(k1+1)]=

(11)

式(11)表明,在忽略頻譜泄漏的情況下,主瓣內(nèi)兩根相鄰譜線之間的相位相差π(或-π)。

本文選取靠近主瓣峰值的兩根譜線,如圖3所示,這是某單頻信號的幅值譜。

圖3 單頻信號譜線示意

圖3中,fE為單頻信號頻譜中峰值處E點(diǎn)的頻率;譜線B和譜線C為靠近主瓣峰值的兩根譜線,即幅值最大的兩根譜線。設(shè)φB和φC分別為這兩根譜線的相位,其相位判別式為

Δφ=||φB-φC|-π|

(12)

在實(shí)際情況中,由于頻譜泄漏的影響,Δφ通常不能嚴(yán)格等于零,所以只要Δφ小于一定閾值ε就可以認(rèn)為主瓣干擾不存在,否則判定主瓣干擾存在。本文通過對典型諧波信號的頻譜分析發(fā)現(xiàn),ε的合理取值為10-5。

3 算例分析

在文獻(xiàn)[3]給出的信號中加入靠近整數(shù)次諧波的間諧波分量,得到新的信號,信號表達(dá)式為

πfht+φh)

(13)

式中:h——諧波或間諧波成分的序號,h=1,2,3,…,12。

信號參數(shù)如表1所示。在這個信號中,基波、2次諧波和3次諧波附近都存在一個間諧波,如果直接使用加窗插值FFT算法進(jìn)行處理,上述分量將難以被區(qū)分出來,計(jì)算結(jié)果誤差會很大。為了避免這種情況,在計(jì)算信號參數(shù)前使用本文方法來處理待測信號。

設(shè)置采樣頻率為2 560 Hz,采樣點(diǎn)數(shù)為512,窗函數(shù)為4項(xiàng)5階Nuttall窗,對上述信號進(jìn)行加窗FFT,得到加窗信號的頻譜有9個主瓣,再對這9個主瓣依次進(jìn)行主瓣干擾的判斷,結(jié)果如表2所示。表2表明,本文方法能夠準(zhǔn)確判斷主瓣干擾是否存在,同時可根據(jù)主瓣位置確定頻率相近成分所在的頻率范圍。

表1 信號參數(shù)

表2 主瓣干擾判定結(jié)果

4 結(jié) 語

本文分析了電網(wǎng)信號含有頻率相近諧波和間諧波分量時頻譜的特征,推導(dǎo)了主瓣內(nèi)譜線相位公式,得出了主瓣內(nèi)相鄰譜線相位相差π(或-π)的結(jié)論,并以此為依據(jù)構(gòu)建了主瓣干擾的判據(jù)。仿真結(jié)果表明,本文方法能夠準(zhǔn)確判斷主瓣是否受到干擾,并且可以根據(jù)主瓣位置確定頻率相近諧波和間諧波成分所在的頻率范圍,能為后續(xù)諧波和間諧波的檢測提供幫助。