周 健，龔春林，粟 華，谷良賢

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院陜西省空天飛行器設(shè)計重點實驗室，西安 710072； 2. 中國兵器工業(yè)第203研究所，西安 710065)

0 引 言

多智能體系統(tǒng)(Multi-agent system，MAS)編隊協(xié)同控制問題是當(dāng)前控制科學(xué)領(lǐng)域中的研究熱點，廣泛應(yīng)用于無人機[1]、航天器[2]和水下機器人[3]等?，F(xiàn)有文獻中[4-7]，一/二階以及高階線性系統(tǒng)的協(xié)同控制問題得到了充分研究，然而針對航天器姿態(tài)系統(tǒng)而言，其動力學(xué)和運動學(xué)模型具有本質(zhì)非線性特性[8]，使得許多針對線性MAS編隊的分析方法不再適用，特別是考慮復(fù)雜約束條件下的該問題變得異常復(fù)雜。

航天器編隊由于在軍事偵察、深空探測、環(huán)境監(jiān)測、定位服務(wù)等領(lǐng)域的巨大優(yōu)勢和廣闊前景,引起了專家和學(xué)者的高度重視，是航天科技領(lǐng)域中的重要研究方向[9-13]。與結(jié)構(gòu)復(fù)雜、功能性強的單一大型航天器相比，中小型航天器編隊具有成本低、擴展性好、功能多樣、可靠性高的特點，且能夠完成復(fù)雜的空間任務(wù)。然而，在實際工程應(yīng)用中，有些小型航天器因成本或體積結(jié)構(gòu)限制無法實現(xiàn)對自身姿態(tài)的量測，最現(xiàn)實的辦法就是通過設(shè)計狀態(tài)觀測器或者輸出反饋控制器進行在線估計[14-15]。另一方面，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不可量測與參數(shù)不確定性[16]、飽和控制[17]、外部擾動、有限時間控制[18]等因素耦合在一起時，就使得航天器編隊姿態(tài)協(xié)同控制問題變得極富挑戰(zhàn)性。因此，在復(fù)雜約束條件下如何設(shè)計高精度和強魯棒性的協(xié)同控制律[19-20]仍然是當(dāng)前編隊協(xié)同控制研究的重點和難點問題。

本文首先建立了航天器相對姿態(tài)協(xié)同控制模型；在此基礎(chǔ)上，針對編隊姿態(tài)控制系統(tǒng)存在無角速度量測、外部擾動等約束條件，提出了一種有限時間姿態(tài)協(xié)同控制律；而后將該控制律推廣到更為復(fù)雜的約束條件下，通過將飽和輸入影響轉(zhuǎn)化為復(fù)合擾動，提出一種基于有限時間狀態(tài)觀測器估計的滑模姿態(tài)協(xié)同控制律，實現(xiàn)航天器編隊在復(fù)雜約束條件下的姿態(tài)協(xié)同控制。

1 問題描述

假設(shè)由n個航天器組成的編隊協(xié)同，其中編隊成員的姿態(tài)運動學(xué)和動力學(xué)方程表示如下[21]：

(1)

式中:Ji∈R3×3代表第i個航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，ui∈R3×3為控制力矩，di∈R3×3為外部擾動力矩，ωi∈R3×3為剛體本體坐標系下第i個航天器的角速度，qi∈R3×3表示描述航天器姿態(tài)的修正羅德里格斯參數(shù)，其定義為：

式中:ρi和φi分別代表第i個航天器的歐拉軸和歐拉角。符號×表示斜對稱矩陣運算，其定義為：

(2)

式中:Ei∈R3×3為雅克比矩陣[22]。

根據(jù)上面定義，式(1)可以轉(zhuǎn)換為：

(3)

且滿足以下假設(shè)：

其中，c0是給定的正數(shù)。

2 有限時間滑模姿態(tài)控制協(xié)議

2.1 姿態(tài)誤差追蹤系統(tǒng)

為了便于后續(xù)分析，這里引入兩類中間變量：絕對姿態(tài)誤差和相對姿態(tài)誤差。其中絕對姿態(tài)誤差指第i個航天器與期望狀態(tài)的差值，定義如下：

將上述方程代入到姿態(tài)動力學(xué)系統(tǒng)(3)，得到姿態(tài)追蹤誤差系統(tǒng)：

(4)

將式(4)寫成向量形式：

(5)

式中:

另一方面，姿態(tài)相對誤差定義為：

(6)

此外，令αi1,αi2,αi3∈R3為第i個航天器的耦合追蹤誤差，定義如下：

式中:aij為編隊權(quán)重連接矩陣A的元素。

注意到：

式中:lij為Laplacian矩陣L的元素。

耦合追蹤誤差αi1,αi2和αi3可寫成如下形式：

(7)

式(7)可寫成向量形式：

(8)

式中:

M=(L+B)?I3∈R3n×3n,B=diag(b1,…,bn)

(9)

引入滑模變量si=δαi1+αi2，其中δ為正值。對變量si兩側(cè)求導(dǎo)：

(10)

將式(10)寫成向量形式：

(11)

2.2 控制協(xié)議設(shè)計及穩(wěn)定性分析

基于上述滑模變量，提出如下分布式滑模姿態(tài)控制協(xié)議：

(12)

由上述定義很容易得出，魯棒控制項ψi滿足如下不等式：

(13)

在給出穩(wěn)定性條件之前，引入一滑模觀測器來估計未知量。

(14)

上述滑模觀測器的有限時間估計性質(zhì)可由下面的性質(zhì)給出。

這里，Δ為任意給定的正數(shù)。

以下定理給出了滑模姿態(tài)控制律(12)的穩(wěn)定性。

定理1.考慮非線性觀測器(14)和滑模姿態(tài)控制律(12)，當(dāng)系統(tǒng)滿足假設(shè)1時，滑模變量s在有限時間內(nèi)收斂到有界域內(nèi)。

證.考慮如下Lyapunov函數(shù)：

(15)

沿著式(11)對Lyapunov函數(shù)兩側(cè)求導(dǎo)可得：

(16)

另一方面，系統(tǒng)非線性項fi滿足：

(17)

式中：

上述不等式可寫成下面兩種形式：

(18)

(19)

對于方程(18)，當(dāng)條件c1-c2/V>0成立時，系統(tǒng)可在有限時間T2a內(nèi)實現(xiàn)穩(wěn)定，即Lyapunov函數(shù)在有限時間內(nèi)滿足V≤c3/c1。那么，滑模變量s也將收斂到有界域內(nèi)：

(20)

對于方程(19)，當(dāng)條件滿足c2-c3/V(1+α)/2>0成立時，系統(tǒng)可在有限時間T2b實現(xiàn)穩(wěn)定，即Lyapunov函數(shù)滿足V≤(c3/c2)2/(1+α)。那么，滑模變量s將在有限時間內(nèi)收斂到有界域內(nèi)：

(21)

結(jié)論得證。

3 飽和輸入條件下的控制協(xié)議

本文針對編隊追蹤姿態(tài)控制系統(tǒng)(1)提出了考慮飽和輸入的有限時間姿態(tài)協(xié)同控制協(xié)議。系統(tǒng)飽和輸入控制器如下所示：

(22)

式中:vrik為控制輸入量；umax,i和umin,i分別為未知的飽和控制器上下界參數(shù)，且有umin,i≠umax,i。

考慮未知非對稱飽和控制器的影響，姿態(tài)控制方程(1)可寫成如下形式：

(23)

(24)

考慮方程(24)和(5)，得到：

(25)

為了有效估計復(fù)合擾動Di，將文獻[25]中的有限時間觀測器修正為：

(26)

(27)

這里，0<α<1,ki1,ki2>0。

基于上述設(shè)計分析，飽和輸入條件下編隊姿態(tài)追蹤控制系統(tǒng)的收斂性能可由以下定理給出。

定理2.對于編隊追蹤姿態(tài)控制系統(tǒng)(1)，考慮受到外部擾動、飽和輸入以及角速度不可量測等約束條件的影響，有限時間狀態(tài)觀測器形如式(26)，則在滑?？刂茀f(xié)議(27)的作用下，編隊姿態(tài)追蹤誤差將在有限時間內(nèi)收斂到有界域內(nèi)。

證.參考文獻[25]的定理1。

對于式(1)，飽和輸入的影響被轉(zhuǎn)化成復(fù)合擾動的一部分，并通過有限時間狀態(tài)觀測器(26)估計。至此，將問題轉(zhuǎn)化為受到外部擾動條件下的姿態(tài)追蹤系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

4 仿真校驗

選取六個航天器和一個虛擬領(lǐng)航者組成的編隊姿控系統(tǒng)，其通信拓撲如圖1所示。

編隊的權(quán)重連接矩陣A和B定義如下：

參考文獻[26],假如航天器慣性矩陣取值為：

航天器初始狀態(tài)(角度和角速度)取值如下：

假設(shè)編隊領(lǐng)航者期望姿態(tài)為：

假定各航天器控制器控制參數(shù)均相同：

umin,i=5,umax,i=10,ki=2
α1=0.8,α2=0.6,α3=0.4
β1=1.25,β2=1.05,β3=0.65

仿真結(jié)果如圖2、圖8所示。圖2為控制輸入曲線隨時間的變化情況。圖3、圖4為角速度和滑模變量隨時間的變化曲線。圖5、圖6為角速度和姿態(tài)的觀測誤差隨時間的變化曲線。圖7、圖8為角速度和姿態(tài)的跟蹤誤差隨時間的變化曲線。由圖2～8可知，各航天器姿態(tài)在有限時間內(nèi)趨近于期望姿態(tài)附近，因此可實現(xiàn)復(fù)雜約束條件下的編隊姿態(tài)協(xié)同控制。

5 結(jié) 論

本文研究了復(fù)雜約束條件下的航天器編隊姿態(tài)有限時間協(xié)同控制問題，提出了一種有限時間狀態(tài)觀測器；基于觀測器輸出設(shè)計了滑模姿態(tài)協(xié)同控制律，并通過Lyapunov函數(shù)證明了控制器的有限時間穩(wěn)定性；針對存在飽和輸入條件下的姿態(tài)協(xié)同控制問題進一步研究，將飽和輸入影響轉(zhuǎn)化為復(fù)合擾動，以利用前述方法進行姿態(tài)協(xié)同控制；最后通過數(shù)值仿真校驗了控制器的有效性。結(jié)果表明，本文所設(shè)計的控制器能夠滿足姿態(tài)有限時間協(xié)同要求，且支持更為復(fù)雜的約束條件，有效地拓展了其應(yīng)用范圍。